直線與平面平行練習(xí)題

11.3.2直線與平面平行（2）

【基礎(chǔ)練習(xí)】

一、單選題

1.在長方體ABCO-AgGA中，DA^DC=1,DDt=2,分別在對角線A。，上取點(diǎn)M,N,

使得直線MN//平面AACG,則線段MN長的最小值為（)

1

A.-D.2

2

【答案】B

【解析】

作MM,1AO于點(diǎn),作NN】1CD于點(diǎn)N1,

線段MN平行于對角面ACGA，

設(shè)DM】=DN[—x,則MMt-2x,NN】=2—2x,

在直角梯形中,

4

2+

9-

47

.?.當(dāng)x=一時，的最小值為一.

93

故選8.

2.下列四個命題：①存在與兩條異面直線都平行的平面；②過空間一點(diǎn)，一定能作一個平面與兩條異面直

線都平行；③過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與該平面平行；④過直線外一點(diǎn)可作無數(shù)個平面與該直線平行.

其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

①過空間一點(diǎn)作兩異面直線的平行線，這兩條平行線確定的平面只要不過這兩條異面直線，則線面平行，

①正確：

②過空間一點(diǎn)作兩異面直線的平行線，這兩條平行線確定的平面有可能過兩異面直線中的一條直線，則無

線面平行，②錯；

③過平面外一點(diǎn)可作作一個平面與已知平面平行，而此平面內(nèi)的所有直線都與該平面平行，③正確：

④過直線外一點(diǎn)可作一條宜線與已知直線平行，過該直線的平面除過已知直線的一個平面外其它所有平面

都與已知直線平行，④正確.

共有3個命題正確.

故選：D.

3.正方體ABC?！?4G2，片（i=l,2,,12）是棱的中點(diǎn)，在任意兩個中點(diǎn)的連線中，與平面平

行的直線有幾條（）

C.12D.6

【答案】B

【解析】

考慮與平面AGB平行的平面《巴《，平面幾片《，平面鳥鳥8A鳥匕，

共有C；+C；+C：=21,

故選：B.

4.如圖，在正方體ABCD-AgGA中，已知E、/、G分別是線段AG上的點(diǎn)，且4七=ER="？=GG.

則下列直線與平面A3。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.CC,

【答案】B

【解析】

如圖，連接AC,使AC交8D于點(diǎn)。，連接A。、CF,則。為AC的中點(diǎn),

在正方體ABC?！狝AGA中，A*/CG且A4=CG，則四邊形A4CC為平行四邊形，

A^CJ/AC且4G=AC,

O、產(chǎn)分別為AC、4G的中點(diǎn)，.?.A,F〃OC且A尸=oc,

所以，四邊形4。。尸為平行四邊形，則CR〃4。，

CFZ平面480,AOu平面48D,因此，CF〃平面480.

故選：B.

5.在正方體ABC?！狝4G2中，點(diǎn)P、。分別為43、AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作平面a使gp〃平面a,

MD、

AQ〃平面。若直線平面。=M，則幫的值為（）

1112

A.—B.—C.-D.一

4323

【答案】B

【解析】

如下圖所示:

設(shè)平面a分別交4。、CQi于點(diǎn)、E、F，連接DF、EF,取CO的中點(diǎn)G,連接PG、C,G,

連接AG交4。于點(diǎn)N,

四邊形ABCD為正方形，P、G分別為AB、C￡＞的中點(diǎn)，則BP//CG艮8P=CG,

?-.四邊形5CGP為平行四邊形，；.PGHBC豆PG=BC，

B\CJ/BC且AG=BC,:.PG〃B\C［且PG=,則四邊形B￡GP為平行四邊形，

.,.與P〃￡G,,〃平面a,則存在直線au平面a,使得4尸〃a,

若GGu平面a,則Ge平面a,又。G平面a,則CDu平面a,

此時，平面a為平面8〃G，直線4Q不可能與平面a平行，

所以，。00平面￡,；.。。〃4,：.。?！ㄆ矫?。，

GGu平面CORC；,平面CDDg1平面a=。尸，；.DFHC.G,

C.F//DG,所以，四邊形GG。尸為平行四邊形，可得GE=OG=gc￡＞=3GD，

尸為GA的中點(diǎn)，同理可證E為AA的中點(diǎn)，=M=因此,

嶼J

MB}3'

故選：B.

