Matlab數(shù)據(jù)處理與分析1

/前言MATLAB一直是國際科學(xué)界應(yīng)用和影響最廣泛的軟件工具，有著Mathematica和Maple無法比擬的優(yōu)勢和適用面。它不僅僅是一款數(shù)學(xué)軟件，應(yīng)用于微積分、概率統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)、線性變換、解方程、最優(yōu)化、插值與數(shù)據(jù)顯示等方面，也應(yīng)用于模糊邏輯、小波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、模式識別方面求解。另外數(shù)字信息處理、系統(tǒng)仿真、自動化、工程力學(xué)、信息與系統(tǒng)、模擬電路等方面都廣泛的應(yīng)用。使用好的數(shù)據(jù)處理方法和相應(yīng)的軟件工具對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理是大學(xué)理工數(shù)各專業(yè)學(xué)生應(yīng)具備的基本技能，對于相關(guān)課程的學(xué)習(xí)也非常重要。MATLABT優(yōu)點眾多，本書只是重點討論MATLAB在數(shù)據(jù)處理方面的應(yīng)用。具體包括以下方面的內(nèi)容：1．MATLAB安裝與界面使用詳解；2．?dāng)?shù)組與矩陣與其運算；3．MATLAB常用數(shù)值計算；4．代數(shù)方程與最優(yōu)化；5．符號計算；6．插值與擬合；7．?dāng)?shù)據(jù)與函數(shù)的顯示。在閱讀過程中，要求上機(jī)執(zhí)行書中的相關(guān)程序代碼，熟練書的相關(guān)知識，要求勤查MATLAB自帶的幫助系統(tǒng)，才能起到很好的學(xué)習(xí)效果。MATLAB的安裝和界面使用本章詳細(xì)講述MATLABR2007a的安裝和界面的使用。MATLAB安裝首先雙“setup.exe”之后，出現(xiàn)如圖1-1的“WelcometotheMathWorksInstaller”窗口，然后點擊“Next”按鈕。1-1進(jìn)入圖1-2的“LicenseInformation”窗口，在Name框和Organization輸入1-2相應(yīng)名稱（自行命名）。然后安裝目錄下的“serial.txt”文件，將序列號復(fù)制到“PleaseenteryourPersonalLicensePassword(PLP)”框中，然后點擊“Next”按鈕。待少許時間，防火墻會提示是否允許訪問網(wǎng)絡(luò)的提示框，如瑞星防火墻會出如下圖1-3的對話框。1-3選擇“總是允許”，并按“確定”。進(jìn)入“MathWorksAccount”對話框如圖1-4。圖1-4選擇“InstalltheproductversionsfrommyDVDorlocaldiskonly”選項按鈕，進(jìn)入“Licenseagreement”對話框，然后選擇“Yes”按鈕。圖1-5進(jìn)入“InstallationType”對話框，如圖1-6所示，然后選擇“Typical”按鈕，點擊“Next”。圖1-6然后進(jìn)入“”對話框，如圖1-7所示?？梢愿陌惭b目錄，也呆保持默認(rèn)。如果系統(tǒng)盤的空間不空，則應(yīng)更改安裝目錄，以保證機(jī)器的正確運行。圖1-7在接下來的步驟中，皆選擇“Next”按鈕，即可。MATLAB的啟動與界面詳解在開始菜單中，選擇：開始\程序\MATLAB\R2007a\matlabR2007a，如圖1-8所示。圖1-8然后進(jìn)入MATLAB應(yīng)用程序主界面，如圖1-9所示。最上方是標(biāo)題欄，顯示版本信息：MATLAB7.4.0(R2007a)：再往下的一欄是菜單欄：圖1-9接下來是工具欄：其中是指定當(dāng)前工作路徑，如果要向某文件夾中讀取或保存相關(guān)內(nèi)容，則通過點擊，然后選擇該文件夾作為當(dāng)前工作路徑。然后點擊左側(cè)的，則會出現(xiàn)CurrentDirectory對話框如圖1-10所示，用來顯示當(dāng)前路徑中的文件信息。它和Workspace處于同一具標(biāo)簽對話框中。圖1-10右側(cè)是CommandWindow窗口，如圖1-11所示，是用來輸入MATLAB指令的。一打開MATLAB則在CommandWindow中會出現(xiàn)“>>”，此符號表示MATLAB軟件已準(zhǔn)備好了，正在待命令的輸入。如輸入指令：A=[123]然后回車，則出現(xiàn)運算結(jié)果：A=123此指令表示輸入一個一行三列的矩陣（即行向量），并將此矩陣（向量）保存在變量A中。關(guān)于矩陣與向量向量，在第二章中詳細(xì)解釋。圖1-11指令執(zhí)行完畢之后，會發(fā)現(xiàn)左下方的CommandHistory窗口中會多出現(xiàn)一行剛剛輸入的指令。如圖1-12所示，CommandHistory是用來保存輸入過的命令，方便以后查找或再次使用。同時Workspace標(biāo)簽屬性頁也會多出一行。如圖1-12所示，CurrentDirectory是用來顯示可用的各種變量的。圖中說是說明了剛才得到的變量A，它的值、最小、最大元素與類型等信息。圖1-12圖1-13在上任一處右擊，然后在彈出菜單上選擇需要查看的相關(guān)信息。如圖1-14所示。如果需要用到以前的命令，可以在CommandHistory窗口中查到，可按日期查找，可以選擇單條歷史命令，也可以同時選擇多條歷史記錄。然后右選擇復(fù)制，將其粘貼到CommandWindow窗口中執(zhí)行。也可將其作為文本復(fù)制到Word文檔或txt文檔中。如果雙擊歷史記錄中的命令，則系統(tǒng)會立即執(zhí)行被雙擊的命令一次。如果CommandHistory窗口中一些命令不需要，可以一條或多條記錄，然后按“Delete”鍵，將之刪除。圖1-14圖1-15MATLAB的幫助詳解點擊主菜單中的Hellp\MATLABHelp或直接按F1，進(jìn)入MATLAB自帶的幫助界面，如圖1-16所示。點擊各個節(jié)點可以查看相關(guān)幫助信息。幫助文件里有詳細(xì)的解釋和豐富的實例。圖1-16由幫助界面，可以看以MATLAB的強(qiáng)大功能，它可以與主流的軟件開發(fā)工具進(jìn)行混合編程開發(fā)。與Java和.Net無縫對接。只有勤查幫助或網(wǎng)上查找資料才能起到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。數(shù)組與矩陣的概念與其運算在MATLAB中預(yù)定了一些符號，用于特定的含義，以下是一些預(yù)定義的符號：表2-1符號意義符號意義ans默認(rèn)變量名pi圓周率eps機(jī)器可識別的最小的數(shù)flops浮點運算之?dāng)?shù)inf無窮大NaN非數(shù)i或j虛數(shù)單位realmax最大的實數(shù)realmin最小的實數(shù)intmax最大的整數(shù)其余的請參看聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)。