2008年第6“走美杯”數(shù)學(xué)競賽七年級決賽試卷

2008年第6屆“走美杯”數(shù)學(xué)競賽七年級決賽試卷一、填空題（共15小題，滿分150分）1．（8分）．2．（8分）（共1000個，（共1000個，的整數(shù)部分為．3．（8分）在1、2、、2007、2008之間添上加減號，使和的絕對值最?。闶绞牵海?．（8分）將2個相同的黑球和11個相同的白球排在一個圓周上，共有種不同的排法．（旋轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)相同的方法算同一種）5．（10分）在一列數(shù)中，每連續(xù)四個數(shù)中，后三個數(shù)的積是前三個數(shù)的積的倒數(shù)．這列數(shù)中的第100個數(shù)是．6．（10分）的末兩位數(shù)字為．7．（10分）如圖，四邊形為正方形，，為邊上一點，，射線上一點，，的面積為．8．（10分）在的方格表上畫一條對角線，這條對角線穿過個小方格．9．（10分）正整數(shù)是它的數(shù)字和的2008倍．的最小值是．10．（10分）在1、2、3、、2008中，取一個6的倍數(shù)，再取一個5的倍數(shù)，且這兩個數(shù)的差為4．取法共有種．11．（10分）將2008拆成個自然數(shù)的和，這個自然數(shù)的個位數(shù)字都相同．如果將這個數(shù)的個位數(shù)字都擦掉，剩下的數(shù)組成一個公差是6的等差數(shù)列．最大是．12．（12分）梯形的上底、下底和高都是整數(shù)，下底比上底長，小于，梯形面積是，三元整數(shù)組，，為（寫出所有可能）13．（12分）為正整數(shù)，且能被整除．的最小值為．14．（12分）中，已知，，則斜邊的中線長是．15．（12分）在圖和方格中，沿著已有的線畫一個簡單連續(xù)的閉合圈作籬笆，籬笆不能“自身相交”．小方格中的數(shù)表示這小方格上屬于籬笆的邊數(shù)（如，籬笆經(jīng)過兩個黑點，而且對于以“黑點”為中心的長方形，它邊上的籬笆也以這個黑點為對稱中心．．

2008年第6屆“走美杯”數(shù)學(xué)競賽七年級決賽試卷參考答案與試題解析一、填空題（共15小題，滿分150分）1．（8分）2017036．【分析】直接運用因式分解，將前后兩項按平方差公式分解后，再將剩余的項相加即可．【解答】解：原式，，，，．故答案為：2017036．【點評】本題考查了因式分解中平方差公式的運用．2．（8分）（共1000個，（共1000個，的整數(shù)部分為999．【分析】首先根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)把和用，，得到，從而得出答案．【解答】解：，，，，，，，所以得到：，，則，，那么，，所以的整數(shù)部分為999．故答案為：999．【點評】此題考查的知識點是整數(shù)問題的綜合運用，此題的關(guān)鍵是根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)把轉(zhuǎn)化為得出結(jié)果．3．（8分）在1、2、、2007、2008之間添上加減號，使和的絕對值最?。闶绞牵豪纾痉治觥坑深}意，1、2、3、4、5、6、7、8、、2005、2006、2007、2008，不難發(fā)現(xiàn)，，，，既而得到．【解答】解：由已知，可寫出算式，，，．使和的絕對值最小，所以算式是：．故答案為：．【點評】此題考查了學(xué)生有理數(shù)加減的混合運算．解答此題的關(guān)鍵是對這組數(shù)觀察分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．4．（8分）將2個相同的黑球和11個相同的白球排在一個圓周上，共有6種不同的排法．（旋轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)相同的方法算同一種）【分析】按2個相同的黑球之間白球個數(shù)的不同，即可得出不同的排法的種數(shù)．注意如果兩球間隔6球的話，那就只剩下5個白球，即和兩球間隔5球方法相同，因為排法可翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，以此類推【解答】解：①●●兩球相鄰；②●〇●兩球間隔1球；③●〇〇●兩球間隔2球；④●〇〇〇●兩球間隔3球；⑤●〇〇〇〇●兩球間隔4球；⑥●〇〇〇〇〇●兩球間隔5球．共六種方法．故答案為：6．【點評】本題考查了排列與組合問題，解題的關(guān)鍵是以2個相同的黑球為基礎(chǔ)，根據(jù)2個相同的黑球之間白球個數(shù)的不同，得出不同的排法的種數(shù)．