二、填空題

6.如圖所示，在長方體ABCD-AiBiGDi中,AB=AQ=2,A4i=1.一平面截該長方體，所得截面為OPQRST,

其中0，P分別為A。，C￡＞的中點(diǎn)，3s=1，則AT=.

2

【解析】

設(shè)AT=x,貝!]4T=l-x,

由面面平行的性質(zhì)可知PO〃SR,TO//QR,TS//PQ,

:./XDOPSABISR,

'：DP=^OD=\,：.B\S=B\R=-,

2

3

'.AtS=CiR=—,

2

AOC.Ri—3x

由△ATOS^GQR可得「=六，即_L=_2_，故GQ=J，

2

AlJQx~ctQ

3x

CQAJ1-T\-x2

由75sacQ/5uj得——=——，即一--=-—,解得x=—.

CzA13135

2

故答案為2.

5

4￡

7.如圖，在三棱柱A8C—AAG中,。是3c的中點(diǎn)，E是AG上一點(diǎn)，但48〃平面與則差

/s,

的值為.

【答案】-

2

【解析】

如下圖所示，連接BG交4。于點(diǎn)尸，連接族.

在三棱柱ABC-48cl中，QBCqBg,ABDF:AC4F,

11BFBD1

Q。為5c的中點(diǎn)，..?.而=鏟=5.

22AC〕O|Cj2

（548〃平面片。石，48匚平面48。1,平面48。1小平面用?！?￡/;',二43〃4"

A.EBF1]

,,前二而=3,故答案為5，

TT

8.如圖，在五面體ABC￡）￡戶中，AB//DC,/84。=一，CD=AD=3,四邊形AB莊為平行四邊

2

形，￡4，平面48。。，F(xiàn)C=5,則直線A8到平面EFC。距離為.

【答案】呼

【解析】

作AG_LFD

如圖

由AB〃DC，

DCu平面EPCO,平面及CD

所以A8〃平面EFCO

所以直線AB到平面EFCD距離

等價于點(diǎn)A到平面EFCD距離

乂E41,平面ABCD，COu平面ABCD

71

所以E4LC。，又NBAD=—,則C￡>_LA￡>

2

AD,E4u平面用。，ADoFA^A^

所以CD_L平面后4。

AGu平面￡40，所以COLAG

乂CD,FDu平面EFCD，CDcFD=D

所以4G_L平面EFCD

所以點(diǎn)A到平面EFCD距離為AG

由CD=AD=3,所以AC=JC￡>2+A￡)2=30

又尸。=5，所以詼=，尸。2一4。2=近

在AAfD中，F(xiàn)D=\lAD2+AF2=4

?i3萬

又一五"AG=一?4￡)?AFnAG=工

224

故答案為：bH

4

三、解答題

9.如圖，在三棱柱A4G—ABC中，。是棱A8的中點(diǎn).

（1）證明：5G〃平面4。。.

（2）若E是棱8自上的任意一點(diǎn)，且三棱柱4gC1—ABC的體積為12,求三棱錐A—4點(diǎn)的體積?

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（I）連接AG交AC于點(diǎn)。，連接8.

因?yàn)樗倪呅蜯C.C是平行四邊形，所以。是AC的中點(diǎn).

因?yàn)?。是的中點(diǎn)，所以O(shè)DHBC-

又OOu平面AC。，6Gz平面4CO,所以BG〃平面AC。；

（2）設(shè)三棱柱A4G—ABC的高為力，底面A4BC的面積為S,

則三棱柱A/Ci-ABC的體積V=S-h=n.

又Kt-A.CE=VC-AA,H-VC-ABA,>^C-AB\=匕!-ABC=]5隊(duì)所以A-\CE=-><12=4.

10.四棱錐S-MCE（如圖所示，其中四邊形ABC。是直角梯形，AB1AD,AD1DC,S4J_平面ABC。,

DA-DC=-AB,AC與BO交于點(diǎn)G,點(diǎn)M在線段S4上.

2

的值;

【答案】-

2

【解析】

連接MG.因?yàn)锳B，A。,A。，DC,故AB//。.

AGAB汽

設(shè)。C=1,A5=2,得----=-----2.