數(shù)組與矩陣的概念MATLAB中，數(shù)組和矩陣本身是沒有區(qū)別的，在內(nèi)存中是一樣的。只是針對不同的運算方式，將其為數(shù)組運算或矩陣運算。如果運算是按元素對應(yīng)進(jìn)行的，則稱為數(shù)組運算。如果按線性代數(shù)學(xué)中的方式運算，則稱為矩陣運算，如例2-1例2-1數(shù)組與矩陣的區(qū)別演示。設(shè)有矩陣A和B如下：以數(shù)組方式運算方式：，其中Inf表示無窮大（非數(shù)）MATLAB指令：A=[-11;02]%輸入的矩陣保存在變量A中A=-1102B=[-11;02]%輸入的矩陣保存在變量B中B=-1102A.*B%以數(shù)組方式相乘，ans=-1208A./B%以數(shù)組方式相除ans=-12Inf2幾點說明：1、MATLAB中，矩陣（數(shù)組）按元素逐個輸入的方法，就是將所有元素放在一對方括號內(nèi)，行與行之間以分號“;”隔開，每一行中各元素之間以空格或逗號隔開。詳細(xì)說明參看2.2節(jié)內(nèi)容；2、MATLAB指令輸入時，必需在英文狀態(tài)下輸入，否則會出錯；3、如果一條指令以分號“;”作為結(jié)束符，則運算結(jié)果并不顯示在CommandWindow窗口中，但保存在Workspace中。如果沒有分號，則將結(jié)果顯示在CommandWindow中；4、百分號“%”表示注釋，從％開始到行未為方便人閱讀所加的注釋，不是指令中的一部分；5、注意數(shù)組方式運算有一個小黑點“.”；6、本書中凡MATLAB指令都用加粗字體；7、MATLAB中變量無需要聲明就可直接使用，根據(jù)賦值符號“＝”右則表達(dá)式的類型來自動確定左側(cè)的類型。如A=[-11;02]，A表示一個2階矩陣。以矩陣方式運算（即按線性代數(shù)中的矩陣運算）：當(dāng)然，矩陣的加法和減法兩種方式都是一樣的，MATLAB指令：A*B%矩陣方式相乘ans=-15-311A/B%矩陣方式相除ans=-1.00001.5000-3.00003.5000注意：如本書中后面內(nèi)容只提與矩陣，只有當(dāng)涉與到數(shù)組方式的運算時才將矩陣稱為數(shù)組。矩陣的創(chuàng)建和操作在MATLAB中，有兩種創(chuàng)建矩陣的方法。一是直接按元素逐個輸入的方法，如例2-1所示；另一種就是使用MATLAB相關(guān)的指令來創(chuàng)建。一、直接輸入元素創(chuàng)建直接按元素逐個輸入來創(chuàng)建矩陣，就是將所有元素放在一對方括號內(nèi)，行與行之間以分號“;”隔開，每一行中各元素之間以空格或逗號隔開。只有一行的矩陣稱為行向量（也稱為一維數(shù)組），只有一列的矩陣稱為列向量。此方法可創(chuàng)建向量和矩陣。例2-2直接輸入創(chuàng)建向量和矩陣演示。vr=[1234]%創(chuàng)建行向量，元素之間以空格隔開vr=1234vc=[1;2;3]%創(chuàng)建列向量，行之間以分號隔開vc=123m23=[123;456]%創(chuàng)建一個2×3行的矩陣m23=123456二、MATLAB指令創(chuàng)建在MATLAB中指令，更多時候也稱為函數(shù)?？梢允褂肕ATLAB內(nèi)置的函數(shù)來創(chuàng)建矩陣（數(shù)組）。以下以舉例的方式說明。例2-3通過MATLAB指令創(chuàng)建向量和矩陣演示：1、指定起點：步長：終點。如果不指定步長，則將步長默認(rèn)為1，最后一個元素不一定是終點，這取決于區(qū)間長度是否為步長的整數(shù)倍。該方法用于創(chuàng)建向量。v=0:0.2:1%以0為起點、1為終點、步長為0.2創(chuàng)建一個數(shù)組（行向量）v=00.20000.40000.60000.80001.0000v=0:pi%起點0、終點pi、默認(rèn)步長1。最后一個元素不是終點。v=01232、linspace（起點，終點，元素個數(shù)），等分間隔。該方法用于創(chuàng)建向量。v=linspace(0,pi,3)v=01.57083.1416v=linspace(0,3,5)v=00.75001.50002.25003.00003．特殊矩陣的創(chuàng)建。創(chuàng)建特殊矩陣的常用函數(shù)：rand、magic、zeros、ones和eye等，需要深入研究請參看聯(lián)機(jī)幫助。rand('state',0)%把均勻分布偽隨機(jī)發(fā)生器置為0狀態(tài)v=rand(2,3)%產(chǎn)生一個2×3的隨機(jī)矩陣v=0.95010.60680.89130.23110.48600.7621m=magic(3)%產(chǎn)生一個3階魔方矩陣m=816357492zeros(3)%產(chǎn)生一個3階零矩陣ans=000000000zeros(2,3)%產(chǎn)生一個2×3的零矩陣ans=000000eye(2,3)%產(chǎn)生一個2×3的矩陣，左邊2×2是一個單位矩陣ans=100010eye(3)%產(chǎn)生一個3階單位矩陣ans=100010001ones(2,3)%產(chǎn)生一個元素全為1的2×3階矩陣ans=111111另外還有其它特殊的矩陣創(chuàng)建函數(shù)，如有需要請參看幫助。矩陣的訪問操作以下以舉例的方式說明矩陣的訪問操作如下：例2-4矩陣訪問舉例演示：v=[1234567];%生成一個行向量v(3)%查詢第三個元素的值 ans=3v(3)=23%將第三個元素的值設(shè)為23v=12234567v([126])=[111216]%將下標(biāo)為1、2、6的三元素的值設(shè)為11、12、16v=11122345167v(4:end)%查詢第4至最后元素之間的所有元素ans=45167v(1:5)% 查詢第1至5個元素ans=11122345m=[123;456]%產(chǎn)生一個新矩陣mm=123456m(2,3)%查詢第2行第3列位置上的元素ans=6m(:,2)%查詢第2列元素上所有行的元素ans=25m(2,:)%查詢第2行上所有列的元素ans=456m(2,[12])%查詢第2行上的第1、2列位置上的元素ans=45m(1,[23])=[8899]%將第1行上的第2、3列上的元素分別設(shè)為88和99m=18899456m(2,2)=518%將第2行2列位置上的元素設(shè)為518m=1889945186矩陣的基本運算操作矩陣的常用基本運算有加、減、乘、除、求逆等。數(shù)組方式和矩陣方式的運算符只差了一個小圓點，注意觀察實例代碼。1、加法和減法數(shù)組方式和矩陣方式都是一樣的，就是直接將對應(yīng)位置上的元素相加。如果是一個數(shù)和矩陣相加，則矩陣的每一個元素都加上這個數(shù)。例2-4矩陣加法操作演示：A=magic(3)%產(chǎn)生一個魔方矩陣A=816357492B=ones(3)%產(chǎn)生一個元素全為1的矩陣B=111111111A+B%矩陣的加法ans=92746851032+A%數(shù)與矩陣的加法ans=103857961142、乘法、除法與逆運算數(shù)組方式的乘法和除法是依元素對應(yīng)相乘；矩陣方式的乘法則是按線性代數(shù)中的方法進(jìn)行，矩陣的除是按線性代數(shù)中的取逆進(jìn)行。