四川省綿陽市三臺(tái)縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

三臺(tái)縣2024年春高二半期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)一、單選題；本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求解．【詳解】對(duì)A,,故A錯(cuò)誤；對(duì)B,,故B正確；對(duì)C,,故C錯(cuò)誤；對(duì)D,,故D錯(cuò)誤.故選：B2.數(shù)列中，，，則（）A.230 B.210 C.190 D.170【答案】D【解析】【分析】借助等差數(shù)列的定義及相關(guān)公式計(jì)算即可.【詳解】由題知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.故選:D.3.若上的可導(dǎo)函數(shù)在處滿足，則（）A.6 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A.4.在數(shù)列中，若，，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期，從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，故，，，故為周期?shù)列且周期為3，而，故，故選：C.5.定義數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列為,則數(shù)列的第101項(xiàng)為（）A.2025 B.2021 C.2017 D.2013【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，所以它們的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列的公差為，再兩個(gè)數(shù)列的第1個(gè)公共項(xiàng)為，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則第101項(xiàng)為.故選：D.6.已知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，有恒成立，參變分離求在區(qū)間上最大值，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并且在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，則，即恒成立，，因在上最大值為，所以.故選：.7.長征五號(hào)B運(yùn)載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運(yùn)載火箭，是中國近地軌道運(yùn)載能力最大的新一代運(yùn)載火箭，長征五號(hào)有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個(gè)半罩組成，某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個(gè)圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值，【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則該模型的體積，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故選：C8.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性與單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋郑允桥己瘮?shù)，又，令，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，所以，所以.故選：B.二、多選題：共4小題，每題5分，共20分，每個(gè)題目有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)符合，錯(cuò)選不得分，少選得2分9.已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合“巧值點(diǎn)”的定義，逐個(gè)求解是否有解即可．【詳解】對(duì)于A，，令，得或，有“巧值點(diǎn)”，故A正確；對(duì)于B，，令，無解，無“巧值點(diǎn)”．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，令，作出與的圖象，如圖，結(jié)合，的圖象，知方程有解，有“巧值點(diǎn)”,故C正確對(duì)于D，,令，則，得，故D正確.故選：ACD．10.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得，從而判斷AB；利用作差法，結(jié)合遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷CD.【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，又，，即當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以是從第二項(xiàng)起首項(xiàng)為的常數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，則，綜上，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD．11.設(shè)定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)的圖象（如圖）與軸的交點(diǎn)分別為.則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)分析在某一區(qū)間上的正負(fù)，從而判斷在該區(qū)間上的單調(diào)性，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由函數(shù)和圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增.所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以A錯(cuò)誤，B正確；C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.12.如圖，等邊的邊長為，取等邊各邊的中點(diǎn)，作第2個(gè)等邊，然后再取等邊各邊的中點(diǎn)，作第3個(gè)等邊，依此方法一直繼續(xù)下去.設(shè)等邊的面積為，后繼各等邊三角形的面積依次為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.是和的等比中項(xiàng)C.從等邊開始，連續(xù)5個(gè)等邊三角形的面積之和為D.如果這個(gè)作圖過程一直繼續(xù)下去，那么所有這些等邊三角形的面積之和將趨近于【答案】ACD【解析】【分析】利用邊長關(guān)系，得到，即可得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可判斷A、B，然后利用等比數(shù)列求和公式判斷C、D.【詳解】設(shè)三角形的邊長為數(shù)列，由題意知，三角形的邊長是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，根據(jù)三角形面積公式，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，令，，選項(xiàng)A正確；，則，，兩邊取對(duì)數(shù),，，，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列求和公式，，選項(xiàng)C正確；，當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，趨向于0，面積和將趨近于，選項(xiàng)D正確；故選：ACD三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卷的橫線上.13.數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】【分析】由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不滿足.所以，.故答案為：.14.已知函數(shù)，若時(shí)，取得極值0，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，列方程組可求出，然后再檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)是否能取得極值，即可得答案【詳解】由，得，因?yàn)闀r(shí)，取得極值0，所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在在處取不到極值，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)在處取得極值，所以，所以.故答案為：1815.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的值是___________.【答案】32【解析】【分析】根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】由是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則可得，故，所以，故答案為：32.16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】直接求導(dǎo)得，再設(shè)新函數(shù)，首先討論的情況，當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則由題轉(zhuǎn)化為，解出即可.【詳解】，，令,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)時(shí),令,解得.令,解得,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值.當(dāng)趨近于0與趨近于時(shí),,要使在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,只需,解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6個(gè)小題，其中第17題10分，其余每小題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，（1）求數(shù)列{an}的首項(xiàng)，公差；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.【答案】（1）a1=4，d=0或a1=1，d=3；（2）前n項(xiàng)和為Sn=4n或.【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得，然后結(jié)合用基本量法求解．【詳解】（1）由題意，又，∴，解得，∴（2），直接利用等差數(shù)列求和公式得，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵就是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式進(jìn)行求解18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)切線的方程可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可比較端點(diǎn)值以及極值點(diǎn)處的函數(shù)值得最值.【小問1詳解】，，所以，解得，【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)，令，解得或，故在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，由于，，所以19.已知數(shù)列，______．在①數(shù)列的前項(xiàng)和為，；②數(shù)列的前項(xiàng)之積為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選______”）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）選①，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，求出通項(xiàng)公式；選②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求出通項(xiàng)公式；（2）由，求出，利用裂項(xiàng)相消，求出，進(jìn)而得到結(jié)論.【小問1詳解】選①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，①②①②得：，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以．選②，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?0.某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．（1）設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；（2）設(shè)從2024年起第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為萬元，依上述預(yù)測(cè)，從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？【答案】（1）（2）4【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和；(2)是數(shù)列前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出即可；作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得是等差數(shù)列，，所以，由題意得，所以，所以是首項(xiàng)為250，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】是數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，所以，，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，時(shí)，所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上存2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）討論當(dāng)時(shí)，方程變形為，設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】若，在上無零點(diǎn)，不合題意；若，由，得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，又，所以要使直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）設(shè)，若對(duì)且，都有，求