新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)06 概率統(tǒng)計（兩大易錯點 六大題型）（解析版）

通關(guān)秘籍06概率統(tǒng)計目錄【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點一：回歸方程易錯點二：獨立性檢驗的意義【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】條件概率【題型二】全概率公式與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機變量的分布列和概率性質(zhì)【題型四】二項分布【題型五】超幾何分布【題型六】正態(tài)分布概率預(yù)測☆☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測全概率公式、正態(tài)分布、總體百分位數(shù)的估計概率屬于解答題必考題，大多考察兩方面，一個是超幾何分布與二項分布的區(qū)別，還有就是線性回歸方程與獨立性檢驗。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點，當然古典概型和相互獨立事件的判斷以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。今年還需對冷門的知識點，比如用樣本方差估計總體方差、最小二乘法、殘差等知識點的掌握和理解。均是書本上提到的內(nèi)容，但長久未考，學(xué)生都容易忽視。易錯點一：回歸方程(1)回歸方程為，其中.(2)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.例（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

）A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長度和花萼長度負相關(guān)C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，把代入可得，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤故選：C變式1：（2024·青海海南·一模）近些年來，促進新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠超預(yù)期，新能源幾乎成了各個汽車領(lǐng)域的熱點．某車企通過市場調(diào)研并進行粗略模擬，得到研發(fā)投入（億元）與經(jīng)濟收益（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：研發(fā)投入億元12345經(jīng)濟收益億元2.546.5910.5(1)計算的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認為研發(fā)投入與經(jīng)濟收益具有較高的線性相關(guān)程度：（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入10億元時的經(jīng)濟收益．參考數(shù)據(jù)：附：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距．【答案】(1)，(2)，約為億元【詳解】（1）依題意，，，所以，所以，因為，所以可以認為研發(fā)投入與經(jīng)濟收益具有較高的線性相關(guān)程度；（2）由（1）可得，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當時，所以當研發(fā)投入億元時的經(jīng)濟收益約為億元.變式2：（2024·全國·模擬預(yù)測）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進行作物栽培試驗，由于土壤相對貧瘠，前期作物生長較為緩慢，為了增加作物的生長速度，達到預(yù)期標準，小明對自己培育的一株作物使用了營養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)觀察散點圖可知，天數(shù)與作物高度之間具有較強的線性相關(guān)性，用最小二乘法求出作物高度關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程（其中用分數(shù)表示）；(2)小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為，請根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測第22天該作物的高度的殘差.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，，故，，故所求回歸直線方程為.（2）由（1）可知，當時，，故所求殘差為.易錯點二：獨立性檢驗的意義獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.例（2024·吉林·模擬預(yù)測）短視頻已成為當下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，無關(guān)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計280220500零假設(shè)：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001（2）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因為，所以.（方法二）設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.變式1：（2024·河北滄州·一模）流感病毒是一種病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒傳染性最強，致死率最高，危害也最大．某藥品科技研發(fā)團隊針對甲流病毒的特點，研發(fā)出預(yù)防甲流藥品和治療甲流藥品，根據(jù)研發(fā)前期對動物試驗所獲得的相關(guān)有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計，隨機選取其中的100個樣本數(shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表：預(yù)防藥品甲流病毒合計感染未感染未使用242145使用163955合計4060100(1)根據(jù)的獨立性檢驗，分析預(yù)防藥品對預(yù)防甲流的有效性；(2)用頻率估計概率，從已經(jīng)感染的動物中，采用隨機抽樣方式每次選出1只，用治療藥品對該動物進行治療，已知治療藥品的治愈數(shù)據(jù)如下：對未使用過預(yù)防藥品的動物的治愈率為0.5，對使用過預(yù)防藥品的動物的治愈率為0.75，若共選取3只已感染動物，每次選取的結(jié)果相互獨立，記選取的3只已感染動物中被治愈的動物只數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）假設(shè)：使用預(yù)防藥品與對預(yù)防甲流無效果，由列聯(lián)表可知，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為使用預(yù)防藥品與對預(yù)防甲流有效果，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）設(shè)事件表示使用治療藥品并且治愈，事件表示未使用過預(yù)防藥品，事件表示使用過預(yù)防藥品，由題意可得，且，則，治療藥品的治愈概率，則，所以，，，，所以，隨機變量的分布列為0123.