左除：A/B，相當(dāng)于A*B-1，右除：A\B，相當(dāng)于A-1*B。逆運算按線性代數(shù)中的方法進(jìn)行。例2-5矩陣乘、除操作演示A=magic(3);B=ones(3);A.*B%數(shù)組方式的乘法ans=816357492A*B%矩陣方式的乘法ans=151515151515151515M=[1,2;21]M=1221B=[1-1;10]B=1-110A./B%維數(shù)不匹配，將會出錯???Errorusing==>rdivideMatrixdimensionsmustagree.M./B%數(shù)組方式的除法ans=1-22InfB./M%數(shù)據(jù)方式的除法ans=1.0000-0.50000.50000M/B%矩陣方式的除法ans=-23-13M*inv(B)%以矩陣方式運算，M乘以B的逆矩陣ans=-23-13inv(B)%計算B的逆ans=01-113、矩陣作為函數(shù)參數(shù)如果矩陣（數(shù)組）作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)的參數(shù)，則對每一個元素都作同一函數(shù)計算。如V是一個行向量，R=sin(V)的運算結(jié)果R也是一個行向量，且R是的每一個元素都是由V中對應(yīng)元素值求正弦值得到。例2-6矩陣作為函數(shù)參數(shù)演示v=[0pi/2pi3*pi/22*pi]%產(chǎn)生一個有4個元素的行向量v=01.57083.14164.71246.2832r=sin(v)%計算結(jié)果也是一個向量，和v的元素個相同r=01.00000.0000-1.0000-0.00004、常用的矩陣操作函數(shù)常用的矩陣操作函數(shù)如左右置換、上下置換、旋轉(zhuǎn)，以下舉例說明。例2-7矩陣常用操作演示A=magic(3)A=816357492flipud(A)%矩陣上下翻轉(zhuǎn)ans=492357816fliplr(A)%矩陣左右翻轉(zhuǎn)ans=618753294rot90(A)% 矩陣旋轉(zhuǎn)90度ans=672159834非數(shù)、關(guān)系運算與邏輯操作1、非數(shù)NaN當(dāng)表達(dá)式中如果分母出現(xiàn)零，或類似于的表達(dá)式運算時都會產(chǎn)生非數(shù)NaN，即Notanumber。NaN具有如下性質(zhì)：NaN參與的運算結(jié)果也是NaN；非數(shù)沒有大小的概念，因此不能將兩非數(shù)去比較大小。非數(shù)真實的記錄了運算結(jié)果，即數(shù)學(xué)中的無限變換趨，以下舉例說明。例2-8非數(shù)使用演示log(0)%即相當(dāng)于自變量趨向0時的極限為負(fù)無窮大ans=-Inft=1/0%相當(dāng)于分母從右側(cè)趨向趨向0時的極限為無窮大t=Infcos(t)%對非數(shù)計算余弦結(jié)果為非數(shù)ans=NaN非數(shù)要用于數(shù)據(jù)可視化中，如將圖中某一指定部分鏤空，將用到非數(shù)，詳見第七章。2、關(guān)系運算與邏輯運算關(guān)系操作符有：==或eq(A,B),~=或ne,<或lt,>或gt,<=或le,>=或ge，以與&或and、|或or和~或nor等具體函數(shù)要求自行查閱幫助系統(tǒng)。另外有關(guān)函數(shù)如下：all,any,isqual,iempty,isfinite,isinf,isnan,isnumeric,isreal,isprime,isspace,isstr,ischar,isstudent,isunix,isvms,find.列表如下，詳情請參看聯(lián)機(jī)幫助。關(guān)系運算符如下表2-2關(guān)系運算符功能關(guān)系運算符功能<小于>=大于或等于<=小于或等于==等于>大于~=不等于例2-9關(guān)系運算與邏輯矩陣使用演示A=[159;347;268]A=159347268B=magic(3)B=816357492C=gt(A,B)％比較大小GreaterthanC=011000001whosC%查看C的詳細(xì)信息NameSizeBytesClassAttributesC3x39logicalD=and(A,B)%求和運算D=111111111B>3%B中元素值大于1的位置對應(yīng)1否則對應(yīng)0，結(jié)果是一個邏輯矩陣ans=101011110B(find(B>3))%將B中元素值大于3的元素列出來ans=845967[r,c]=find(B>3)%元素值大于3的行號組成的數(shù)組r,列號組成數(shù)組cr=132312c=112233B.*(B>3)%B中不大于3位置上的元素設(shè)為零ans=806057490例2-10繪制[0，3pi]之間的曲線，并截去pi至2pi之間的曲線。x=linspace(0,3*pi);％自變量數(shù)組y=sin(x);％函數(shù)數(shù)組x1=(x<pi)|(x>2*pi);％邏輯數(shù)組y1=x1.*y;％截斷數(shù)組plot(x,y1);％繪圖小結(jié)、綜合舉例與練習(xí)例2-11綜合舉例，利用關(guān)系運算求近似極限，修補圖形缺口。t=-2*pi:pi/10:2*pi;％自變量數(shù)組y=sin(t)./t;％函數(shù)值數(shù)組tt=t+(t==0)*eps;％修正后的自變量數(shù)組，元素值為零時，以最小機(jī)器數(shù)代替yy=sin(tt)./tt;％修正后的函數(shù)值數(shù)組subplot(1,2,1),plot(t,y),axis([-7,7,-0.5,1.2]),％繪制沒有修正的圖形subplot(1,2,2),plot(tt,yy),axis([-7,7,-0.5,1.2])％繪制修正后的圖形圖2-1矩陣的基本特征參數(shù)本章簡要說明反映矩陣特征參數(shù)的一些量，如行列式、秩、條件數(shù)、范數(shù)、特征值與特征向量等問題。矩陣的基本參數(shù)以一下說明有矩陣信息的基本參數(shù)1、元素個數(shù)、行列數(shù)與其最大者、元素最大最小元素例3-1矩陣基本信息查詢演示M=magic(3)M=816357492numel(A)%統(tǒng)計矩陣的元素個數(shù)ans=9size(M)%計算矩陣的行列數(shù)ans=33length(A)%計算行數(shù)與列數(shù)中的最大者ans=3max(M(:))%求出矩陣中所有元素中的最大者ans=9min(M(:))%求出矩陣中所有元素中的最小者ans=1矩陣的行列式、秩與范數(shù)計算行列式、秩與范數(shù)的指令分別是det、rank和norm例3-2矩陣行列式、秩與范數(shù)使用演示A=magic(3);det(A)%求A的行列式ans=-360rank(A)％計算矩陣的秩ans=3A=[569;351;861]A=569351861binf=norm(A,'inf')％計算無窮范數(shù)binf=20b2=norm(A,2)％計算2范數(shù)b2=15.4215條件數(shù)、矩陣的穩(wěn)定性條件數(shù)是反映AX=b中，如果A或b發(fā)生細(xì)微變化，解變化的劇烈程度。