2016-2017高三“三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)分析與指導(dǎo)(田正式版)

高三“三角函數(shù)”專題的復(fù)習(xí)分析與指導(dǎo)北京市第一0一中學(xué)田媛一、“三角函數(shù)”專題內(nèi)容分析（一）“三角函數(shù)”專題知識體系的梳理1、地位與價值在教學(xué)中，三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都較強(qiáng)，對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力都有很重要的作用。從三角函數(shù)的起源來看，三角函數(shù)起源于生活中的天文學(xué)，被廣泛應(yīng)用于解決航海通商問題，此后在自動控制、電子領(lǐng)域、工程領(lǐng)域等都有重要意義。從歷年高考的情況來看，三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正余弦定理與解三角形等都是高考的熱點問題，并常與其他交匯以解答題的形式考查，難度適中。2、知識網(wǎng)絡(luò)圖3、核心知識①研究三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，其突出特征是具有周期性的函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)具有邊界和零點；難點是函數(shù)的圖像變換，的確定：；的確定：；的確定：；的確定：初始角，與平移單位有關(guān).②三角恒等變換的綜合應(yīng)用，主要應(yīng)用于兩個方面：一是化簡函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合；二是解三角形與正弦定理和余弦定理結(jié)合在平面幾何圖形中求解相關(guān)的幾何量，解三角形就是有條件的恒等變換.（二）“三角函數(shù)”專題中研究的核心問題1、問題類型①三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)綜合問題，常涉及三角恒等變換、圖像變換、周期性、單調(diào)性、對稱性和最值等；②解三角形問題，只要涉及兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等；③三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形的綜合問題，其本質(zhì)是解決有條件的三角恒等變換問題，因此注意角的范圍對變形過程的影響.2、問題研究與解決①三角函數(shù)求值與化簡的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齊次式化切”等；和積互化：包括“平方關(guān)系”、“降冪公式”和利用進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化；巧用“1”的變換：②轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的基本類型：設(shè)，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；借助輔助角公式轉(zhuǎn)化為；設(shè)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)（閉區(qū)間內(nèi)）；設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；，設(shè)，當(dāng)時可用均值定理；③函數(shù)的奇偶性、對稱性及圖像變換對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點或最低點，對稱中心一定與函數(shù)零點有關(guān)；由的圖像通過變換得到的圖像有兩種途徑：“先平移后伸縮”或“先伸縮后平移”，可用“五點法”作為突破口.④通過三角恒等變換解決三角求值問題，做到三變：“變角——變名——變式”給角求值：關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成特殊角或消去非特殊角；給值求值：現(xiàn)變同角再求值；給值求角：轉(zhuǎn)化為“給值求值”，注意角的范圍.⑤利用正、余弦定理解三角形的兩種途徑：“化邊為角”通過三角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系；“化角為邊”通過解方程求邊；都要注意三角函數(shù)值的符號與角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解.（三）“三角函數(shù)”專題蘊(yùn)含的核心觀點、思想和方法1、學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的主要困難（1）知識、技能方面：①解題時存在背景知識與技能的激活障礙；②解題時多知識點之間的聯(lián)系存在障礙；③三角函數(shù)核心概念及方法理解有誤.（2）方法、策略方面：①不能正確識別模式；②缺乏公式導(dǎo)致解題步驟增加，使可用的解題策略減少；③數(shù)形之間無法結(jié)合.（3）心理、習(xí)慣、態(tài)度方面：①解題差錯無法自主發(fā)現(xiàn)；②方法知道但計算不對.2、三角函數(shù)知識的核心觀點張景中院士認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課程中三角函數(shù)至關(guān)重要，它是幾何與代數(shù)的一座橋梁，溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道，函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要數(shù)學(xué)知識與三角有關(guān)，大量實際問題的解決要用到三角知識.強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)中的函數(shù)思想，三角函數(shù)已經(jīng)不僅僅是解三角形的工具，而是一個重要的函數(shù)模型；數(shù)形結(jié)合解決三角函數(shù)的圖形變換；加強(qiáng)三角函數(shù)的應(yīng)用意識，特別是用于解三角形問題.3、核心思想方法與核心技能“三種思想”+“三個技能”：函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合思想；運算技能：對三角函數(shù)解析式的恒等變形以及轉(zhuǎn)化為型函數(shù)的運算，正余弦定理公式的合理選擇和化簡運算等；作圖技能：根據(jù)任務(wù)需求繪制相應(yīng)要求精度的三角函數(shù)圖象，五點法畫圖等；推理技能：依據(jù)三角函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理判斷運算方向，以及對三角形形狀的判斷二、“三角函數(shù)”專題的典型考題結(jié)構(gòu)（一）近年北京高考題中三角函數(shù)考察的內(nèi)容年份理科文科2016第7題：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第15題：三角形中余弦定理、三角恒等變換第13題：三角形中正弦定理第16題：三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)2015第12題：三角形中三角函數(shù)第15題：正弦型函數(shù)性質(zhì)第11題：解三角形第15題：正弦型函數(shù)性質(zhì)2014第14題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第15題：解三角形第12題：解三角形第14題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)2013第3題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第15題：解三角形第5題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)、特殊角的函數(shù)值2012第11題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第11題：解三角形（姊妹題）第15題：同理科152011第9題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第9題：解三角形（姊妹題）第15題：同理科15試題特點：試題總體比較平穩(wěn)，不管是位置還是考察的知識點和難度都是比較穩(wěn)定的，高考降低了復(fù)雜的三角恒等變形公式的考察，回歸到雙基和通性通法的考察上，文科基本小題考察解三角形，大題就是用三角公式變形為正弦型函數(shù)，在討論它的性質(zhì)（特殊值、周期、值域）。理科2013、2014、2016年考察有些求變；小題考圖象性質(zhì)（靈活性增強(qiáng)）而大題考察解三角形，2011、2012、2015年考察雙基和通性通法上。（二）海淀區(qū)三次統(tǒng)考中三角函數(shù)考察的內(nèi)容第二次第三次第四次14、新定義、理解與應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)“友好”三角形7、分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、兩角和與差的正弦與余弦4、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換15、三角恒等變換（求周期）、三角函數(shù)的性質(zhì)、運算能力（提斜公式）15、正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、數(shù)學(xué)計算能力、等價轉(zhuǎn)化能力15、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、運算能力、分析問題解決問題的能力（三）典型考題舉例（近年北京高考文、理科真題）1、（2016北京理7）將函數(shù)y=sin（2x）圖象上的點P（，t）向左平移s（s＞0）個單位長度得到點P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（A）A．t=，s的最小值為 B．t=，s的最小值為C．t=，s的最小值為 D．t=，s的最小值為2、（2016北京理15）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（B=）（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．（1）3、（2016北京文13）在△ABC中，，a=c，則=___1______.4、（2016北京文16）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（）（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.（的單調(diào)遞增區(qū)間為（））5、（2015年北京文11）在中，，，，則．（）6、（2015年北京文15）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（）（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．（）7、（2015年北京理科12）在中，，，，則 ．（1）8、（2015年北京理科15）已知函數(shù)．(Ⅰ)求的最小正周期；（）(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值．9、（2014年北京文16）函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖像如圖所示．(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．10、（2014·北京文12）在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，則c＝________；sinA＝________．11、（2014·北京理14）設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且，則f(x)的最小正周期為_______．12、（2014·北京理15）如圖1-2，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．13、（2013北京文5）在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3)D．114、（2013北京文15）已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．15、（2013北京理3）“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件16、（2013北京理15）在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A．(1)求cosA的值；(2)求c的值．三、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)目標(biāo)的分析與定位（一）高考考試要求考試內(nèi)容要求層次ABC三角函數(shù)任意角的概念和弧度制√弧度與角度的互化