【題型一】條件概率一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=.【例1】（多選）（2024·湖南婁底·一模）對于事件與事件，若發(fā)生的概率是0.72，事件發(fā)生的概率是事件發(fā)生的概率的2倍，下列說法正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則事件發(fā)生的概率為0.36B．C．事件發(fā)生的概率的范圍為D．若事件發(fā)生的概率是0.3，則事件與事件相互獨立【答案】BCD【詳解】對于，若事件與事件互斥，則，所以，故A錯誤；對于B，，故正確；對于C，，若事件與事件互斥，則，此時取到最小值為0.24，若，此時取到最大值為，故C正確；對于D，，則，由，得，則事件與事件相互獨立，故D正確.故選：BCD.【例2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.【例3】（2024·遼寧沈陽·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，則，則故選：C【變式1】（2024·山西·二模）一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現(xiàn)依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對于A，表示第3次取出黑球，，A正確；對于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，所以，D錯誤.故選：D【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙兩人進行一場游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，比較兩者的點數(shù)大小，其中點數(shù)大的得3分，點數(shù)小的得0分，點數(shù)相同時各得1分．經(jīng)過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】用分別表示甲、乙兩人投擲一枚骰子的結(jié)果，因為甲、乙兩人每次投擲均有6種結(jié)果，則在一輪游戲中，共包含個等可能的基本事件.其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15個，概率為.同理可得，甲每輪得0分的概率也是，得1分的概率為.所以每一輪甲得分低于3分的概率為．設(shè)事件A表示甲至少有一輪比賽得3分，事件表示乙至少有一輪比賽得3分，則事件表示經(jīng)過三輪比賽，甲沒有比賽得分為3分.則，.事件可分三類情形：①甲有兩輪得3分，一輪得0分，概率為；②甲有一輪得3分，兩輪得0分，概率為；③甲有一輪得3分，一輪得0分，一輪得1分，概率為.所以，所以.故選：B．【變式3】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為.小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)事件“小明爬到第4級臺階”，“小明走了3步爬到第4級臺階”，事件包含三種情況：①小明走了4步到第4級臺階，概率為；②小明走了3步到第4級臺階，概率為，即；③小明走了2步到第4級臺階，概率為；所以，.故選：B【題型二】全概率公式與貝葉斯公式全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)我們稱上面的公式為全概率公式．*貝葉斯公式：一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有【例1】（2024·江西南昌·一模）假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為故選：C【例2】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.【例3】（2024·全國·二模）某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊.選哪支隊是隨機的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊參加比賽的概率.故選：D【變式1】（多選）（2024·山西朔州·一模）在信道內(nèi)傳輸信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為．若輸入四個相同的信號的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（

）A．若輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為B．C．D．【答案】BCD【詳解】A：因為發(fā)送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為，即收到的信號字母變的概率為，且信號的傳輸相互獨立，所以輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為，故A錯誤；B：因為，故B正確；C：，故C正確；D：因為，而，所以，故D正確；故選：BCD.【變式2】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺車床加工的概率為.【答案】【詳解】設(shè)表示“取到的零件是第臺車床加工”，表示“取到的零件是次品”，則，，故.故答案為：.【變式3】（2024·浙江麗水·二模）為保護森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進行獨立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.(1)若.（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）；(2)若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動物活動時，該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)（i）；（ii）(2)【詳解】（1）記事件為“監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，事件為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動物活動”，（i）；（ii），則；（2），，由題意可得，即，令，，得，，故，，即，即，則，因為，所以，所以，故，即，所以，故.