四川省宜賓縣2025年校高三4月考數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

四川省宜賓縣2025年校高三4月考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.2.已知點,是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數(shù) B.,a為任意非零實數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b3.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.54.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)5.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,且,則()A. B. C.1 D.26.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.7.關(guān)于函數(shù),有下列三個結(jié)論:①是的一個周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域為.則上述結(jié)論中,正確的個數(shù)為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.10.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.11.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.12.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.14.點到直線的距離為________15.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.16.兩光滑的曲線相切,那么它們在公共點處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當時,證明:.18.(12分)在中,角、、的對邊分別為、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.19.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.20.(12分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.21.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.2.A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A本題考查導(dǎo)數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.3.B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.4.D【解析】

當時,,∴f(x)不關(guān)于直線對稱;當時,,∴f(x)關(guān)于點對稱;f(x)得周期,當時,,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項.5.C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對新定義的理解.7.B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數(shù),又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調(diào)遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數(shù)只有一個,故選B.本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.8.D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根,先求導(dǎo),可判斷時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達定理可知,要滿足題意,只能是存在零點,使得在有解,通過導(dǎo)數(shù)可判斷當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.,所以當時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個解.設(shè)其解為,當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù).因為,方程在內(nèi)有兩個不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因為,所以,代入,得.設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題9.D【解析】

根據(jù)框圖,模擬程序運行,即可求出答案.【詳解】運行程序,,

,,,,,結(jié)束循環(huán),故輸出,故選:D.本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結(jié)構(gòu),條件分支結(jié)構(gòu),屬于中檔題.10.A【解析】

作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

選B.考點:圓心坐標12.C【解析】

設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當時,;當時,;綜上所述:.故選:C.本題考查向量的模、夾角計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意的兩種情況.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由,解得,進而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.本題主要考查平面向量的運算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.2【解析】

直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出?!驹斀狻恳罁?jù)點到直線的距離公式,點到直線的距離為。本題主要考查點到直線的距離公式的應(yīng)用。15.20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,是一道容易題.16.【解析】

第一空:將圓與聯(lián)立,利用計算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進而可得.【詳解】當r1=1時,圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當時,①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項公式,綜合性較強,是一道難度較大的題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.所以是的最大值點,所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.所以是的最小值點,,則,故.本題考查了函數(shù)的切線問題,證明不等式,意在考查學生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.18.(1);(2).【解析】

(1)利用余弦定理得出關(guān)于的二次方程,結(jié)合,可求出的值;(2)利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求出的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值,然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】(1)在中,由余弦定理得,,即,解得或(舍),所以;(2)由及得,,所以,又因為,所以,從而,所以.本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值,考查計算能力,屬于中等題.19.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】

(1)當a=2時,求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個零點等價于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù),可分析求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當a=2時,定義域為,則,令,解得x1,或x1(舍去),所以當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增;故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)設(shè),函數(shù)g(x)在上有兩個零點等價于在上有兩解令,,則,令,,顯然,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以當時,有,即,當時,有,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,時,取得極小值,也是最小值,即,由方程在上有兩解及,可得實數(shù)a的取值范圍是.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)0【解析】

(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,得,再由弦長公式,求解.(2)設(shè),根據(jù)直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點的縱坐標為,然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標,說明直線軸,直線的斜率為0.【詳解】(1)依題意,,則直線,聯(lián)立得;設(shè),則,解得,故拋物線的方程為.(2),因為直線的斜率為1,則,所以,因為,所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為,即①直線的方程為,即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標為,即直線軸,故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在,結(jié)論也顯然成立,綜上所述,直線的斜率為0.本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.22.(1);(2).【解析】

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