如果條件數(shù)很大說明是病態(tài)方程方程，不穩(wěn)定方程。例3-3矩陣條件數(shù)與穩(wěn)定性演示A=[234;119;12-6]A=23411912-6con2=cond(A)％計算2-范式條件數(shù)con2=575.8240con1=condest(A)％計算1-范式條件數(shù)con1=817例3-4求解線性方程組：A=[234;119;12-6]％系數(shù)矩陣A=23411912-6b=[1;-7;9]％常數(shù)列b=1-79x=inv(A)*b％逆矩陣的方法求解x=11-1A\b％左除方法求解ans=11-1A=A+0.001％系數(shù)矩陣加上擾動A=2.00103.00104.00101.00101.00109.00101.00102.0010-5.9990b=b-0.001％常數(shù)列加上擾動b=0.9990-7.00108.9990x2=inv(A)*b％以逆矩陣的方法求解x2=0.95041.0297-0.9980特征值、特征向量與對角化與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的概念請參考相關(guān)數(shù)學(xué)書籍例3-5特征值與特征向量演示：A=816357492E=eig(A)％計算特征值E=15.00004.8990-4.8990[V,D]=eig(A)％計算特征值組成的對角矩陣D和特征向量組成的矩陣VV=-0.5774-0.8131-0.3416-0.57740.4714-0.4714-0.57740.34160.8131D=15.00000004.8990000-4.8990注：有關(guān)正交化運算（orth函數(shù)）、三角分解（lu）、正交分解（qr）、特征值分解（eig）、奇異值分解（svd）的內(nèi)容，請參看Matlab自還的幫助系統(tǒng)和相關(guān)數(shù)學(xué)書籍小結(jié)、綜合舉例與練習(xí)利用Matlab求解下列線性方程組：要求先分別列出系數(shù)矩陣和常數(shù)列向量，求出其行列式、秩、特征值與特征向量矩陣、2種條件數(shù)，系數(shù)矩陣的逆矩陣，然后求出其解，將系數(shù)矩陣再乘以解向量，看是否和常數(shù)向量相等。最后將系數(shù)矩陣加個0.0002的擾動，看其解是多少？微積分學(xué)中的基本求解問題符號運算簡介符號運算以推理解析的方式進(jìn)行，因此沒有誤差問題的困擾，能給出完全正確的解析解，如解析解不存在，則給按任意指定的精度給出數(shù)值解。符號運算使用起來非常簡單，與大學(xué)數(shù)學(xué)中的書寫類似。符號函數(shù)的定義使用指令sym與syms，以下代碼段舉例說明其應(yīng)用。例4-1sym與syms的使用y=sym('2*sin(x)*cos(x)')％通過字符串來創(chuàng)建符號對象，自變量為xy=2*sin(x)*cos(x)y=simple(y)％將符號函數(shù)對像化簡y=sin(2*x)symsab;％聲明符號變量a,by=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b);％符號對象yy=simple(y)％將符號對象y化簡y=sin(a-b)A=sym('[12;32]')％通過字符串創(chuàng)建矩陣符號對象AA=[1,2][3,2]da=det(A)％計算A的行列式da=-4ia=inv(A)％計算A的逆矩陣，注意結(jié)果含有分?jǐn)?shù)ia=[-1/2,1/2][3/4,-1/4]ea=eig(A)％計算A的特征值ea=4-1[ev,ea]=eig(A)％計算特征值和特征向量。ev=[-1,1][1,3/2]ea=[-1,0][0,4]注意：使用符號運算就像平時數(shù)學(xué)運算一樣方便。另外MATLAB中還有針對多項式操作的一系列函數(shù)：colllect：同冪次的項系數(shù)進(jìn)行合并；expand：按多項式、三角函數(shù)或指數(shù)對數(shù)函數(shù)等展開；factor：因式分解；horner：將多項式分解成嵌套形式；simple：將表達(dá)式化簡。如需要時可查看幫助，此不再詳細(xì)展開。符號對象的精度控制在符號計算中，當(dāng)符號常數(shù)或符號結(jié)果需要以數(shù)值形式給出時，可以靈活地按指定精度輸出數(shù)值。與精度有關(guān)的三個函數(shù)指令：double，digits，vpadigits：顯示當(dāng)前采用的數(shù)值計算精度；digits(n)：設(shè)置今后數(shù)值計算以n位相對精度進(jìn)行；xs=vpa(x)：在digits指定精度下，給出x的數(shù)值型結(jié)果；xs=vpa(x,n)：在n位相對精度下，給出x的數(shù)值型結(jié)果。以下舉例說明。例4-2精度控制演示。vpa(pi)％依當(dāng)前精度輸出ans=3.1415927eval('pi')％依默認(rèn)精度輸出ans=3.1416vpa(pi,'100')％依指定精度輸出ans=3.149323846264338327953993752117068a=sym('1/3')％創(chuàng)建符號對象a=1/3digits(2);％設(shè)置當(dāng)前精度為2vpa(a)％以當(dāng)前精度輸出ans=.33digits(19);％設(shè)置當(dāng)前精度為19vpa(a)％以當(dāng)前精度輸出ans=.3333333333333333333極限求解MATLAB中計算極限的函數(shù)是limit，其語法如下：limit(F,x,a)：計算limit(F,x,a,'right')：limit(F,x,a,'left')：例4-3求符號極限演示：symsxath％說明字符變量 limit(sin(x)/x)％計算極限，默認(rèn)求右趨于零的極限ans=1limit(1/x,x,0,'right')％對x求右趨于零的極限ans=Inflimit(1/x,x,0,'left')％對x求左趨于零的極限ans=-Inflimit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)％對h求趨于零的極限ans=cos(x)v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]％v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]limit(v,x,inf,'left')％對x求左趨于正無窮大的極限ans=[exp(a),0]導(dǎo)數(shù)與其幾何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)問題分兩類，一類是已知函數(shù)解析式，然后計算其導(dǎo)數(shù)解析式或計算某點的導(dǎo)數(shù)值，此類問題很好處理。另一類問題是只有實驗得到的離散數(shù)據(jù)，要得到各階導(dǎo)數(shù)值，該類問題比較麻煩，常用的方法是中心差分法。幾何上介紹點積、叉積、混合積，切平面和法線、梯度場，流線場。