√任意角的正弦、余弦、正切的定義√√誘導(dǎo)公式√同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式√周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期性√函數(shù)，，的圖象和性質(zhì)√函數(shù)的圖象√用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題

√三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦、正切公式√二倍角的正弦、余弦、正切公式√簡單的恒等變換√解三角形正弦定理、余弦定理√解三角形√（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)1、同角關(guān)系下的函數(shù)名的轉(zhuǎn)化——“齊次式”化切的訓(xùn)練例1、已知為三角形的內(nèi)角，且，則探究1：求探究2：求探究3：求探究4：求2、運用函數(shù)思想解決三角問題例2、①若，，則（C）A．B．C．D．②若，則與的大小關(guān)系（D）A．B．C．D．與的取值有關(guān)③已知函數(shù)，則的值為1④若函數(shù)的圖像上存在兩點，使函數(shù)的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)具有T性質(zhì)的是（A）A．B．C．D．⑤若函數(shù)，時單增，則的取值范圍是（C）A．B．C．D．3、關(guān)注相位變換，研究的圖像與性質(zhì)例3、①若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為（B）A．B．C．D．②將函數(shù)的圖像上的點向左平移個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖像上則（A）A．B．C．D．③已知函數(shù)，為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值是（B）A．11B．9C．7D．5④已知，函數(shù)，在上是減函數(shù)，則的取值范圍是4、三角恒等變換的一般步驟：變角——變名——變式例4、①若是偶函數(shù)，則__0__②函數(shù)的最大值（B）A．4B．5C．6D．7③1④設(shè)，，且，則5、解三角形及其應(yīng)用例5、①在△ABC中，a2+c2=b2+ac．求cosA+cosC的最大值1．②在平行四邊形ABCD中，，，求的取值范圍是③在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知（1）求證：；（2）求的最小值.（=）四、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)實施建議（一）復(fù)習(xí)課時參考1、角的概念的推廣及任意角的三角函數(shù)（1課時）2、同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式（1課時）3、兩角和與差的正弦、余弦和正切（1課時）4、二倍角公式（1課時）5、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2課時）6、函數(shù)的圖象及性質(zhì)（1課時）7、利用正弦定理、余弦定理解三角形（1課時）8、三角函數(shù)綜合（2課時）（二）教學(xué)建議及示范注：由李老師提供五、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)資源2015——2016海淀區(qū)四次統(tǒng)考試題（三角部分）理科文科第一次5.已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C.的最小正周期為D.的值域為6.“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件13.已知函數(shù).若的圖像向左平移個單位所得的圖像與的圖像向右平移個單所得圖像位重合，則的最小值為