GCDC

因?yàn)镾C//平面MBD，平面SACp平面MBD=MG,SCu平面陰C,

SMCG1

故SC//MG,故一-=

MAAG2

【提升練習(xí)】

一、單選題

1.已知根，〃為兩條不同的直線，a，僅為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①mua,〃ua,mf3,ti\/3=a（3②〃〃加，nua=tna

③a〃/7,mua,nu0=m\n④/na,nua=mn

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【解析】

①〃?ua,〃ua,m/3,n夕，則a與夕可能相交，①錯；②〃機(jī)，〃ua,則〃z可能在平面a內(nèi),

②錯；③。0,"zua,〃u￡,則機(jī)與〃可能異面，③錯；④/ma,"ua,則帆與〃可能異面,

④錯，故所有命題均不正確，故選A.

2.如圖，正方體ABC。-4中，E，F(xiàn)，G,”分別為棱A4］、CC,,Bg、A4的中點(diǎn)，則

下列各直線中，不與平面AC?平行的是（）

C.直線D.直線48

【答案】C

【解析】

在正方體中，因?yàn)樽濉ˋC,所以EF//平面AC，，故A正確.

因?yàn)榍?/4G，4G///C，所以G////AC,所以G"http://平面ACQ故B正確.

因?yàn)锳B//。。，所以A*8"平面ACR,故D正確.

因?yàn)镋H//CQC\D與"C相交，所以E”與平面ACA相交，故C錯誤.

故選：C

3.設(shè)正方體ABCO-AMGA的棱長為1，E為。2的中點(diǎn)，M為直線上一點(diǎn)，N為平面AEC內(nèi)

一點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間距離的最小值為（）

AV6RV6G6

3646

【答案】B

【解析】

結(jié)合題意，繪制圖形

結(jié)合題意可知0E是三角形50A中位線，題目計(jì)算距離最短，即求0E與8。兩平行線的距離,

DD[=I,BD[=6,BD=6，,所以距離d,結(jié)合三角形面積計(jì)算公式可得

S^-BDDD^-BDc2d,解得d=近,故選B。

226

4.如圖，在棱長為2的正方體A3C。-44GA中，E,尸,G分別是棱AB,BC,CG的中點(diǎn)，P是底面

ABC。內(nèi)一動點(diǎn)，若直線Of與平面EEG不存在公共點(diǎn)，則三角形尸B片的面積的最小值為

C.V2D.2

【答案】C

【解析】

延展平面EFG，可得截面其中“、Q、R分別是所在棱的中點(diǎn)，

直線QP與平面EFG不存在公共點(diǎn)，

所以AP//平面EFGHQR,

由中位線定理可得ACHEF.

ER在平面EFG//QR內(nèi)，

AC在平面EFG”。/?外，

所以AC//平面EFG//QR.

因?yàn)?尸與AC在平面AAC內(nèi)相交，

所以平面2AC//平面EFGHQR,

所以尸在AC上時，直線D.P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，

因?yàn)锽O與AC垂直，所以P與。重合時BP最小，

此時，三角形PB4的面積最小，

最小值為，x2x夜=及，故選C.

2

5.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！狝4GA中，點(diǎn)七、尸分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面

內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面AM,則線段AP長度的取值范圍是（）

c.U,當(dāng)

【答案】B

【解析】

如下圖所示，分別取棱Bq,4G的中點(diǎn)M、N,連MN,BC「

A

?；MN,瓦尸分別為所在棱的中點(diǎn)，則MNBCVEF\BCt,

：.MN//EF,又MNU平面AEF,EFu平面AEF,

.?.MN〃平面AEF.

A4NE,AAi=NE,

四邊形AENA］為平行四邊形，

：.AtN//AE,

又AN<Z平面AEF,AEu平面AEF,

，AN〃平面AEF,

又A、NMN=N,

平面4MN〃平面AEF.

；P是側(cè)面BCCig內(nèi)一點(diǎn)，且AP〃平面AEF,

...點(diǎn)P必在線段MN上.

22

在中，AtM=jA4+4A/2=Jl+(1)=去.

同理，在HfAA4N中，可得AN=當(dāng)，

.?.A41MN為等腰三角形.

當(dāng)點(diǎn)P為MN中點(diǎn)。時，4PJ.MN,此時片尸最短；點(diǎn)P位于M、N處時，Af最長.