一、解析法求導(dǎo)數(shù)問題解析法求導(dǎo)使用符號運算，求導(dǎo)函數(shù)為diff，語法如下：diff(S);％對S求導(dǎo)，依26字母中最接近x的字母為自變量diff(S,'v');％以v為自變量，對S求導(dǎo)diff(S,'v',n);％以v為自變量，對S求n階導(dǎo)數(shù)例4-3求符號極限演示：da=diff('x^5+3*x+5')％求導(dǎo)數(shù)da=5*x^4+3f=sym('log(x)/exp(x^2)')％定義符號函數(shù) f=log(x)/exp(x^2)simplify(diff(f))％對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)后再化簡ans=-exp(-x^2)*(-1+2*log(x)*x^2)/xsimplify(diff(f,2))％對函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)后化簡ans=exp(-x^2)*(-1-4*x^2+4*log(x)*x^4-2*log(x)*x^2)/x^2二、向量的點積、叉積和混合積點積、叉積與混合積的相關(guān)概念，請參見數(shù)據(jù)書籍。例4-4點積、叉積與混合演示：x1=[1980]x1=1980x2=[2697]x2=2697y=dot(x1,x2)％點積運算y=128y1=cross(x1,x2)％維數(shù)是3才能進(jìn)行叉積運算???Errorusing==>crossat37AandBmusthaveatleastonedimensionoflength3.x1=[952]x1=952x2=[327]x2=327xd=dot(x1,x2)％計算點積xd=51xcr=cross(x1,x2)％計算叉積xcr=31-573xcr2=cross(x2,x1)％計算叉積xcr2=-3157-3x3=[247]x3=247ydc=dot(x3,cross(x1,x2))％混合積運算，用于計算平行六面體的體積ydc=-145各種積分問題積分有符號方法和數(shù)值方法，以下分別說明。符號積分的函數(shù)是int，它的語法是：int(S);％計算S的一個原函數(shù)。int(S,v);％以v為積分變量計算S的一個原函數(shù)int(S,a,b);％計算符號積分，a與b是下限和上限，S是被積函數(shù)int(S,v,a,b);％計算符號積分，a與b是下、上限，S是被積函數(shù)，v是積分變量例4-5符號積分演示：f=sym('sin(s+2*x)')％定義符號函數(shù)f=sin(s+2*x)int(f)％求原函數(shù)ans=-1/2*cos(s+2*x)int(f,'s')％以s為積分變量求原函數(shù)ans=-cos(s+2*x)int(f,pi/2,pi)％計算指定區(qū)間的定積分ans=-cos(s)int(f,'s',pi/2,pi)％指定積分變量，指定區(qū)間求定積分ans=-sin(2*x)+cos(2*x)int(f,'a','b')％指定區(qū)間上求定積分ans=1/2*cos(s+2*a)-1/2*cos(s+2*b)例4-6求與。F1=int('1/log(t)','t',0,'x')％計算符號積分，無初等解析式。Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.>Inat58Inat9F1=int(1/log(t),t=0..x)F1=int('1/log(t)','t',0,'1/2')％計算積分，無初等解析式。F1=-Ei(1,log(2))vpa(F1)％以指定精度得到數(shù)值解。ans=-.378671672720718463656例4-7求積分。注意：內(nèi)積分上下限都是函數(shù)。symsxyzF2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)VF2=vpa(F2)F2=1610027357/656/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)VF2=224.9232805以下實例是數(shù)值計算方法計算積分。例2-8繪制下列空間曲線的圖形并計算長度，參數(shù)方程：，長度：t=0:0.05:3*pi％生成數(shù)組plot3(sin(2*t),cos(t),t)%繪制三維曲線圖4-1f=inline('sqrt(4*cos(2*t).^2+sin(t).^2+1)')%d定義一個內(nèi)聯(lián)函數(shù)f=Inlinefunction:f(t)=sqrt(4*cos(2*t).^2+sin(t).^2+1)%functionlen=quad(f,0,3*pi)％使用數(shù)值方法計算定積分的值len=17.2220級數(shù)問題求解級數(shù)求各的函數(shù)是symsum，它的語法形式是：r=symsum(s,a,b);r=symsum(s,v,a,b);以下舉例說明它們的使用方法，詳細(xì)請查閱MATLAB自帶的幫助文件。例4-7求和與，數(shù)值轉(zhuǎn)換與精度控制演示：A=symsum(sym('(2*n-1)^2'),1,'N')％求和A=11/3*N+8/3-4*(N+1)^2+4/3*(N+1)^3simplify(A)％化簡ans=-1/3*N+4/3*N^3B=symsum(sym('1/((2*n-1)^2)'),1,inf)％求無窮項和B=1/8*pi^2％digits(15)％設(shè)置當(dāng)前精度vpa(B)％必須使用vpa函數(shù)才能用相應(yīng)精度輸出ans=1.23370055013617例4-10求和與和，數(shù)值轉(zhuǎn)換與精度控制演示：symsxkr=symsum(1/k^2,1,20)％1至20求和r=17299975731542641/170720r=symsum(1/k^2,10,20)％10至20求和r=32561/54192375991353600代數(shù)方程與最優(yōu)化代數(shù)方程求解代數(shù)方程的函數(shù)是solve，它的語法是：solve(eq)solve(eq,var)solve(eq1,eq2,...,eqn)g=solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn)說明：輸入?yún)?shù)符號表達(dá)式或字符串。如果輸入?yún)?shù)是形如的字符串，即：solve()，則執(zhí)行指令求解方程?？梢郧蠼鈫蝹€方程，也可求解方程組。參數(shù)var，var1，var2，...，varn用于指定未知變量，eq1，eq2，...，eqn是用符號表達(dá)式或字符串表示的方程。另外MATLAB還提供了函數(shù)fsolve，可用于求解多元方程的一個實根，詳細(xì)使用方法請參看幫助文件，此處主要介紹solve.例5-1求解方程，其中分別將x和b視為未知數(shù)。A=solve('a*x^2+b*x+c')％求解方程，A表示解組成的數(shù)組，x為未知數(shù)。