人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊教學(xué)設(shè)計2：§6 1　第2課時　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§6.1第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù).知識梳理知識點(diǎn)一兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)用來計算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整知識點(diǎn)二兩個計數(shù)原理的應(yīng)用解決較為復(fù)雜的計數(shù)問題，一般要將兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用.使用時要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點(diǎn)：(1)合理分類，準(zhǔn)確分步：處理計數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn).分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標(biāo)準(zhǔn).分步時應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性.(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想.題型探究一、組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字.(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個).(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位都有5種排法，因此，共有4×5×5＝100(個).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.共有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位或兩位以上的數(shù)的最高位.跟蹤訓(xùn)練1用0,1，…，9這十個數(shù)字．(1)可以組成多少個三位整數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？(3)可以組成多少個小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？解由于0不可在最高位，因此應(yīng)對它進(jìn)行單獨(dú)考慮.(1)百位數(shù)字有9種選擇、十位數(shù)字和個數(shù)數(shù)字都各有10種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的三位整數(shù)共有9×10×10＝900(個).(2)由于數(shù)字不可重復(fù)，可知百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字也有9種選擇，但個位數(shù)字僅有8種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的三位整數(shù)共有9×9×8＝648(個).(3)百位數(shù)字只有4種選擇、十位數(shù)字有9種選擇、個位數(shù)字有8種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的三位整數(shù)共有4×9×8＝288(個).二、選(抽)取與分配問題例2高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中甲工廠必須有班級去，每班去哪個工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A.16種B.18種C.37種D.48種〖答案〗C〖解析〗方法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有兩個班級去甲工廠，剩下的班級去另外三個工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第三類，有一個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他三個工廠，其分配方案共有3×3×3＝27(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).方法二(間接法)先計算3個班級自由選擇去哪個工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37(種)方案.反思感悟解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.跟蹤訓(xùn)練23個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？解(以小球?yàn)檠芯繉ο?分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇，由分步乘法計數(shù)原理得，共有N＝5×4×3＝60(種)方法．三、涂色與種植問題例3(1)將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種.〖答案〗42〖解析〗分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有兩種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.①若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.②若第三塊田放a：aba第四塊有b或c兩種方法，(ⅰ)若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；(ⅱ)若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.(2)將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.反思感悟解決涂色(種植)問題的一般思路(1)涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解，有幾種常用方法：①按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接嫈?shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析.②以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析.③將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(2)種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù).跟蹤訓(xùn)練3一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N＋)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．(1)如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？(2)如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？解(1)如題圖1，先對a1部分種植，有3種不同的種植方法，再對a2，a3種植.因?yàn)閍2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同，所以由分步乘法計數(shù)原理得，共有3×2×1＝6(種)種植方法．(2)如題圖2，當(dāng)a1，a3不同色時，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時，有3×2×2＝12(種)種植方法，由分類加法計數(shù)原理，共有6＋12＝18(種)種植方法.用分步乘法計數(shù)原理解決實(shí)際問題典例一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線種類共有()A.6種 B.8種C.36種 D.48種〖答案〗D〖解析〗參觀路線分步完成：第一步選擇三個“環(huán)形”路線中的一個，有3種方法，再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；第二步選擇余下兩個“環(huán)形”路線中的一個，有2種方法，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；最后一個“環(huán)形”路線，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法.〖素養(yǎng)提升〗參觀路線的種類問題，通過對任務(wù)的完成抽象出數(shù)學(xué)問題，即用分類加法計數(shù)原理還是用分步乘法計數(shù)原理.通過學(xué)習(xí)提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).課堂小結(jié)1．知識清單：(1)組數(shù)問題．(2)選(抽)取與分配問題．(3)涂色與種植問題．2．方法歸納：分類討論、列舉法、間接法．3．常見誤區(qū)：在分類討論計數(shù)時，容易重復(fù)計數(shù)或遺漏計數(shù)，如組數(shù)時，首位不能是0易忽視．隨堂演練1.某小組有8名男生，6名女生，從中任選男生、女生各一人去參加座談會，則不同的選法有()A.48種B.24種C.14種D.12種〖答案〗A〖解析〗從8名男生中任意挑選一名參加座談會，有8種不同的選法，從6名女生中任意挑選一名參加座談會，有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法共有8×6＝48(種).2.若x，y∈N＋，且x＋y≤5，則有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)為()A.6B.8C.9D.10〖答案〗D〖解析〗當(dāng)x＝1時，y＝1,2,3,4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對；當(dāng)x＝2時，y＝1,2,3，共構(gòu)成3個有序自然數(shù)對；當(dāng)x＝3時，y＝1,2，共構(gòu)成2個有序自然數(shù)對；當(dāng)x＝4時，y＝1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(個)有序自然數(shù)對.3.用0,1，…，9這10個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243B.252C.261D.648〖答案〗B〖解析〗0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個).4.如圖，