5．（10分）在一列數(shù)中，每連續(xù)四個數(shù)中，后三個數(shù)的積是前三個數(shù)的積的倒數(shù)．這列數(shù)中的第100個數(shù)是1．【分析】根據(jù)題意，可以寫出這列數(shù)的前幾個數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化特點，從而可以寫出這列數(shù)中的第100個數(shù)．【解答】解：設(shè)第4個數(shù)為，在一列數(shù)中，每連續(xù)四個數(shù)中，后三個數(shù)的積是前三個數(shù)的積的倒數(shù)，，解得，即第四個數(shù)為1，同理可得，第五個數(shù)1，第六個數(shù)2，第七個數(shù)，第八個數(shù)4，，由上可得，這列數(shù)依次以、4、、1、1、2循環(huán)出現(xiàn)，，這列數(shù)中的第100個數(shù)是1，故答案為：1．【點評】本題考查數(shù)字的變化類、倒數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應(yīng)的數(shù)字．6．（10分）的末兩位數(shù)字為16．【分析】計算出，，，，的末兩位數(shù)，總結(jié)出規(guī)律，即可求出的末兩位數(shù)字．【解答】解：，，，，，，，的末兩位數(shù)為：08，64，12，96，68，44，52，16，28，24，92，36，88，04，32，56，48，84，72，76，08，64，每20位數(shù)一個循環(huán)，余8，的末兩位數(shù)字為16．故答案為16．【點評】此題考查了尾數(shù)的特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)尾數(shù)的變化得出規(guī)律，進(jìn)而求出的末兩位數(shù)字．7．（10分）如圖，四邊形為正方形，，為邊上一點，，射線上一點，，的面積為36．【分析】過作，則，即可證明，所以，即可計算的長度，即可求得的高，根據(jù)，即可計算的面積．【解答】解：過作，則．，為的中點．，，，，，，，的面積，故答案為36．【點評】本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，考查了三角形面積的計算，本題中正確的計算的值是解題的關(guān)鍵．8．（10分）在的方格表上畫一條對角線，這條對角線穿過4014個小方格．【分析】假設(shè)直線右上方至左下方穿過一個的正方形，每一列經(jīng)過兩個正方形，如果直線右上方至左下方穿過一個的正方形，最左列和最右列各經(jīng)過1個正方形，中間5列每一列經(jīng)過兩個正方形，即（個，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：直線穿越正方形時最多經(jīng)過的正方形個數(shù)為：或；直線穿越正方形時最多經(jīng)過的正方形個數(shù)為：或；，所以直線穿越正方形時最多經(jīng)過個正方形．直線穿越正方形時最多經(jīng)過正方形的個數(shù)為：（個．故答案為4014．【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．9．（10分）正整數(shù)是它的數(shù)字和的2008倍．的最小值是10040．【分析】首先從最小的4位數(shù)分析得出沒有符合要求的數(shù)，再從最小的5位數(shù)分析，進(jìn)而得出答案．【解答】解：①若為4位數(shù)，設(shè)各個數(shù)字位上的數(shù)為，，，，則，移項后，無解．②若為5位數(shù)，設(shè)各個數(shù)字位上的數(shù)為，，，，，則，移項后，，由于所求的是最小值故，不妨，無解，，任取，無解，，，任取，無解，，，任取，無解，同上方法得當(dāng)，，，故的最小值為10040．故答案為：10040．【點評】此題主要考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用，先從最小的4位數(shù)分析，利用特殊值法一一分析得出是解決問題的關(guān)鍵，計算量較大．10．（10分）在1、2、3、、2008中，取一個6的倍數(shù)，再取一個5的倍數(shù)，且這兩個數(shù)的差為4．取法共有134種．【分析】由已知及題目要求，此題應(yīng)先由取一個6的倍數(shù)，再取一個5的倍數(shù)，且這兩個數(shù)的差為4．來確定所取的數(shù)有兩種情況：（1）6的倍數(shù)的個位數(shù)為4，5的倍數(shù)的個位數(shù)為0，這樣6的倍數(shù)與5的倍數(shù)的差為4．