A=-1/2*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/a-1/2*(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/aA=solve('a*x^2+b*x+c','b')％求解方程，b為未知數(shù)。A=-(a*x^2+c)/x例5-2求解方程組，和S=solve('x+y=1','x-11*y=5')％求解方程組S=x:[1x1sym]y:[1x1sym]S.x,S.y％顯示結(jié)果ans=4/3ans=-1/3A=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6')％解方程組并顯示結(jié)果的結(jié)構(gòu)A=a:[4x1sym]u:[4x1sym]v:[4x1sym]A.a,A.u,A.v％顯示結(jié)果的A的各個部分ans=2233ans=1/3+1/3*i*2^(1/2)1/3-1/3*i*2^(1/2)1/4+1/4*i*3^(1/2)1/4-1/4*i*3^(1/2)ans=-2/3+1/3*i*2^(1/2)-2/3-1/3*i*2^(1/2)-3/4+1/4*i*3^(1/2)-3/4-1/4*i*3^(1/2)a=A.a;u=A.u;v=A.v;％顯示結(jié)果的A的各個部分分別保存在a,u,v中[eval('a.*u.^2+v.^2')eval('u-v-1')eval('a.^2-5.*a+6')]％檢驗結(jié)果是否正確ans=[2*(1/3+1/3*i*2^(1/2))^2+(-2/3+1/3*i*2^(1/2))^2,0,0][2*(1/3-1/3*i*2^(1/2))^2+(-2/3-1/3*i*2^(1/2))^2,0,0][3*(1/4+1/4*i*3^(1/2))^2+(-3/4+1/4*i*3^(1/2))^2,0,0][3*(1/4-1/4*i*3^(1/2))^2+(-3/4-1/4*i*3^(1/2))^2,0,0]a.*u.^2+v.^2％檢驗結(jié)果是否為零，下面的結(jié)果似乎表示方程左邊不為零ans=2*(1/3+1/3*i*2^(1/2))^2+(-2/3+1/3*i*2^(1/2))^22*(1/3-1/3*i*2^(1/2))^2+(-2/3-1/3*i*2^(1/2))^23*(1/4+1/4*i*3^(1/2))^2+(-3/4+1/4*i*3^(1/2))^23*(1/4-1/4*i*3^(1/2))^2+(-3/4-1/4*i*3^(1/2))^2u-v-1％檢驗結(jié)果是否為零，結(jié)果顯示方程左邊為零ans=0000a.^2-5.*a+6％檢驗結(jié)果是否為零，結(jié)果顯示方程左邊為零ans=0000eval(a.*u.^2+v.^2)％將符號變量轉(zhuǎn)成數(shù)值，結(jié)果顯示方程左邊幾乎可看成零ans=1.0e-015*000.11100.1110無條件最優(yōu)化問題求解MATLAB中解決無條件極值的函數(shù)有兩個：fminunc和fminsearch，其中fminunc算法效率要優(yōu)于fminsearch,此處主要講解fminunc。它主要是解決最小值問題（最大值問題也可化為最小值問題）：，其中x是向量，f(x)是目標(biāo)函數(shù)。它的語法形式如下：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)[x,fval]=fminunc(...)函數(shù)使用說明：1、fminunc嘗試找到標(biāo)量函數(shù)fun的最小值，從x0開始始搜索。x0是預(yù)先指定的初值，fun是目標(biāo)函數(shù)，返回值x即為所搜索到的局部最小值點，fval是函數(shù)fun在局部最小值點x處的函數(shù)值。還有其它返回值，具體請參看幫助文件。2、該函數(shù)搜索到的可能是局部極小值點，而不是全局極小值。很難找到萬能的搜索全局最小值的算法函數(shù)，因此在使用該函數(shù)可考慮由函數(shù)圖像中選擇一個極小值點附近處的某值x0作為初值，才能確定全局最小值。3、函數(shù)fun可以是內(nèi)聯(lián)形式的函數(shù)，也可以是以M文件形式存在的函數(shù)，還可以是無名函數(shù)，因內(nèi)聯(lián)形式和無名函數(shù)形式相對簡單，本節(jié)只舉例講述此兩者，至于M文件形式的函數(shù)，請參看幫助文件。4、有時搜索的速度較慢，則需要使用函數(shù)梯度，可加速搜索。但略復(fù)雜，如實際需要可參看幫助文件。5、options的關(guān)鍵參數(shù)有5個分別是：options.Display：用于顯示設(shè)置，有四個選取值off、iter、final和notify；options.MaxFunEvals：允許函數(shù)計算的最多次數(shù)；options.MaxIter:允許的最多迭代次數(shù)；options.TolFun:函數(shù)值計算的終止容差，缺少值1.0000e-004；options.TolX：自變量計算的終止容差，缺少值同上。以后涉與options參數(shù)的同上。例5-3求函數(shù)的最小值以下指令是直接求解，不顯示計算的迭代過程。f=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2');％內(nèi)聯(lián)形式的函數(shù)，注意形式x0=[1,1];％初值[x,fval]=fminunc(f,x0)x=1.0e-006*0.2541-0.2029fval=1.3173e-013以下代碼是顯示中間的迭代過程f=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2');x0=[1,1];fopt=optimset;％設(shè)置選項，用于顯示執(zhí)行過程fopt.Display='iter';％顯示迭代過程[x,fval]=fminunc(f,x0,fopt)IterationFunc-countf(x)Step-sizeoptimality0368160.250.1251290.080576310.3893120.051033410.2764150.0023402910.1585180.00011471610.03666213.4414e-00710.001167249.12732e-01014.45e-0058271.31734e-01311.16e-006x=1.0e-006*0.2541-0.2029fval=1.3173e-013例5-4求函數(shù)的最小值，與f=@(x)sin(x)+3;％無名函數(shù)形式[x,f]=fminunc(f,4)x=4.7124f=2.0000f=inline('sin(x(1))+cos(x(2))+3');％內(nèi)聯(lián)形式，x0=[45];[x,fv]=fminunc(f,x0)x=4.71243.1416fv=1.0000線性規(guī)劃求解MATLAB求解線性規(guī)劃的函數(shù)是linprog，它是計算如下線性規(guī)劃問題的最小值：，其中注意，等式條件(2)中，是矩陣，是向量，不等式條件(1)中，A是矩陣，b是向量，不等式條件(3)中的lb和ub也是向量。