數(shù)學(xué)（人教版選修22）練習(xí)活頁(yè)作業(yè)（四）

活頁(yè)作業(yè)(四)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二)1．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(3，f(3))處的切線的傾斜角為()A.eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角解析：f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，f′(3)＝eq\r(2)e3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(π,4)))＜0，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(3，f(3))處的切線的傾斜角為鈍角．答案：C2．若f(x)＝eq\f(1－x2,sinx)，則f(x)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(－2xsinx－1－x2cosx,sin2x)B.eq\f(－2xsinx＋1－x2cosx,sin2x)C.eq\f(－2xsinx＋1－x2,sinx)D.eq\f(－2xsinx－1－x2,sinx)解析：f′(x)＝eq\f(1－x2′sinx－1－x2sinx′,sin2x)＝eq\f(－2xsinx－1－x2cosx,sin2x).答案：A3．某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝f(t)＝eq\r(10t)，則在時(shí)刻t＝40min的降雨強(qiáng)度為()A．20mm B．400mmC.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min解析：f′(t)＝eq\f(1,2\r(10t))·10＝eq\f(5,\r(10t))，∴f′(40)＝eq\f(5,\r(400))＝eq\f(1,4).答案：D4．曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為_(kāi)_______________．解析：y′＝eq\f(－1,2x－12)，∵點(diǎn)(1,1)在曲線上，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq\f(－1,2x－12)|x＝1＝－1，由直線的點(diǎn)斜式方程得切線方程是x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝05．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a答案：16．已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵直線l過(guò)原點(diǎn)，∴直線l的斜率k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)，由點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上，得y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.又k＝eq\f(y0,x0)，∴3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，整理得2xeq\o\al(2,0)－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝eq\f(3,2)，此時(shí)y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4).因此直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x，切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,8))).7．若函數(shù)y＝(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝3x－2，則函數(shù)g(x)＝x2＋f(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為()A．5x－y－3＝0 B．5x－y＋3＝0C．x－5y＋3＝0 D．x－5y－3＝0解析：由函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝3x－2，得f′(1)＝3，f(1)＝1.又函數(shù)g(x)＝x2＋f(x)，∴g′(x)＝2x＋f′(x)，則g′(1)＝2×1＋f′(1)＝2＋3＝5，g(1)＝12＋f(1)＝1＋1＝2.∴函數(shù)g(x)＝x2＋f(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y－2＝5(x－1)．即5x－y－3＝0.故選A.答案：A8．下圖中有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則f(－1)＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由題圖①與②知，它們的對(duì)稱軸都為y軸，此時(shí)a＝0，與題設(shè)不符合，故題圖③是f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象．由題圖③知f′(0)＝0，a<0，所以a＝－1，此時(shí)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B9．已知函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝__________.解析：∵f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).答案：－eq\r(2)10．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形面積是______．解析：∵y′＝－2e－2x，∴y′|x＝0＝－2，切線方程為y＝－2x＋2.∴所圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為(0,0)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3))).∴S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)11．已知曲線y＝e2x·cos3x在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．解：∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴y′|x＝0＝2，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的切線方程為y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.設(shè)適合題意的直線方程為y＝2x＋b，根據(jù)題意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.∴適合題意的直線方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.12．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的函數(shù)解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．(1)解：由7x－4y－12＝0，得y＝eq\f(7,4)x－3.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝2a－eq\f(b,2)＝eq\f(1,2)，①又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝a＋eq\f(b,4)＝eq\f(7,4).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－b＝1，,4a＋b＝7))，解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f