【題型三】離散型隨機變量的分布列和概率性質(zhì)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，則E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．(2)若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.【例1】（2024·山西臨汾·二模）已知質(zhì)量均勻的正面體，個面分別標以數(shù)字1到．(1)拋擲一個這樣的正面體，隨機變量表示它與地面接觸的面上的數(shù)字．若求n；(2)在(1)的情況下，拋擲兩個這樣的正n面體，隨機變量表示這兩個正面體與地面接觸的面上的數(shù)字和的情況，我們規(guī)定：數(shù)字和小于7，等于7，大于7，分別取值0，1，2，求的分布列及期望．【答案】(1).(2)分布列見解析，.【詳解】（1）因為，所以.（2）樣本空間，共有36個樣本點.記事件“數(shù)字之和小于7”，事件“數(shù)字之和等于7"，事件“數(shù)字之和大于7”.，，共15種，故，共6種，故；，，共15種，故；從而的分布列為：012故【例2】（2024·浙江寧波·二模）三個人利用手機軟件依次進行拼手氣搶紅包活動，紅包的總金額數(shù)為個單位.第一個人搶到的金額數(shù)為1到個單位且等可能（記第一個人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個人在剩余的個金額數(shù)中搶到1到個單位且等可能，第三個人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個單位.三個人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.(1)若，則第一個人搶到的金額數(shù)可能為個單位且等可能.（i）求第一個人搶到金額數(shù)的分布列與期望；（ii）求第一個人獲得手氣王的概率；(2)在三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列的條件下，求第一個人獲得手氣王的概率.【答案】(1)（i）分布列見解析，2；（ii）；(2).【詳解】（1）若第一個人搶到的金額數(shù)為個單位，第二個人搶到的金額數(shù)為個單位，第三個人搶到的金額數(shù)為個單位，我們將三個人搶到的金額數(shù)記作.（i），所以的分布列為123.（ii）第一個人獲得手氣王時，三個人搶到的金額數(shù)只可能為，故第一個人獲得手氣王的概率.（2）記事件“三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列”，事件“第一個人獲得手氣王”.所要求的是條件概率，有.當三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列時，總金額數(shù)為9，故第一個人搶到的金額數(shù)可能為.又，，故.【例3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）有一枚質(zhì)地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，滿足的數(shù)組有：，共4個，所以，滿足的數(shù)組有：，，共18個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，共24個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，，，共18個，所以，所以X的數(shù)學(xué)期望.故選：D.【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在2002年美國安然公司（在2000年名列世界財富500強第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財務(wù)數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說這場造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個神秘的數(shù)學(xué)定理——本福特定律——嚴重偏離．本福特定律指出，一個沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個公式：隨機變量是一個沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則，則根據(jù)本福特定律，在一個沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067【答案】B【詳解】由題意可得：,故選：B【變式2】（2024·貴州黔西·一模）高一（1）班每周舉行歷史擂臺比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂者組，下周由3位同學(xué)組成攻擂者組挑戰(zhàn)，共答20題，若每位守擂者答出每道題的概率為，每位攻擂者答出每道題的概率為.為提高攻擂者的積極性，第一題由攻擂者先答，若未答對，再由守擂者答；剩下的題搶答，搶到的組回答，只要有一人答出，即為答對，記為1分，否則為0分.(1)求攻擂者組每道題答對的概率及守擂者組第1題后得分為0分的概率；(2)設(shè)為3題后守擂者的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)分布列見解析，；【詳解】（1）根據(jù)答題規(guī)則可知，若三人均答不出，則攻擂者組答不出每道題的概率；則可知攻擂者組每道題答對的概率；若守擂者組第1題后得分為0分，則第一題由攻擂者先答，該題需答對或者該題答錯由守擂者組再答題并答錯，易知守擂者組答出每道題的概率為，因此；（2）易知的所有可能取值為；第一題守擂者組得一分的概率為，搶答環(huán)節(jié)的題目守擂者組和攻擂者組搶到的概率均為，守擂者組每題得一分的概率為；即可知前三題中第一題守擂者組得一分的概率為，第二、三題得一分的概率均為；則，，，，因此的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.【變式3】（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）新鮮是水果品質(zhì)的一個重要指標.某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當天所進的水果如果當天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進貨價50元、售價100元銷售該種水果，如果當天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價的基礎(chǔ)上打五折特價銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費用30元．這樣才能保障第二天特價水果售罄，并且不影響正價水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596(1)為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進此種水果是箱劃算還是箱劃算？【答案】(1)(2)【詳解】（1）地滿足顧客需求相當于估計某類水果日銷售量的分位數(shù).