4.3兩角的和(差)二倍角公式及其應(yīng)用

4.3兩角的和(差)、二倍角公式及其應(yīng)用課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,知道兩角差余弦公式的意義3.能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系公式的直接應(yīng)用通過對公式的簡單應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)公式的逆用和變形通過對公式的逆用與變形,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)求值(角)問題通過對公式的靈活應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的是().A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在實數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβC.在銳角三角形ABC中,cosAcosB和sinAsinB的大小不確定D.公式tan(αβ)=tanα-tanβ1+tanαtanβ可以變形為1+tanαtanβ=tanα-tanβtan(α2.(對接教材)已知cosα=35,α∈π2,π,則sinα+A.4?3310 B.4+3310C.2?33.(對接教材)cos2π12cos25π12等于(A.12 B.33 C.22 4.(易錯自糾)(多選)以下式子均有意義,則下列結(jié)論正確的是().A.cosαsinβ=sin(α+β)+sin(α-C.sin(2α+β)sinα=2cos(α+β)+sinβsinαD.若sinα=55,sinβ=1010,且α,β均為銳角5.(真題演練)(2023·全國新課標(biāo)Ⅰ卷)已知sin(αβ)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)=(A.79 B.19 C.19 公式的直接應(yīng)用典例1(1)(2023·江蘇張家港期末)已知sin(απ3)=3cosα-π6,則tan2α=A.43 B.32 C.43 D.(2)(2024·江蘇如東期初學(xué)情檢測)已知sin(α+π6)=63,則sinπ6-2αA.223 B.223 C.1(3)若sinθ=35,5π2<θ<3π,則tanθ2+cosθ2=A.3+1010 B.31010C.3+31010 公式運(yùn)用的基本策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律.例如兩角差的余弦公式可簡記為“同名相乘,符號相反”.(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的結(jié)合應(yīng)用.(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.訓(xùn)練1(1)(2023·廣東揭陽期末)已知α∈0,3π4,cosα+π4=210,A.35 B.35 C.45 (2)(2024·山東濟(jì)南高三摸底測試)已知α為銳角,若sin2α+2023π2=2?34,A.3-18 B.3-14 C.(3)已知α∈π2,π,sinα=35,則cosπ-A.1010 B.1010 C.31010公式的逆用和變形典例2(1)(2023·廣東茂名一模)下列四個函數(shù)中,最小正周期與其余三個函數(shù)不同的是().A.f(x)=cos2x+sinxcosx B.f(x)=1?cos2xC.f(x)=cosx+π3+cosx-π3 D.f((2)若α為銳角,且(4cos50°tan40°)tanα=1,則α=().A.60° B.50° C.40° D.30°兩角和、差及倍角公式的逆用和變形的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同,創(chuàng)造條件逆用公式.(2)和差角公式常見變形:sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;cosαsinβ+sin(αβ)=sinαcosβ;tanα±tanβ=tan(α±β)·(1?tanα·tanβ).(3)倍角公式的變形:降冪公式.訓(xùn)練2(1)(多選)下列各式中,值為32的是()A.2sin15°cos15° B.2sin215°1C.3tan15°1?tan2求值:sin10°?3cos10°cos40°求值(角)問題典例3(1)(2023·江蘇南通三模)已知cos(40°θ)+cos(40°+θ)+cos(80°θ)=0,則tanθ=().A.3 B.33 C.33 (2)已知α,β∈(0,π),cosα=31010,若sin(2α+β)=12sinβ,則α+β=(A.2π3 B.5π6 C.5π41.給角求值問題往往給出的角是非特殊角,求值時要注意:①觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式或拆分;②觀察名,盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱;③觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡.2.給值求角的原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).②已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù),若角的范圍是0,π2,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為-π訓(xùn)練3(1)已知tanα=2,cosβ=7210,α,β∈(0,π),則2αβ的值為(A.5π4 B.3π4 C.π4 (2)已知tan2θ=22,π4<θ<π2,則2co萬能公式sinα=2tanα21+tan2α2萬能公式的證明:由二倍角公式,得sinα=2sinα2cosα2=2sinαtanα=2tanα21?tan2α2.再由同角三角函數(shù)間的關(guān)系典例已知tanα+β2=62,tanαtanβ=137,求cos(訓(xùn)練已知2sinα+β2sinα-β2=12,2cosα+β2sinα-一、單選題1.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=43,則tanα等于()A.22 B.2 C.13 2.(2023·浙江湖州期末)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則cos3π2+α=A.55 B.55 C.2553.2cos50°12tan50°=()A.1 B.12 C.324.(2023·江蘇揚(yáng)州期初)已知α,β∈0,π2,2tanα=sin2βsinβ+sin2β,則A.3 B.33 C.33 二、多選題5.(2023·河北承德二模)已知0<α<π2<β<π,sinα=13,cos(α+β)=223,則下列選項正確的有A.sin(α+β)=±13 B.cosβ=79C.cos2β=1781 D.sin(αβ6.設(shè)角θ的終邊在第二象限,則1?sinθcosθ2-sinθA.1 B.1 C.2 D.2三、填空題7.(2024·淮安高三第一次調(diào)研)tan555°的值為.

8.(2024·揚(yáng)州期初模擬)方程3sinx=1+cos2x的解集為

四、解答題9.(2023·江蘇常州一中期中)在①sin(πα)=43cos(2πα),②tan(π+α)=7sinα,③cosα2=277這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中已知α∈0,π2,β∈0,π2,cos(α+β)=3510.已知向量a=cosx2+sinx2,2sinx2,b=cosx2sinx2,3cosx2,函數(shù)f(x)=a·(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值時x的取值集合;(2)若α,β為銳角,cos(α+β)=1213,f(β)=65,求fα11.(2023·蘇北蘇中八市二模)古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作,也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度,已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn)),地面上B,C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上,且在點(diǎn)A的同側(cè).若在B,C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°,且BC=100m,則該球體建筑物的高度約為(參考數(shù)據(jù):cos10°≈0.985)().m m m m12.(2023·江蘇新海中學(xué)質(zhì)檢)如圖所示,某市政府決定在以政府大樓O為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書