黑龍江省肇東市第一中學2021-2022學年高考沖刺模擬數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)2．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．3．中，點在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．4．已知，滿足條件（為常數(shù)），若目標函數(shù)的最大值為9，則（）A． B． C． D．5．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．47．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．8．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．9．三棱錐的各個頂點都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．11．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設全集，，，則______.14．如圖在三棱柱中，，，，點為線段上一動點，則的最小值為________.15．某校為了解家長對學校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評分分組合計高一1366420高二2655220根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設兩個年級家長的評價結果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發(fā)生的概率為__________.16．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的實數(shù)，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合．對于，記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積，cj(A)為A的第j列各數(shù)之積．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）請寫出一個AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明理由；（Ⅲ）給定正整數(shù)n，對于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項和，，求證：數(shù)列的前項和.19．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點，求直線的極坐標方程.20．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.21．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用導數(shù)求得在上遞增，結合與圖象，判斷出的大小關系，由此比較出的大小關系.【詳解】因為，所以在上單調遞增；在同一坐標系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用函數(shù)的單調性比較大小，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.2．B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.3．B【解析】

由平分，根據(jù)三角形內角平分線定理可得，再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分，根據(jù)三角形內角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.4．B【解析】

由目標函數(shù)的最大值為9，我們可以畫出滿足條件件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值．【詳解】畫出，滿足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標函數(shù)的最大值為9，可得直線與直線的交點，使目標函數(shù)取得最大值，將，代入得：．故選：．【點睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值．5．A【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．6．C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.7．A【解析】

由推導出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質、基本不等式以及函數(shù)單調性的應用，考查計算能力，屬于中等題.8．D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調性，從而根據(jù)單調性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱；在，上單調遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9．A【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【詳解】如圖，設三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.10．C【解析】

由題意可知，，由可得出，，利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域為，對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，則，，則，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調遞增；當時，，此時函數(shù)單調遞減.所以，.故選：C.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.11．D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.12．C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎題．14．【解析】

把繞著進行旋轉，當四點共面時，運用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉至與面在一個平面，展開圖如圖所示，若，，三點共線時最小為，為直角三角形，故答案為：【點睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內兩點之間線段最短，解直角三角形進行求解，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.15．0.42【解析】

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點睛】本題考查獨立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.16．（-4，2）【解析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）可取第一行都為-1，其余的都取1，即滿足題意；（Ⅱ）用反證法證明：假設存在，得出矛盾，從而證明結論；（Ⅲ）通過分析正確得出l(A)的表達式，以及從A0如何得到A1，A2……，以此類推可得到Ak．【詳解】（Ⅰ）答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，證明如下:假如存在，使得.因為，，所以，，...，，，，...，這18個數(shù)中有9個1，9個-1.令.一方面，由于這18個數(shù)中有9個1，9個-1，從而①，另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這81個實數(shù)之積為m）；也表示m，從而②，①，②相矛盾，從而不存在，使得.（Ⅲ）記這個實數(shù)之積為p.一方面，從“行”的角度看，有；另一方面，從“列”的角度看，有；從而有③，注意到，，下面考慮，，...，，，，...，中-1的個數(shù)，由③知，上述2n個實數(shù)中，-1的個數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為，則1的個數(shù)為2n-2k，所以，對數(shù)表，顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，顯然，將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，顯然，依此類推，將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，即數(shù)表滿足：，其余，所以，，所以，由k的任意性知，l（A）的取值集合為.【點睛】本題為數(shù)列的創(chuàng)新應用題，考查數(shù)學分析與思考能力及推理求解能力，解題關鍵是讀懂題意，根據(jù)引入的概念與性質進行推理求解，屬于較難題.18．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導后討論當時和時的單調性證明，求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式，利用當時，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因為，所以，，切點為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當且僅當取等號）.故在上為增函數(shù).①當時，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當時，由于，，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當時，,故在上為減函數(shù)，所以當時，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（Ⅱ）知當時，，故當時，，故，故.下面證明：因為而，所以，，即：點睛：本題考查了利用導數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導數(shù)的單調性證明數(shù)列的不等式，在求解的過程中還要求出數(shù)列的和，計算較為復雜，本題屬于難題．19．（1），，表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)的直角坐標方程，利用，即得的直角坐標方程；（2）由直線與拋物線相切，求導可得切線斜率，再由直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直，可求解得到切點坐標，即得解.【詳解】（1）消去參數(shù)的直角坐標方程為：.的極坐標方程.∵，.當時表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線.（2）設切點為，由于，則切線斜率為，由于直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直，故有，直線的直角坐標方程為，所以的極坐標方程為.【點睛】本題考查了極坐標，參數(shù)方程綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.20．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導數(shù)可得，，再構造新函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點，（1）處的切線方程為，又曲線在點，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調遞減，又，（1），故存在，使得，且當時，，單調遞增，當，時，，單調遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當時，，，單調遞增，當，時，，，單調遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點，且，即，則，令，則，故在上單調遞增，由