新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)17 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系原卷版

考點(diǎn)17點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)講與練）空間中的平行關(guān)系1.平行直線(1)平行公理過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.2.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b3.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b空間中的垂直關(guān)系1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(O)的任何直線都垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α推論1如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α推論2如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α1.異面直線的判定方法2.求異面直線所成的角的三步曲3．線面平行的證明方法（1）定義法：一般用反證法；（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．4．構(gòu)造平行直線的常用方法（1）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線；（2）構(gòu)建平行四邊形：可以利用已知的平行關(guān)系(如梯形的上下底邊平行)或構(gòu)建平行關(guān)系(如構(gòu)造兩條直線同時(shí)平行于已知直線)，從而構(gòu)建平行四邊形．應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過(guò)已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行，還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)所有和交線平行的直線都與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與已知直線異面．5.判定平面與平面平行的4種方法（1）面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)；（2）面面平行的判定定理(主要方法)；（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；（4）利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫(huà)法中，常用來(lái)確定交線的位置．對(duì)于線段長(zhǎng)或線段比例問(wèn)題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形來(lái)解決．6.證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．7.利用判定定理證明平面與平面垂直的一般方法先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作輔助線來(lái)證明空間兩直線位置關(guān)系的判定1.（2021重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)）已知直線SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件求異面直線所成的角1.(2021山東臨沂模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_(kāi)_______．2.（2022河南省十所名校高三）如圖，圓錐的底面直徑SKIPIF1<0，其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓的弦SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)1.（2021海南省三亞華僑學(xué)校高三10月月考）正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CC1的中點(diǎn)，（1）證明：直線AE//平面DCC1D1（2）求異面直線AE和BF所成角的余弦值.2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)）如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：（1）BE∥平面DMF；（2）平面BDE∥平面MNG.直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.（2022河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求三棱錐SKIPIF1<0的體積2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題）如圖所示，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，構(gòu)成四面體SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)）如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：（1）CD⊥平面PBD．（2）平面PBC⊥平面PDC．平行與垂直的綜合問(wèn)題1.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是BC，AB1的中點(diǎn)．（1）證明：DE∥平面ACC1A1；（2）若BB1＝1，證明：C1D⊥平面ADE．1.（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅱ））設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)平面，則SKIPIF1<0的充要條件是A.SKIPIF1<0內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與SKIPIF1<0平行B.SKIPIF1<0內(nèi)有兩條相交直線與SKIPIF1<0平行C.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行于同一條直線D.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于同一平面2.（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為正三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則A.SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0是相交直線B.SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0是相交直線C.SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0是異面直線D.SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0是異面直線3.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．一、單選題1．（2022·山東聊城·二模）已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線SKIPIF1<0是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則該直線SKIPIF1<0與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知兩條不同的直線l，m與兩個(gè)不同的平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．b，c是異面直線 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．a(chǎn)與c沒(méi)有公共點(diǎn)4．（2022·江西·二模（理））已知平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，現(xiàn)沿BD進(jìn)行翻折，使得A到達(dá)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，此時(shí)二面角SKIPIF1<0為150°，則四面體SKIPIF1<0外接球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，P為正方形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是棱SKIPIF1<0、棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．若SKIPIF1<0平面BEF，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·河北秦皇島·二模）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·湖南永州·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的“羨除”．所謂“羨除”，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個(gè)平行四邊形），兩個(gè)不平行對(duì)面是三角形的五面體．如圖，在羨除SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則羨除SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江嘉興·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的是（

）①若SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0③平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的大小為SKIPIF1<0④若SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、多選題9．（2022·遼寧葫蘆島·一模）如圖所示，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列滿足SKIPIF1<0平面ABC的是（

）A． B．C． D．10．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD為梯形，SKIPIF1<0，則（

）A．平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行B．平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行C．平面PAB和平面PCD的交線不與底面ABCD平行D．平面PAD和平面PBC的交線不與底面ABCD平行11．（2022·廣東惠州·一模）近年來(lái)，納米晶的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為n的幾何體，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的表面積為SKIPIF1<0B．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的體積為SKIPIF1<0C．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體外接球的表面積為SKIPIF1<0D．二面角A1?A2A3?B3的余弦值為SKIPIF1<012．（2022·遼寧錦州·一模）如圖，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P，Q，R分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，若A，P，Q，R四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．任意點(diǎn)P，都有SKIPIF1<0B．存在點(diǎn)P，使得四邊形APQR為平行四邊形C．存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0平面APQRD．存在點(diǎn)P，使得△APR為等腰直角三角形13．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為a，M是CC1的中點(diǎn)，則（

）A．任意a＞0，A1M⊥BDB．存在a＞0，直線A1C1與直線BM相交C．平面A1BM與底面A1B1C1D1交線長(zhǎng)為定值SKIPIF1<0D．當(dāng)a＝2時(shí)，三棱錐B1－A1BM外接球表面積為3π14．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<015．（2022·廣東廣州·二模）如圖，圓柱的軸截面SKIPIF1<0是正方形，E在底面圓周上，SKIPIF1<0，F(xiàn)是垂足，G在BD上，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．D．若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<016．（2022·廣東茂名·二模）棱長(zhǎng)為4的正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，平面SKIPIF1<0截正方體所得截面的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0C．直線FG與平面SKIPIF1<0所成角的正切值的取值范圍是SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0三、解答題17．（2022·青海西寧·一模（文））如圖，四棱錐SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面CDP，E為PC中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面PAD；(2)若SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．18．（2022·甘肅蘭州·一模（理））已知四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，點(diǎn)E為校PC上一點(diǎn)（與P?C不重合），點(diǎn)M?N分別在棱PD?PB上，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0