人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.2.3同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1.2.3空間幾何體的直觀圖[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．[知識鏈接]1．一般地，在一個幾何體的三視圖中，側(cè)視圖與正視圖高一樣；俯視圖與正視圖長一樣；側(cè)視圖與俯視圖寬一樣．2．畫三視圖是用平行投影的方法畫出來的．3．梯形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b)h(其中a、b為兩底長，h為高)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．直觀圖的概念(1)定義：把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統(tǒng)稱)畫在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫做直觀圖．(2)說明：在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形．2．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．3．立體圖形直觀圖的畫法畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長度不變．其他同平面圖形的畫法．要點一畫水平放置的平面圖形的直觀圖例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．規(guī)律方法1.本題巧借等腰梯形的對稱性建系使“定點”、“畫圖”簡便易行．2．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來完成．跟蹤演練1用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖．解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸．(2)畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′軸上取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．要點二由直觀圖還原平面圖形例2如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C．a(chǎn)2D．2a2答案B解析由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點：(1)平行x′軸的線段長度不變，平行y′軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍；(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤演練2一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案D解析如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高，原梯形的高OC是直觀圖中O′C′長度的2倍，O′C′的長度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面積是梯形O′A′B′C′面積的2eq\r(2)倍，梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.要點三空間幾何體的直觀圖例3如圖所示，由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖．解(1)畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．(2)畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.(3)畫側(cè)棱．過點A、B、C、D、E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正視圖的高．(4)成圖，順次連接A′、B′、C′、D′、E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．規(guī)律方法1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點，最后連點成圖便可．2．直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變”．跟蹤演練3由如圖所示幾何體的三視圖畫出直觀圖．解(1)畫軸．如圖，畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成圖，順次連接A′，B′，C′，并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示)，得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖．1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是()A．原來相交的仍相交B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行D．原來共點的仍共點答案B解析根據(jù)斜二測畫法，原來垂直的未必垂直．2．關(guān)于用斜二測畫法得直觀圖，下列說法正確的是()A．等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖可能不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B3.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀四邊形ABCD為()A．平行四邊形B．梯形C．菱形D．矩形答案D解析因為∠D′A′B′＝45°，由斜二測畫法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．4.如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為________．答案10解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長為2×(3＋2)＝10.5.如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為________．答案6解析由直觀圖可知其對應(yīng)的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.1.斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．兩者之間關(guān)系為：eq\f(S直,S原)＝eq\f(\r(2),4).2．在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大小．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析在畫直觀圖時，∠A′的兩邊依然分別平行于x′軸、y′軸，而∠x′O′y′＝45°或135°.2.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，A′B′∥y′軸，則原圖中△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．任意三角形答案B解析∵A′B′∥y′，所以由斜二測畫法可知在原圖形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．3．如圖為一平面圖形的直觀圖的大致圖形，則此平面圖形可能是()答案C解析根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，且在直觀圖中平行于y′軸的邊與底邊垂直．4.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A．ABB．ADC．BCD．AC答案D解析還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長．5．下列說法正確的個數(shù)是()①相等的角在直觀圖中對應(yīng)的角仍然相等；②相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然相等；③最長的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍最長；④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點．A．1B．2C．3D．4答案A解析①②③錯誤，④正確．6.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________．答案eq\f(5,2)解析將直觀圖△A′B′C′復(fù)原，其平面圖形為Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜邊AB＝5，所以AB邊上的中線長為eq\f(5,2).7．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．解(1)過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖(1)所示，畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)所示．(2)如圖(2)所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．二、能力提升8．如圖，在斜二測畫法下，兩個邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C9.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面圖形的面積為________．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析過A作AE⊥BC，垂足為E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面圖形是梯形且上下兩底邊長分別為1和1＋eq\f(\r(2),2)，高為2，∴原平面圖形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).10.在如圖直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在xOy坐標(biāo)系中原四邊形OABC為________(填形狀)，面積為________cm2.答案矩形8解析由題意，結(jié)合斜二測畫法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四邊形OABC的面積S＝2×4＝8cm2.11．用斜二測畫法畫棱長為2cm的正方體ABCDA′B′C′D′的直觀圖．解畫法：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝2cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖，如圖②.三、探究與創(chuàng)新12．用斜二測畫法畫出正六棱柱(底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱)的直觀圖(尺寸自定)．解(1)畫軸．畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖(1)．(2)畫底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點，分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它們都等于側(cè)棱的長．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，A′，并擦去