4.2指數(shù)函數(shù)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.運用指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減類的函數(shù)模型解決簡單的實際問題,理解該模型所蘊含的運算規(guī)律.3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.4.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一指數(shù)函數(shù)的概念1.在冪的表達式au中,讓底數(shù)為常數(shù)而使

為自變量x,則得到一類新的函數(shù)y=ax(x∈R),這叫作指數(shù)函數(shù),其中

.

2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)ax的系數(shù)是1.名師點睛根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),如

都不是指數(shù)函數(shù),它們的函數(shù)表達式含有指數(shù)式,應(yīng)將它們看作復(fù)合函數(shù).指數(shù)a>0且a≠1過關(guān)自診指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如

無意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時,ax=0,當(dāng)x≤0時,ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時x可以是任意實數(shù).知識點二指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減1.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時,指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而增大,底數(shù)a較大時指數(shù)函數(shù)值增長速度驚人,被稱為指數(shù)爆炸.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a滿足0<a<1時,指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而縮小以至無限接近于0,這叫作指數(shù)衰減.3.指數(shù)增長(縮小)百分比把自變量x看成時間,在長為T的時間周期[u,u+T]中,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的值從au變化到au+T,變化率為(au+T-au)÷au=aT-1,增長(縮小)百分比是一個常量,當(dāng)a>1時,這個量就被描述為指數(shù)式增長,也稱指數(shù)增長.過關(guān)自診1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是

.

①④2.若函數(shù)y=2x,求其在區(qū)間[2,6]上的增長百分比.解

增長百分比為(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.知識點三指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)表達式y(tǒng)=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象

定義域(-∞,+∞)值域

性質(zhì)函數(shù)圖象過定點(0,1),即a0=1在R上遞減可用冪運算基本不等式加以論證在R上遞增(0,+∞)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>1時,圖象具有上升趨勢,且當(dāng)x>0時底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象“越陡”,函數(shù)值增長得越快;當(dāng)0<a<1時,圖象具有下降趨勢,且當(dāng)x<0時,底數(shù)a的值越小,函數(shù)減少得越快.×√√×重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)如果指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點,那么f(4)f(2)等于

.

64(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)是一個形式定義,其特征如下:變式訓(xùn)練1下列以x為自變量的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的為(

)A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2A解析

π-1為正實數(shù),A是指數(shù)函數(shù);B式中,1-π<0,B不是指數(shù)函數(shù);C式中,指數(shù)位置不是x,C不是指數(shù)函數(shù);D式中,自變量不在指數(shù)上,D不是指數(shù)函數(shù).探究點二指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減【例2】

(1)將一張足夠大的紙進行對折,如果不考慮折疊過程中的阻力,那么對折100次之后,紙的厚度約為

km(假設(shè)一張紙的厚度大約是0.08mm).

解析

2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì),每經(jīng)過一年的殘留量是原來的76%,則經(jīng)過12年后,殘留量約為原來的

.

解析

0.7612≈0.037,即殘留量約為原來的3.7%.1.02×10233.7%規(guī)律方法

1.通過例2(1)我們可以體會出指數(shù)爆炸的威力,它反映了當(dāng)a>1時,指數(shù)函數(shù)的值的增長速度是非常大的,另外“人口增長”“病毒繁殖”都是這一模型.2.例2(2)是一個指數(shù)衰減問題,它是0<a<1的指數(shù)函數(shù)模型,隨著自變量x的增大,函數(shù)值y無限接近于0,關(guān)于“能量衰退”的相關(guān)問題都是這一模型.變式訓(xùn)練2(1)某種細胞每小時分裂一次,即第一次由1個分裂成2個,第2次由2個分裂成4個,第3次由4個分裂成8個,如此下去,則24小時后得到

個細胞.(不需算出具體數(shù)字)

224(2)清洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過原有污垢的1%,則至少要清洗

次.

4探究點三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題【例3】

已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點P,則點P的坐標(biāo)是

.