（2）5的倍數(shù)的個位數(shù)為0，6的倍數(shù)的個位數(shù)為6，這樣5的倍數(shù)與6的倍數(shù)的差為4．【解答】解：設(shè)6的倍數(shù)為，5的倍數(shù)為，由已知可得：，，5的倍數(shù)的個位數(shù)應(yīng)為0或5，如果的個位數(shù)是5時，由，那么的個位數(shù)應(yīng)為9，個位數(shù)是9的數(shù)不是6的倍數(shù)，所以應(yīng)取個位數(shù)是0的數(shù)．那么，應(yīng)取個位數(shù)是4的數(shù)．在1，2，3，，2008中，6的倍數(shù)的個位數(shù)是4的數(shù)是：24，54，84，114，174，204，，2004．觀察得到，24，54，84，114，174，204，，2004是首項為24，公差為30的等差數(shù)列．設(shè)有項，得：，得．由已知且這兩個數(shù)的差為4，所以．得到，6的倍數(shù)應(yīng)取個位數(shù)是6的6的倍數(shù)．同理這樣的數(shù)有67個．因此取法共有（種．故答案為：134．【點評】此題考查了學(xué)生觀察分析問題的能力．解題的關(guān)鍵是由已知確定6的倍數(shù)和5的倍數(shù)的個位數(shù)．11．（10分）將2008拆成個自然數(shù)的和，這個自然數(shù)的個位數(shù)字都相同．如果將這個數(shù)的個位數(shù)字都擦掉，剩下的數(shù)組成一個公差是6的等差數(shù)列．最大是8．【分析】先把8分解成幾個數(shù)積的形式，再根據(jù)末尾數(shù)是8個個位數(shù)字是1的數(shù)時的值最大，代入公差是6的等差數(shù)列公式即可求出的值，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：因為2008個位是8，，，，所以可能性是8個個位數(shù)字為1的2個個位數(shù)字為4的數(shù)，4個個位數(shù)字為2的數(shù)，6個個位數(shù)字為8的數(shù)，8個個位數(shù)字為6的數(shù)，因為求最大值，所以從8個個位數(shù)字是1的數(shù)考慮若是8個個位數(shù)字是1的數(shù)：如果將這個數(shù)的個位數(shù)字都擦掉那這些數(shù)的和即為，代入等差數(shù)列求和公式：，，，則這種情況滿足即最大為8；故答案為：8．【點評】本題考查的是尾數(shù)的特征，能根據(jù)題意得出當(dāng)8個數(shù)的個位數(shù)字是1時的值最大是解答此題的關(guān)鍵．12．（12分）梯形的上底、下底和高都是整數(shù)，下底比上底長，小于，梯形面積是，三元整數(shù)組，，為（寫出所有可能），556，，，192，，，56，，，38，【分析】根據(jù)梯形的面積公式得到，即，把561分解成所有的情況，進(jìn)行討論所有的情況，即可得出、、的值．【解答】解：根據(jù)題意得：，由梯形的面積公式得：，代入得：，小于，、、都是正整數(shù)，，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；但當(dāng)是1、3、17、11時求得的和都不符合已知條件，故答案為：，566，，，，56，，，38，．【點評】本題主要考查了面積及等積變換，梯形的面積公式等知識點，解此題的關(guān)鍵是把561分解討論出所有的情況．13．（12分）為正整數(shù)，且能被整除．的最小值為2008．【分析】根據(jù)題意及數(shù)的整除性先設(shè)未知數(shù)得方程，通過分解因式由題目要求進(jìn)行提算確定所求值．【解答】解：由已知設(shè)為正整數(shù)）為正整數(shù)，所以要想此方程有解，那么必須能因式分解，即寫成如方程的形式則有：2008也可以先分解，或或或?qū)⒁陨纤膫€簡化得到：或或或為正整數(shù)，所以以上四個等式只有最后一個有解，，代入原等式，，為正整數(shù)，所以故答案為2008【點評】此題考查學(xué)生綜合論證問題的能力，關(guān)鍵是由題意整除通過設(shè)等式及分解因式推理論證得出答案．14．（12分）中，已知，，則斜邊的中線長是5．【分析】在直角三角形中，已知兩直角邊根據(jù)勾股定理可以求得斜邊的長度，根據(jù)斜邊的中線長等于斜邊長的一半即可解題．【解答】解：在中，，，則斜邊，則斜邊的中線的長為．故答案為5．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了斜邊中線長是斜邊長的一半的性質(zhì)，本題中正確的計算的長是