linprog的語法是：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)說明：f即是目標(biāo)函數(shù)，A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0同前所述，x是最小值點，fval是最小值點處的函數(shù)值（即搜索到的最小值）。如果沒有相應(yīng)的條件，則對應(yīng)的矩陣或向量應(yīng)設(shè)為空矩陣（空數(shù)組），以下舉例說明。例5-5求函數(shù)的最小值，其中x滿足條件：(1)先按變量的順序排好，然后用系數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)，如此處：f=[-5;-4;-6];(2)由于沒有等式條件，所以Aeq、beq都是空矩陣即[]；(3)不等式條件中的第三個式子中，沒有x3，所以系數(shù)為零，故有：(4),,由于沒有上限要求，故設(shè)為無窮大。解：f=[-5;-4;-6];％目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)A=[1-11324320];％不等式各變量系數(shù)b=[20;42;30];％不等式條件中的常列l(wèi)b=[0;0;0];％各變量的下限ub=[inf;inf;inf];％各變量的上限[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[]);％求解運算Optimizationterminated.x,fval％查看結(jié)果x=0.000015.00003.0000fval=-78.0000注意：凡一如果是大于的不等式，則將其轉(zhuǎn)化成小于不等式，求最大值的，轉(zhuǎn)化成求最小值。練習(xí)1：求解函數(shù)的最大值，其中x滿足條件：f=[-3/4,150,-1/50,6];％目錄函數(shù)的系數(shù)，取反是為了得到最小值，即原函數(shù)的最大值參考代碼：Aeq=[];beq=[];％沒有等式條件，所以相應(yīng)的矩陣為空A=[1/4,-60,-1/50,9;1/2,-90,-1/50,3];％不等式條件中的各變量系數(shù)矩陣b=[0,0];％不等式條件中的常數(shù)列l(wèi)b=[-5;-5;-5;-5];ub=[inf;inf;1;inf];％各自變量的下限和上限x0=[1;1;1;1];％初始值[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0);％求解運算Optimizationterminated.x,fvalx=-5.0000-0.19471.0000-5.0000fval=-55.4700說明：1、對于目標(biāo)函數(shù)是二次型的形式且約束條件仍然為線性的，則應(yīng)使用專門的相應(yīng)二次型規(guī)劃函數(shù)：quadprog；2、對于有約束的非線性最優(yōu)化的問題，應(yīng)使用非線性規(guī)劃問題求解函數(shù)：fmincon.3、對于0-1規(guī)劃，即自變量只能取0或1兩個值的規(guī)劃問題。MATLAB中相應(yīng)的規(guī)劃函數(shù)是bintprog。由于篇幅原因，此兩類問題不再詳述，如有需要請參看幫助文件。數(shù)據(jù)與函數(shù)的可視化顯示視覺是人們感受世界、認(rèn)識自然的最重要依靠。數(shù)據(jù)可視化的目的在于：通過圖形，從一堆雜亂的離散數(shù)據(jù)中觀察數(shù)據(jù)間的內(nèi)在關(guān)系，感受由圖形所傳遞的內(nèi)在本質(zhì)。MATLAB一向注重數(shù)據(jù)的圖形表示，并不斷地采用新技術(shù)改進(jìn)和完備其可視化功能。本章將系統(tǒng)地闡述：離散數(shù)據(jù)表示成圖形的基本機(jī)理；曲線、曲面繪制的基本技法和指令；重點與關(guān)鍵步驟：一、準(zhǔn)備數(shù)據(jù)二、顯示數(shù)據(jù)二維顯示常用的二維繪圖函數(shù)有plot、quiver、contour。除此之外還有不太常用的繪圖函數(shù)，如polar、loglog、semilogx、semilogy、bar、barh、rose、stairs、area、pie、scatter、hist、erroerbar、stem、feather、commet、compass等，詳情請看參看幫助文件這里只介紹plot、quiver和contour。一、plot繪圖函數(shù)簡介plot的語法如下plot(Y)plot(X1,Y1,...)plot(X1,Y1,LineSpec,...)plot(...,'PropertyName',PropertyValue,...)plot(axes_handle,...)h=plot(...)函數(shù)說明：1、當(dāng)輸入?yún)?shù)只有一個時，如plot(Y)，Y是輸入向量，以Y的下標(biāo)作為橫坐標(biāo)，以Y的值作為縱坐標(biāo)繪圖，默認(rèn)的方式是各離散點之間使用線段連接起來，當(dāng)點取得足夠密時，看起來就是一條光滑的曲線。2、plot(X1,Y1,...,Xn,Yn)針對每一對坐標(biāo)數(shù)據(jù)參數(shù)(Xi,Yi)繪制一條曲線，Xi,Yi都一向量。每一對坐標(biāo)數(shù)據(jù)參數(shù)后可緊跟一個控制線型或顏色的的參數(shù)，也可沒有。如果沒有線型或顏色的參數(shù)，則采用默認(rèn)的線型和顏色繪制曲線。注意，Xi,Yi也可以是矩陣，情況略復(fù)雜，成對的矩陣參數(shù)必需是同型矩陣（行列數(shù)都相同），以Xi的某列為橫坐標(biāo)向量，同Yi中相同列號的列為縱坐標(biāo)向量繪制曲線，具體請看實例演示。例6-1繪制函數(shù)在上的不同參數(shù)下的圖像代碼段1：x=-pi:pi/10:pi;％第一步準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：自變量數(shù)組y=tan(sin(x))-sin(tan(x));％第一步準(zhǔn)備數(shù)據(jù)（函數(shù)數(shù)組）plot(x,y,'--rs','LineWidth',2,...％一條指令要多行顯示，則在行后加三個圓點“…”'MarkerEdgeColor','k',...％各點連線的顏色，'MarkerFaceColor','g',...％坐標(biāo)點的顏色'MarkerSize',10)％'--rs'中的--表示連線線型，rs表示點形狀得到如圖6-1所示的圖像圖6-1圖6-2代碼段2x=-pi:pi/10:pi;y=tan(sin(x))-sin(tan(x));plot(x,y,'--','LineWidth',2,...％和代碼段相比，只是坐標(biāo)點的形狀變了。'MarkerEdgeColor','k',...'MarkerFaceColor','g',...'MarkerSize',10)此代碼段產(chǎn)生圖6-2的圖像。