第三章方差與協(xié)方差

隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值),它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平,是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在很多場合,僅僅知道平均值是不夠的.§2隨機變量的方差例如,某零件的真實長度為a,現(xiàn)在用甲、乙兩臺儀器各測量10次,并將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：問:哪臺儀器的測量效果好一些？

甲儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果較好因為乙儀器的測量結(jié)果更集中在均值附近.測量結(jié)果的均值都是

a

為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量在其中心(即均值)附近取值的離散程度(或集中程度).這個數(shù)字特征就是:方差.再如:考察某車床加工軸承的質(zhì)量時,若最關(guān)鍵的指標為長度,則不但要注意軸承的平均長度,同時還要考慮軸承長度與平均長度的偏離程度(即加工的精度);等等.我們該用怎樣的量去度量這種偏離程度呢?

X?E(X)?

E[X?E(X)]?

E[|X?E(X)|]?E{[X?E(X)]2

}

一、方差(variance)的定義隨機變量X的平方偏差[X?E(X)]2的均值記作或Var(X),叫做X的方差.而記作叫做X

的標準差或均方差.方差刻劃了隨機變量取值的離散程度:若X的取值比較集中,則方差較小；若X的取值比較分散,則方差較大.如:

據(jù)以往記錄,甲乙兩射手命中環(huán)數(shù)X、Y的分布律為X678910P0.10.20.40.20.1Y678910P0.20.20.20.20.2及可以算出:兩人命中環(huán)數(shù)的平均水平相同,從中看不出兩人射擊技術(shù)的高低;但

說明甲的命中環(huán)數(shù)比乙的更集中,即甲的射擊技術(shù)比乙的穩(wěn)定.二.方差的簡化計算公式即:方差等于平方的期望減期望的平方.證明:例:

設(shè)X

的概率密度為且D(X)=1/18,求a,b

及E(X).而解:由歸一性得故解得

b=0,a=2,E(X)

=2/3或b=2,

a=?2,

E(X)

=1/3

.例:設(shè)(X,Y)

的概率密度為試求D(X),D(Y).解:xy01y=x三.常見分布的期望與方差(3)則(2)則(1)則(4)則(5)則四.方差的性質(zhì)(1)

對任意常數(shù)k與c

有:D(kX+c

)=k2D(X).(2)

設(shè)X與Y相互獨立,則進一步,若X1,…

,

Xn

相互獨立,則對任意常數(shù)

c1

,…,cn

有:

D(X+Y)=D(X)+D(Y),

D(X?Y)=D(X)+D(Y).

D(c1X1+…

+cn

Xn

)=c12

D(X1

)+…

+

cn2

D(Xn

).(3)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,

即P{X=C}=1.例:則解:

X表示n重伯努利試驗中“成功”的次數(shù),

p為每次試驗成功的概率,

則X~B(n,p);引入1,若第i次試驗成功,0,若第i次試驗失敗.i=1,2,…,n,則X1,X2,…,Xn

相互獨立,且而

Xi

的分布律為

Xi

01

P

q

p故E(Xi)=p,

E(Xi2)=p,

D(Xi)=E(Xi2)?[E(Xi)]2=pq,從而例:

有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,若且它們相互獨立,則解:五.

隨機變量的標準化設(shè)X具有為

X的標準化隨機變量.E(Y

)=0,D(Y)=1.

則叫六.

切比雪夫(Chebyshev)不等式對X,

若E(X),D(X)都存在,則對或(1)方差確實能衡量隨機變量取值的離散程度.(2)該不等式能在X的分布未知的情況下對的概率的下限作一估計,若記則等等.

一、協(xié)方差隨機變量X和Y的協(xié)方差前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對于多維隨機變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中,最重要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).§3協(xié)方差(Covariance)和相關(guān)系數(shù)1.定義:(1)

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)

Cov(aX,bY)=ab

Cov(X,Y),a,b是常數(shù)(3)

Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)2.簡單性質(zhì):3.協(xié)方差的簡化計算公式:

Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)可見，若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0.4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)二、相關(guān)系數(shù)1.定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).注:

相關(guān)系數(shù)也叫標準協(xié)方差,其實是標準化隨機變量的協(xié)方差.與2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):存在常數(shù)a,b

使即X和Y以概率1線性相關(guān).可見相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱;則Y與X有嚴格線性關(guān)系;若若則Y與X無線性關(guān)系,叫做X與Y不相關(guān).請看演示注意:若X與Y獨立,則

Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0,

但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨立.而對下述情形,獨立與不相關(guān)等價:若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立X與Y不相關(guān).從而X與Y不相關(guān);例:

設(shè)X在(?1/2,1/2)內(nèi)服從均勻分布,而Y=cosX,

試考察

X與

Y

的相關(guān)性及獨立性?解:而Y與X有嚴格的函數(shù)關(guān)系,因此

Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0,故X和Y不相關(guān).即X和Y不獨立.

一、矩為X的k階原點矩,可見:X的期望是X的1

階原點矩;在隨機變量的數(shù)字特征中,更一般的是矩.§4矩、協(xié)方差矩陣為X的k階中心矩,為X和Y的k+l階混合原點矩,為X和Y的k+l階混合中心矩.X的方差是X的2

階中心矩;X和Y的協(xié)方差是X和Y的2

階混合中心矩.二、協(xié)方差矩陣

對n維隨機變量(X1,X2,…,Xn

),稱矩陣為(X1,X2,…,Xn

)的協(xié)方差矩陣.因?qū)λ衖,j成立cij=cji,記

i,j=1,2,…,n,故CT

=C,C為對稱矩陣.引入(X1,X2,…,Xn

)的協(xié)方差矩陣,可更好地處理多維隨機變量.比如,我們可從二維正態(tài)隨機變量的概率密度推廣出n維正態(tài)隨機變量的概率密度:設(shè)