4.3探索三角形全等的條件（備課件）七年級數(shù)學下冊系列（北師大版）

北師大版

七年級下冊數(shù)學第四章

三角形

4.3探索三角形全等的條件ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能夠重合的兩個三角形叫全等三角形.3.已知△ABC

≌△DEF，找出其中相等的邊與角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性質？全等三角形的對應邊相等，對應角相等.知識回顧如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?想一想：即：三條邊分別相等，三個角分別相等的兩個三角形全等．問題引入探究活動1：一個條件可以嗎？（1）有一條邊相等的兩個三角形不一定全等（2）有一個角相等的兩個三角形不一定全等結論：有一個條件相等不能保證兩個三角形全等.一、三角形全等的判定（“邊邊邊”）6cm300有兩個條件對應相等不能保證三角形全等.60o300不一定全等探究活動2：兩個條件可以嗎？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o

6cm結論：（1）有兩個角對應相等的兩個三角形（2）有兩條邊對應相等的兩個三角形（3）有一個角和一條邊對應相等的兩個三角形結論:三個內角對應相等的三角形不一定全等.（1）有三個角對應相等的兩個三角形60o30030060o90o90o探究活動3：三個條件可以嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三邊對應相等的兩個三角形會全等嗎？

先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′

,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′

=AC.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他們全等嗎？ABCA′B′C′想一想：作圖的結果反映了什么規(guī)律？你能用文字語言和符號語言概括嗎？作法：（1）畫B′C′=BC；（2）分別以B',C'為圓心，線段AB,AC長為半徑畫圓，兩弧相交于點A'；（3）連接線段A'B',A'C'.動手試一試文字語言：三邊對應相等的兩個三角形全等.（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）

“邊邊邊”判定方法ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，幾何語言：例1

如圖，有一個三角形鋼架，AB=AC

，AD是連接點A

與BC中點D

的支架．是說明：（1）△ABD≌△ACD

．CBDA典例精析解題思路：先找隱含條件公共邊AD再找現(xiàn)有條件AB=AC最后找準備條件BD=CDD是BC的中點證明：∵

D

是BC中點，

∴BD=DC．在△ABD

與△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）準備條件指明范圍擺齊根據(jù)寫出結論(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形對應角相等）

一張教學用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復原來三角形的原貌嗎？怎么辦？可以幫幫我嗎？二、三角形全等的判定（“角邊角”）做一做如果“兩角及一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊，比如三角形的兩個內角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm,你能畫出這個三角形嗎？你畫的三角形與同伴畫的一定全等嗎？改變角度和邊長，你能得到同樣的結論嗎?兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.歸納歸

納1.判定方法三：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三

角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”)．2.

證明書寫格式：在△ABC和△A′B′C′中，

∠A＝∠A′,AB＝A′B′，

∠B＝∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.∵例1已知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.試說明：△ABC≌△DEF.要說明△ABC與△DEF全等，從條件看，已知有一邊和一角相等，由AC∥DF易得相等線段的另一端點處的角相等．因為AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.又因為∠A＝∠D，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF(ASA)．導引：解：例2

如圖，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.試說明：BC＝ED.要說明BC＝ED，需說明它們所在的三角形全等，由于∠B＝∠E，AB＝AE，因此需說明∠BAC＝∠EAD，即需說明∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2，易知成立．導引：因為∠1＝∠2，所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD.在△BAC和△EAD中，因為所以△BAC≌△EAD(ASA)．所以BC＝ED.解：在說明兩個三角形全等所需要的角相等時，目前通常采用的方法有：(1)公共角、對頂角分別相等；(2)等角加(減)等角，其和(差)相等，即等式的性質；(3)同角或等角的余(補)角相等；(4)角平分線得到相等角；(5)平行線的同位角、內錯角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形對應角相等；(8)第三角代換，即等量代換等．總結議一議如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對邊，情況會怎樣呢？你能將它轉化為“做一做”中的條件嗎？三、三角形全等的判定（“角角邊”）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.歸納例3如圖，AD是△ABC的中線，過點C，B分別作AD的垂線CF，BE.試說明：BE＝CF.要說明BE＝CF，可根據(jù)中線及垂線的定義和對頂角的性質來說明△BDE和△CDF全等．導引：因為AD是△ABC的中線，所以BD＝CD.因為CF⊥AD，BE⊥AE，所以∠CFD＝∠BED＝90°.在△BDE和△CDF中，因為所以△BDE≌△CDF(AAS)．所以BE＝CF.解：利用兩個三角形全等解決問題，先根據(jù)已知條件或要說明的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法看缺什么條件，再去說明什么條件，簡言之：即綜合利用分析法和綜合法尋找解題的途徑．總結例4如圖，在四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.試說明：△ABC與△DEC全等．如圖，因為∠BCE＝∠ACD＝90°，所以∠3＋∠4＝∠4＋∠5.所以∠3＝∠5.在△ACD中，∠ACD＝90°，所以∠2＋∠D＝90°.因為∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，所以∠1＝∠D.在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC.解：例5我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對角線AC，BD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).試說明：OE＝OF.因為在△ABD和△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD＝∠CBD.又因為OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.在△BOE和△BOF中，所以△BOE≌△BOF(AAS)．所以OE＝OF.解：問題：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”它們能判定兩個三角形全等嗎？四、三角形全等的判定（“邊角邊”）尺規(guī)作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使兩邊和它們的夾角對應相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？ABC探究活動1：SAS能否判定的兩個三角形全等動手試一試ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′與

△ABC

全等嗎？如何驗證？②這兩個三角形全等是滿足哪三個條件？在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．知識要點

“邊角邊”判定方法幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必須是兩邊“夾角”例1如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF.試說明：△ABE≌△CDF.要說明△ABE≌△CDF，已知BE＝DF，只需說明∠AEB＝∠CFD和AE＝CF即可．而∠AEB＝∠CFD由BE∥DF可得；AE＝CF由AF＝CE可得．導引：因為BE∥DF，所以∠AEB＝∠CFD.又因為AF＝CE，所以AF＋FE＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，因為所以△ABE≌△CDF(SAS)．解：例2如圖，AC和BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD.試說明：DC∥AB.根據(jù)“邊角邊”可說明△ODC≌△OBA，可得∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)，即可說明DC∥AB.導引：在△ODC和△OBA中，因為所以△ODC≌△OBA(SAS)．所以∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的對應角相等)，所以DC∥AB(內錯角相等，兩直線平行)．解：1如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE

B．AC＝DFC．∠A＝∠D

D．BF＝ECC2如圖，D是AC上一點，BE∥AC，BE＝AD，AE分別交BD，BC于點F，G.圖中與△FAD全等的三角形是(

)A．△ABF

B．△FEBC．△ABG

D．△BCDB△ABC≌

（SSS）.（1）如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？試說明理由.解：△ABC≌△DCB.理由如下：AB=CD,AC=BD,=（2）如圖，D、F是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE