河北省部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高三數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：D2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：A3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩角和公式結(jié)合切化弦得出，再應(yīng)用兩角差余弦計算.【詳解】因?yàn)?又因?yàn)?所以,所以.故選：A5.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分兩段討論，分別求出不等式的解集.【詳解】因，則不等式，等價于或，解得或或，所以不等式的解集為.故選：B6.當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)列式計算即得.【詳解】依題意，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)即為方程根的個數(shù)，由，得，，則或或，解得或或，因此方程在上有3個解.所以當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為3.故選：A7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求出函數(shù)局部周期性，再求值即可.【詳解】當(dāng)時，由于得到，則，A錯；，B對；，C對；，D錯；故選：BC.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選不得分，共18分）8.設(shè)函數(shù)，若存在，且，使得，則（）A. B.C.可能有且僅有兩個零點(diǎn) D.至多有四個零點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】分析導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，取特殊函數(shù)由零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個數(shù)即可判斷選擇支.【詳解】，，由題意，函數(shù)至少有個零點(diǎn).，設(shè)，令，則.當(dāng)，即時，當(dāng)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)，則，在單調(diào)遞增；所以有最小值，最小值為，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，即時，由，，當(dāng)時，，當(dāng)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)，則，在單調(diào)遞增；所以有最小值，最小值為，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得，在各有一個零點(diǎn)，故當(dāng)時，函數(shù)有且僅有個零點(diǎn)，滿足題意，故A錯誤，C正確；當(dāng)時，；當(dāng)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)，則，在單調(diào)遞增；當(dāng)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)，則，在單調(diào)遞增；所以在處取極小值，在處取極大值，在處取極小值，又，由零點(diǎn)存性定理可得，在各有一個零點(diǎn)，即有個零點(diǎn)，所以當(dāng)時，滿足題意，故B錯誤；又為四次函數(shù)，至多有個零點(diǎn)，故D項(xiàng)正確.故選：CD.9.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（）A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.曲線C經(jīng)過7個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3D.若直線與曲線只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)適合曲線方程可判斷A；利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程，通過判別式得出范圍，再賦值求解整點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷B；利用已知方程變形，根據(jù)有界性結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷C；聯(lián)立直線與曲線研究方程根的情況即可判斷D．【詳解】對于A：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也適合曲線方程，所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；對于B：方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或或，有三個整點(diǎn)，，；令，，解得或，此時無整點(diǎn)；所以曲線共經(jīng)過個整點(diǎn)，故B錯誤；對于C：設(shè)曲線上任一點(diǎn)，當(dāng)為原點(diǎn)時，到原點(diǎn)的距離為，滿足題意；當(dāng)不為原點(diǎn)時，，則由可得，，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，且；綜上，曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，故C正確；對于D：直線恒過原點(diǎn)，且曲線經(jīng)過，則直線與曲線至少一個公共點(diǎn)，又與曲線只有一個公共點(diǎn)，故除原點(diǎn)外無其他公共點(diǎn).聯(lián)立，消得，當(dāng)時，方程僅一解，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時，方程化簡得，即當(dāng)時，方程無解，滿足題意；綜上可得，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復(fù)合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，，則___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y因?yàn)?，，根?jù)拋物線的定義可得，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，所以，所以，即，解得．故答案為：．11.若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立切線方程與，消元，根據(jù)計算可得.【詳解】由，所以，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線為，即；又與曲線相切，由，可得，則，解得或（舍去），故答案為：12.某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進(jìn)行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標(biāo)概率為，乙命中目標(biāo)的概率為．若每輪射擊中，命中目標(biāo)的選手得1分，未命中目標(biāo)的選手得0分，且各輪射擊結(jié)果相互獨(dú)立．則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．【答案】【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計算可得答案.【詳解】則進(jìn)行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，．（1）求角的大??；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再將兩邊平方，即可求出，最后由面積公式計算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，即，顯然，所以，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理，即，又，所以，解得，所以.14.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的方程組，結(jié)合求解出的值，則橢圓方程可知；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,【小問1詳解】依題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)Ax1,聯(lián)立可得，且，即，所以，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，所以，化簡可得，解得或，當(dāng)時，，過定點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，，過點(diǎn)，不滿足題意，綜上所述，直線過定點(diǎn).15.已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大??；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計算，進(jìn)而可得答案；（2）求出平面的法向量n=x,y,【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，，如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所以．【小?詳解】設(shè)平面的法向量n=x,y則，即，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，所以直線與平面所成角的大小為．16.已知函數(shù)在處取得極值2，且．（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）證明：若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知建立方程組，求解方程組并驗(yàn)證即得.（2）由（1）求出函數(shù)在上的性質(zhì)，結(jié)合三次函數(shù)性質(zhì)求解即得.（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)推理即得.【小問1詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，此時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即是極值點(diǎn)，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，由函數(shù)在區(qū)間上有三個零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【小問3詳解】由（1）知，，函數(shù)的圖象對稱軸為，由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，得，解得，所以原命題正確.17.設(shè)數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，若從該數(shù)列中任意選取兩個不同的數(shù)和（），能滿足，則稱和是幸運(yùn)數(shù)對.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列中隨機(jī)選取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)構(gòu)成“幸運(yùn)數(shù)對”的概率；（3）證明：對于任意的正整數(shù)N，在數(shù)列中總存在兩個數(shù)和（），使得.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由累加法求通項(xiàng)即可；（2）由通項(xiàng)公式與不等式性質(zhì)可得恒成立；（3）由數(shù)列通項(xiàng)證明數(shù)列遞增規(guī)律，利用放縮法將所證不等式消元轉(zhuǎn)化為一元不等式，求解滿足不等式的正整數(shù)解即可.【小問1詳解】由題意，任意的，都有，所以，則當(dāng)時，當(dāng)時，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】設(shè)從該數(shù)列中任意選取兩個不同的數(shù)和（，且），則，由，且，可得，，則，即恒成立.所以從數(shù)列中隨機(jī)選取兩個數(shù)，這兩個數(shù)構(gòu)成“幸運(yùn)數(shù)對”的概率為；【小問3詳解】由任意，可知，數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故，且，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列.且當(dāng)，對于任意的正整數(shù)N，存在，使.故任意，，都有，令，得，此時恒成立，若為奇數(shù)，則為