2/=逑，4M=AN=@

"-'AlO=ylAiM-OM

.??線段AP長度的取值范圍是［乎，咚］

故選B.

二、填空題

6.如圖所示，正方體—的棱長為1,M,N為線段BC,CQ上的動點(diǎn)，過點(diǎn)4，M,N的

平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的是

①當(dāng)創(chuàng)/=0且O<CN<1時，S為等腰梯形；

②當(dāng)分別為BC,CG的中點(diǎn)時，幾何體的體積為g；

31

③當(dāng)M為中點(diǎn)且CN=2時，S與G"的交點(diǎn)為R,滿足￡R=上；

46

④當(dāng)M為BC中點(diǎn)且噴匕N1時，S為五邊形；

⑤當(dāng)BM=」且CN=1時，S的面積逅.

33

【答案】①②

7.正四面體ABCQ的棱長為6,其中AB〃平面a,E,尸分別為線段AD,BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體以

為軸旋轉(zhuǎn)時，線段跖在平面a上的射影長的取值范圍是.

【答案】［3,3垃］

【解析】

如圖，取4C中點(diǎn)為G,結(jié)合己知可得GF//A5,在正四面體中，AB1CD,又GEIICD,:.GELGF,

:.EF2^GE2+GF2,當(dāng)四面體繞A5旋轉(zhuǎn)時，.GFV/平面a,GEHG尸的垂克性保持不變，顯然，當(dāng)

8與平面a垂直時，GE在平面上的射影長最短為0,此時所在平面a上射影片耳的長取得最小值3,

當(dāng)8平面a平行時，GE在平面上的射影長取得最大值3，耳片取得最大值3行，所以射影片線長的取

值范圍是［3,3拒］,故答案為［3,3五］.

8.在長方體ABCD-45GA中，AB=8C=1,AA=2,點(diǎn)E,F分別為CD,的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AA,

上，若CG//平面AEF，則四棱錐G—ABCD的外接球的體積為.

【答案】墾

2

【解析】

當(dāng)G是A4中點(diǎn)時，連接GD交AF于點(diǎn)H,則H是GD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋別為CD的中點(diǎn)，所以

CG^EH,從而根據(jù)線面平行的判定定理可得CG//平面AEF，所以四棱錐G—A5CD的外接球就是

以AB,A￡>,AG為棱的正方體的外接球，設(shè)外接球的半彳仝為R,則外接球直徑等于正方體對角線長，所以

（2/?）2=3,.?》=芻不/?3=1三，故答案為恒.

V'322

三、解答題

9.如圖，在四棱錐尸一A3CD中，底面ABCO為菱形，045=60°,平面ABC。，PD=AD=2,

點(diǎn)E,F分別為AB和PO的中點(diǎn).

（1）求證：直線〃平面PEC；

（2）求點(diǎn)尸到平面PEC的距離.

【答案】（1）見解析（2）叵

10

【解析】

（1）設(shè)PC的中點(diǎn)為Q,連接EQ,FQ,

由題意，因?yàn)镕Q是△PDC的中位線，所以FQ〃DCFLFQ=gc。，

因?yàn)榈酌鍭BC。為菱形且E為AB的中點(diǎn)，所以AECO且AE=；CO

故AE〃尸。且AE=F。，所以，四邊形AE。尸為平行四邊形，

則AF7/EQ,又EQu平面PEC,AF<z平面AEC,

所以，AF//平面PEC

（2）連接DE,由（1）,點(diǎn)尸到平面PEC的距離等于點(diǎn)A到平面PEC的距離，設(shè)為d,

由條件易求PC=2&，AC=26，BE=1,BC=2,NEBC=120，

1+22-EC21r-

在&EBC中，cosNEBC=-------=--nEC=5,

2x1x22

易知/XADB為等邊三角形，則DE=JVO?-AE?=，

因?yàn)镻￡>_L平面ABC。且。￡u平面ABC。，所以PDLDE,

所以PE=J￥/工BF=5，

因?yàn)镻E=EC,所以.EPC為等腰三角形，EQLPC,

所以EQ=JEC2—CQ2=5

故SAPEC=5X2&X石=，SMEC=qx1x6

所以由A-PEC~P-AEC得~A/W-d=—?1g-2,解得d=.

33210

10.如圖，在矩形ABC。和矩形4BEF中，