(-1,4)解析

∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(-1,4).變式探究若將本例中的函數(shù)改為f(x)=5a3x-2+3呢?規(guī)律方法

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題的解法因為函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(0,1),所以對于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,f(x),則點(x,f(x))為所求點.2.指數(shù)函數(shù)圖象的識別【例4】

函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故選D.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點,如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點、特殊點的函數(shù)的值的符號等;(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢.變式訓(xùn)練3已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù)①y=mx,②y=nx的圖象為(

)C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是減函數(shù),故排除A,B;作直線x=1與兩個圖象相交(圖略),交點在下面的是函數(shù)y=mx的圖象.C符合題意.3.畫指數(shù)函數(shù)的圖象【例5】

畫出函數(shù)y=的圖象,這個圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出它的值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)y=ax與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點;二是利用圖象的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.變式訓(xùn)練4畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖1,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.(2)如圖1,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.(3)如圖1,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖2所示.圖1圖2探究點四利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小【例6】

比較下列各題中兩個值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時,(a-1)1.3>(a-1)2.4.規(guī)律方法

比較冪的大小的常用方法

變式訓(xùn)練5利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1.解

因為0.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值,所以考察函數(shù)y=0.8x,由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是減函數(shù),又因為-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.解

因為2.5a與2.5a+1都是以2.5為底的冪值,所以考察函數(shù)y=2.5x,由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是增函數(shù),又因為a<a+1,所以2.5a<2.5a+1.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141.若函數(shù)f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,且a≠1)是指數(shù)函數(shù),則實數(shù)m的值為(

)A.2 B.1 C.3 D.2或-1D解析

由指數(shù)函數(shù)的定義,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故選D.12345678910111213142.已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是(

)A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>bC解析

因為40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0<c<b<1,所以a>b>c.故選C.12345678910111213143.已知0<a<1,-1<b<0,則函數(shù)y=ax+b的圖象不經(jīng)過第

象限.

三解析

0<a<1,指數(shù)函數(shù)y=ax單調(diào)遞減,-1<b<0,將函數(shù)y=ax的圖象向下平移|b|個單位長度,得到y(tǒng)=ax+b的圖象,可知圖象不過第三象限.1234567891011121314若f(x)≥4,則x的取值范圍為

.

2[6,+∞)故f(x)=22x-10.由f(x)≥4,得22x-10≥22,故2x-10≥2,解得x≥6.12345678910111213145.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值為M,最小值為N.(1)若M+N=6,求實數(shù)a的值;(2)若M=2N,求實數(shù)a的值.解

①當(dāng)a>1時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,則f(x)的最大值為M=f(2)=a2,最小值N=f(1)=a;②當(dāng)0<a<1時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,則f(x)的最大值為M=f(1)=a,最小值N=f(2)=a2.(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2,或a=-3(舍去).(2)∵M=2N,∴當(dāng)a>1時,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);1234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練6.函數(shù)y=ax-a(a>0,a≠1)的圖象可能是(

)

C解析

當(dāng)a>1時,y=ax是增函數(shù),-a<-1,則函數(shù)y=ax-a的圖象與y軸的交點在x軸的下方,故選項A不正確;y=ax-a的圖象與x軸的交點是(1,0),故選項B,D不正確;當(dāng)0<a<1時,y=ax是減函數(shù),y=ax-a的圖象與x軸的交點是(1,0),又-1<-a<0,y=ax-a的圖象與y軸的交點在x軸上方,故選項C正確.12345678910111213147.已知指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(-1,2),那么這個函數(shù)也必定經(jīng)過點(

)D12345678910111213148.若2022a=2023b>1,則(

)A.0<b<a B.a<b<0C.0<a<b D.b<a<0A解析

在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=2

022x以及y=2

023x的圖象,因為2

022a=2

023b>1,所以0<b<a.12345678910111213149.(多選題)下列式子不正確的是(

)

AB解析

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.52.5<1.53.2,則A錯誤;由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,則B錯誤;由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,則D正確.故選AB.1234567891011121314D123456789101112131411.(多選題)[2024甘肅靖遠第一中學(xué)高一校考期末]已知函數(shù)f(x)=e-x-ex-5x+2,若f(a2)+f(a-2)>4,則整數(shù)a的值可以為(

)A.-2 B.-1C.0 D.1BC1234567891011121314解析

令g(x)=f(x)-2=e-x-ex-5x,因為g(-x)=ex-e-x+5x=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù).因為函數(shù)y=e-x,y=-ex,y=-5x都是減函數(shù),所以函數(shù)g(x)是減函數(shù).若f(a2)+f(a-2)>4,則有f(a2)-2>-[f(a-2)-2],即g(a2)>-g(a-2)=g(2-a),所以a2<2-a,解得-2<a<1,故B,C正確.故選BC.12345678910111213141234567891011