由表可知，把50個日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，由，日需求量在箱及以下（含箱）的天數(shù)為，可知，可以估計日需求量的第分位數(shù)為，所以能地滿足顧客的需求，估計每天應(yīng)該進貨量為箱.（2）由（1）知，即，設(shè)每天的進貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進貨量為箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩下箱的概率為，當天賣不完剩下箱的概率為，若當天賣完元，若當天賣不完剩下箱，元，若當天賣不完剩下箱，元，所以元.設(shè)每天的進貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進貨量為箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩下箱的概率為，當天賣不完剩下箱的概率為，當天賣不完剩下箱的概率為，若當天賣完元，當天賣不完剩下箱，則元，當天賣不完剩下箱，則元，當天賣不完剩下箱，則元，所以元，由于，顯然每天的進貨量箱的期望利潤小于每天的進貨量為箱的期望利潤，所以每天購進此種水果箱劃算一些.【題型四】二項分布二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若X～B(n，p)，則E(X)＝np.D(X)=np（1-p）【例1】（2024·河北邢臺·一模）小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．(1)求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當k為何值時，最大？【答案】(1)0.6(2)6【詳解】（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時，最大.【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）某市物理教研員在一次高二全市統(tǒng)考后為了了解本市物理考試情況，從全市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生對其物理成績（單位：分，成績都在內(nèi)）進行統(tǒng)計，制成頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值，并以樣本估計總體，求本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取3人，記這3人中物理考試成績在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，68(2)分布列見解析，【詳解】（1）由題知，解得，因為，，所以可設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)為68.（2）從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機抽取1人，其物理考試成績在內(nèi)的概率為.由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望.（另解：，）【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，當時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）一質(zhì)子從原點處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動一個單位長度，則移動6次后質(zhì)子回到原點處的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為移動6次后仍然回到原點，故質(zhì)子水平方向移動偶數(shù)次，豎直方向移動偶數(shù)次若質(zhì)子水平方向移動0次，則回到原點的概率；若質(zhì)子水平方向移動2次，則回到原點的概率；若質(zhì)子水平方向移動4次，則回到原點的概率；若質(zhì)子水平方向移動6次，則回到原點的概率；故移動6次后仍然回到原點的概率為，故選：C【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測）已知隨機變量，其中，隨機變量的分布列為012表中，則的最大值為．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當，且取最大值時，．【答案】【詳解】由題意，可得，則，因為，所以當時，取得最大值，又由，可得，解得，可得，又因為，可得，所以.故答案為：；,【變式3】（2024·北京西城·一模）10米氣步槍是國際射擊聯(lián)合會的比賽項目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進入決賽．三位選手甲?乙?丙的資格賽成績?nèi)缦拢涵h(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲的射出頻數(shù)11102424乙的射出頻數(shù)32103015丙的射出頻數(shù)24101826假設(shè)用頻率估計概率，且甲?乙?丙的射擊成績相互獨立．(1)若丙進入決賽，試判斷甲是否進入決賽，說明理由；(2)若甲?乙各射擊2次，估計這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率；(3)甲?乙?丙各射擊10次，用分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中．寫出一個的值，使．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)甲進入決賽，理由見解析(2)(3)或8【詳解】（1）甲進入決賽，理由如下：丙射擊成績的總環(huán)數(shù)為，甲射擊成績的總環(huán)數(shù)為．因為，所以用樣本來估計總體可得甲進入決賽．（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)：“甲命中9環(huán)”的概率可估計為；“甲命中10環(huán)”的概率可估計為；“乙命中9環(huán)”的概率可估計為；“乙命中10環(huán)”的概率可估計為．所以這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率可估計為：（3）或8．根據(jù)題中數(shù)據(jù)：當時，在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；由題意可知：，，.此時，，，不滿足.當時，在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；由題意可知：，，.此時，，，滿足.當時，在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；由題意可知：，，.此時，，，滿足.當時，在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；由題意可知：，，.此時，，，不滿足.