注：b藍(lán),g綠,r紅,c青,m:品紅,y:黃,k:黑,w:白例6-2繪制函數(shù)在上的圖像圖6-3圖6-4x=-pi:.1:pi;y=sin(x);plot(x,y);％第二步繪圖，參數(shù)分別對應(yīng)自變量和函數(shù)set(gca,'XTick',-pi:pi/2:pi)％設(shè)置x軸的刻度區(qū)間長度set(gca,'XTickLabel',{'-pi','-pi/2','0','pi/2','pi'})％標(biāo)示刻度例6-3二維曲線繪制，并顯示網(wǎng)格：t=0:pi/100:2*pi;y=sin(t);％第一步準(zhǔn)備數(shù)據(jù)plot(t,y)％第二步繪圖gridon%Turnongridlinesforthisplot得到圖6-4的圖像。例6-3二維曲線平移正弦曲線組繪制：t=0:pi/100:2*pi;y=sin(t);y2=sin(t-0.25);％向右平衡0.25單位，繪圖區(qū)間不變y3=sin(t-0.5);％向右平衡0.5單位，繪圖區(qū)間不變plot(t,y,t,y2,t,y3);holdon;％保留之前所畫圖，之后的畫圖時不清除以前畫的圖plot(t,y-1,t,y2+1,t,y3);％上、下各平衡1個單位得到圖6-5，關(guān)于holdon的詳情，請參看幫助文件圖6-5圖6-6例6-4一組橢圓的繪制演示：。th=[0:pi/50:2*pi]';％參數(shù)值數(shù)組101×1a=[0.5:.5:4.5];％軸長數(shù)組1×9X=cos(th)*a;％水平坐標(biāo)值數(shù)組101×9Y=sin(th)*sqrt(25-a.^2);％縱坐標(biāo)值數(shù)組101×9plot(X,Y)％繪圖，以X,Y中對應(yīng)的列分別的曲線的橫、縱坐標(biāo)繪曲線。因X,Y共9列，所以共繪制9條曲線。得到圖6-6例6-5一組正弦曲線的繪制演示：t=(0:pi/50:2*pi)';％自變量數(shù)據(jù)準(zhǔn)備101×1，注意“'”表示取轉(zhuǎn)置k=0.4:0.1:1;％縮放系數(shù)數(shù)組1×7Y=cos(t)*k;％函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)101×7plot(t,Y)％繪圖注：相當(dāng)于：plot(t,0.5*cos(t),t,0.6*cos(t),t,0.7*cos(t),t,0.8*cos(t),t,0.9*cos(t),t,cos(t))圖6-7圖6-8例6-6用圖形表示連續(xù)調(diào)制波形與其包絡(luò)線演示：t=(0:pi/100:pi)'; %101×1y1=sin(t)*[1,-1]; %101×2，包絡(luò)y2=sin(t).*sin(9*t); %101×1，曲線t3=pi*(0:9)/9; %1×10，零點坐標(biāo)y3=sin(t3).*sin(9*t3);％零點函數(shù)值，1×10plot(t,y1,'r:',t,y2,'b',t3,y3,'bo') axis([0,pi,-1,1]) %坐標(biāo)軸比例大小注：axis([xminxmaxyminymax])：setsthelimitsforthex-andy-axisofthecurrentaxes.練習(xí)：繪制有的平移曲線組，要求有五條曲線練習(xí)二：使用Matlab在一個plot指令中繪制y=sinx,y=0.2sinx,y=0.4sinx,y=0.6sinx,y=0.8sinx的組圖，大致如下圖6-9所示：圖6-9圖6-10二、contour繪圖函數(shù)簡介contour用于繪制三維曲面的二維等高線，并帶有標(biāo)注。它的常用的基本語法如下：contour(X,Y,Z)contour(X,Y,Z,n)contour(X,Y,Z,v)函數(shù)說明：X,Y,Z是同型矩陣（行列數(shù)相同），分別表示記錄空間曲面網(wǎng)格點的,x,y,z坐標(biāo)矩陣，n表示等高線的條數(shù)，是一個標(biāo)量。v是一個向量，其元素值表示高度值（即z坐標(biāo)值），在v指定的z坐標(biāo)高度畫等高線。當(dāng)然還有其它語法形式，具體參看幫助文件。由于空間曲面的描述需要網(wǎng)格點，而產(chǎn)生網(wǎng)格數(shù)據(jù)的函數(shù)是meshgrid，具體看幫助系統(tǒng)，此處僅舉例說明。例6-7繪制曲面的等高線，其中-2<x<2,-2<y<2。[X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:3);%X、Y分別是記錄x和y坐標(biāo)的矩陣Z=X.*exp(-X.^2-Y.^2);%Z分別是記錄z坐標(biāo)的矩陣[C,h]=contour(X,Y,Z);%繪制等高線，C記錄各等高線數(shù)據(jù)的矩陣，h是等高線圖形對象colormapcool%再改顏色風(fēng)格set(h,'ShowText','on');%顯示條等高線的標(biāo)注注意：可以在Workspace中查看C,h，上述代碼得到圖6-10。三、gradient與quiver繪制二維梯度場1、gradient用于繪制二元函數(shù)的梯度場，其運算是基于離散網(wǎng)格數(shù)據(jù)點的，梯度使用差分來近似表示梯度的理論值。其常用的語法形式如下：FX=gradient(F)[FX,FY]=gradient(F)[FX,FY,FZ,...]=gradient(F)[...]=gradient(F,a,b)函數(shù)說明：F表示二元函數(shù)的函數(shù)值矩陣，即Z=f(x,y)中的z坐標(biāo)值的矩陣。FX是水平方向的偏導(dǎo)數(shù)值矩陣，即水平方向的差分，F(xiàn)Y表示垂直方向的差分值矩陣。如是三元函數(shù)，則FZ表示z軸方向的差分值矩陣。a,b用于指定計算差分時兩個方向的步長。如果參數(shù)只兩個，一個是F,另一個是標(biāo)量參數(shù)，則兩個方向步長相同。2、quiver函數(shù)是根據(jù)gradient函數(shù)得到的水平和垂直梯度值來繪制梯度場，有時為了方便，將梯度場和等高線繪制在同一幅圖中。quiver的常用語法如下：quiver(x,y,u,v)h=quiver(...)x,y,u與v是同型矩陣，x與y記錄定義域中網(wǎng)格點的橫坐標(biāo)值與縱坐標(biāo)值，u與v記錄網(wǎng)格點的水平與縱向梯度值，h表示所繪梯度場對象。例6-8繪制曲面的梯度場與帶有等高線的梯度場，其中-2<x<2,-2<y<2。x=-2:.2:2;%定義域中x方向的定義域y=-1:.2:1;%定義域中y方向的定義域[xx,yy]=meshgrid(x,y);%產(chǎn)生網(wǎng)格矩陣以記錄網(wǎng)格點的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的值zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2);%記錄網(wǎng)格點的z坐標(biāo)[px,py]=gradient(zz,.2,.2);%得到x,y方向梯度quiver(x,y,px,py,2);%繪制梯度場，第5個參數(shù)表示箭頭的長度。此段代碼得到圖6-11圖6-11圖6-12以下是代碼段產(chǎn)生一個帶有等高線的梯度場，如圖6-12所示。v=-2:0.2:2;[x,y]=meshgri