所以或8．【題型五】超幾何分布超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*?.X01…mP…若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布超幾何分布列的數(shù)學(xué)期望與方差若X～H(n，M，N)，則E(X)＝.D(X)=【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學(xué)生80604020大學(xué)生30202010假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列詳見解析，(3)【詳解】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人，這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.（2）因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.（3），證明如下：，，所以.，，所以.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，對應(yīng)的平均數(shù)為所以所以.【例2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A，B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：A，B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是，A，B兩名同學(xué)作答問題相互獨立．(1)求A，B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率；(2)若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，簡要說明理由．【答案】(1)(2)應(yīng)該選擇學(xué)生，理由見解析【詳解】（1）設(shè)同學(xué)答對的題數(shù)為，則隨機變量的所有可能取值為，.則，；設(shè)同學(xué)答對的題數(shù)為，則隨機變量的所有可能取值為，，，.，，，.所以，兩名同學(xué)恰好共答對個問題的概率為.（2）由（1）知，，；而，.因為，<．所以應(yīng)該選擇學(xué)生．【例3】（2023·江西鷹潭·模擬預(yù)測）設(shè)隨機變量（且），當最大時，.【答案】2【詳解】由隨機變量，則，因為最大，所以有，即整理得，又，所以，則，故答案為：2【變式1】（2024·陜西西安·三模）每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；(2)若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以，因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.則，，．所以的分布列為234所以.【變式2】（2024·新疆·二模）水果按照果徑大小可分為四類：標準果?優(yōu)質(zhì)果?精品果?禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)個10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取20個，再從抽取的20個水果中隨機地抽取2個，用表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，0.8【詳解】（1）設(shè)“從100個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果”為事件，則，現(xiàn)有放回地隨機抽取4個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為，則，故恰好抽到2個禮品果的概率為；（2）用分層抽樣的方法從100個水果中抽取20個，則其中精品果8個，非精品果12個，現(xiàn)從中抽取2個，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為，則，所以的分布列為：012故的數(shù)學(xué)期望.【變式3】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機抽取了500名高中學(xué)生進行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值；(2)為進一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人.記參加公益勞動時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和期望；(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生參加公益勞動時間在（單位：小時）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20.當最大時，寫出k的值.（只需寫出結(jié)論）.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為(3)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中參加公益勞動時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動時間在內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝?，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123則其期望為；（3）由（1）可知參加公益勞動時間在的概率，所以，依題意，即，即，解得，因為為非負整數(shù)，所以，即當最大時，.【題型六】正態(tài)分布正態(tài)分布的定義對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當u=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度。正態(tài)分布的3σ原則【例1】（2024·山西·二模）某高校對參加軍訓(xùn)的4000名學(xué)生進行射擊、體能、傷病自救等項目的綜合測試，現(xiàn)隨機抽取200名軍訓(xùn)學(xué)生，對其測試成績（滿分：100分）進行統(tǒng)計，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出的值并估計這200名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）.(2)現(xiàn)該高校為了激勵學(xué)生，舉行了一場軍訓(xùn)比賽，共有三個比賽項目，依次為“10千米拉練”“實彈射擊”“傷病救援”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，三個項目通過各獎勵200元、300元、500元，不通過則不獎勵.學(xué)生甲在每個環(huán)節(jié)中通過的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否通過是相互獨立的.記學(xué)生甲在這次比賽中累計所獲獎勵的金額為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)若該高校軍訓(xùn)學(xué)生的綜合成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定軍訓(xùn)成績不低于98分的為“