考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷10（共283題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷10（共9套）（共283題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、設(shè)在區(qū)間[a，6]上f(x)>0，f’(x)<0，f"(x)>0，令，S2=f(b)(b-a)，，則()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標準答案：B知識點解析：因為函數(shù)f(x)在[a，b]上為單調(diào)減少的凹函數(shù)，根據(jù)幾何意義，S2＜S1＜S3，選B.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、標準答案：知識點解析：5、標準答案：知識點解析：6、標準答案：知識點解析：7、標準答案：知識點解析：8、標準答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，且也是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則b=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)10、標準答案：知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、∫arcsinxarccosxdx標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、標準答案：知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)f(x)=xsinx()A、當x→∞時為無窮大。B、在(-∞，+∞)內(nèi)有界。C、在(-∞，+∞)內(nèi)無界。D、當x→∞時極限存在。標準答案：C知識點解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，則f(xn)=2nπ+，f(yn)=0。因為，所以f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)無界，故選C。2、設(shè)，則()A、f(x)在x=x0處必可導(dǎo)且f’(x0)=a。B、f(x)在x=x0處連續(xù)，但未必可導(dǎo)。C、f(x)在x=x0處有極限但未必連續(xù)。D、以上結(jié)論都不對。標準答案：D知識點解析：本題需將f(x)在x=x0處的左、右導(dǎo)數(shù)f’-(x2)和f’+(x0)與在x=x0處的左、右極限區(qū)分開。，但不能保證f(x)在x0處可導(dǎo)，以及在x=x0處連續(xù)和極限存在。例如f(x)=但是不存在，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，不可導(dǎo)。故選D。3、曲線y=(x-1)2(x-3)2的拐點個數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標準答案：C知識點解析：對于曲線y，有y’=2(x-1)(x-3)2+2(x-1)2(x-3)=4(x-1)(x-2)(x-3)，y’’=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)]=4(3x2-12x+11)．令y’’=0，得x1=又由y’’=24(x-2)，可得y’’’(x1)≠0，y’’’(x2)≠0，因此曲線有兩個拐點，故選C。4、設(shè)g(x)=則g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)()A、無界。B、遞減。C、不連續(xù)。D、連續(xù)。標準答案：D知識點解析：因為f(x)在區(qū)間[0，2]上只有一個第一類間斷點(x=1為f(x)的跳躍間斷點)，所以f(x)在該區(qū)間上可積，因而g(x)=在該區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，故選D。5、已知a，b為非零向量，且a⊥b，則必有()A、｜a+b｜=｜a｜+｜b｜。B、｜a-b｜=｜a｜-｜b｜。C、｜a+b｜=｜a-b｜。D、a+b=a-b。標準答案：C知識點解析：由于a⊥b，則｜a+b｜與｜a-b｜在幾何上分別表示以向量a，b為鄰邊的矩形的兩條對角線的長度，則必有｜a+b｜=｜a-b｜，故選C。6、已知f(x，y)=，則()A、fx(0，0)，fy(0，0)都存在。B、fx(0，0)存在，但fy(0，0)不存在。C、fx(0，0)不存在，fx(0，0)存在。D、fx(0，0)，fy(0，0)都不存在。標準答案：C知識點解析：由于f(x，0)==sin｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，故fx(0，0)不存在。事實上而f(0，y)==siny2在y=0處可導(dǎo)，則fy(0，0)存在，故選C。7、設(shè)曲線L：f(x，y)=1(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，Γ為L上從點M到點N的一段弧，則下列積分小于零的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：在Γ上f(x，y)=1，M在第二象限，N在第四象限，則M點的縱坐標yM大于N點的縱坐標yN，因此故選B。8、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，-∞＜x＜+∞，其中bn=sinnπxdx，n=1，2，3，…，則等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為s(x)是正弦級數(shù)，所以此傅里葉級數(shù)是對f(x)在(-1，0)內(nèi)作奇延拓后展開的，于是和函數(shù)s(x)在一個周期內(nèi)的表達式為二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、=_________。標準答案：1知識點解析：原式=10、=_________。標準答案：知識點解析：11、設(shè)，則f(x)的極值為_______，f(x)的拐點坐標為________。標準答案：知識點解析：對f(x)求導(dǎo)，令f’(x)=.2x=0，得x=0。而且，當x＜0時，f’(x)＜0；當x＞0時，f’(x)＞0，所以極小值點為x=0，極小值為f(0)=0。又因f’’(x)=當x∈時，f’’(x)＞0，故拐點坐標為12、=______。標準答案：-4π知識點解析：令=t，則13、直線L1：的夾角為_______。標準答案：知識點解析：兩條直線方向向量的夾角即為兩條直線的夾角。L1的方向向量s1={1，-2，1}。令y=t，直線L2的參數(shù)方程是則L2的方向向量s2={1，1，-2}。由于所以L1與L2的夾角為14、二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為_______。標準答案：知識點解析：由因為AC-B2=是f(x，y)的極小值，且15、已知曲線L：y=x2(0≤x≤=________。標準答案：知識點解析：由線L可寫成參數(shù)形式：x=x，y=x2(0≤x≤)，則16、設(shè)D是由x2+y2≤a2，y≥0所確定的上半圓域，則D的形心的y坐標=______。標準答案：知識點解析：17、方程(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0的通解為________。標準答案：y2+1=C(x2-1)知識點解析：由題干可得(y2+1)xdx+(1-x2)ydy=0，則分離變量得積分得所以通解為y2+1=C(x2-1)。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、求標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)e＜a＜b＜e2，證明ln2b-ln2a＞標準答案：對函數(shù)y=ln2x在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得當t＞e時，φ’(t)＜0，所以φ(t)單調(diào)減少，從而有φ(ξ)＞φ(e2)，即知識點解析：暫無解析20、如圖1-3-2所示，曲線C的方程為y=f(x)，點(3，2)是它的一個拐點，直線l1與l2分別是曲線C在點(0，0)與(3，2)處的切線，其交點為(2，4)。設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分標準答案：由圖形知，f(0)=0，f’(0)=2，f(3)=2，f’(3)=-2，f’’(3)=0。則知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)f(x，y)=的極值。標準答案：先求駐點，令解得駐點為為了判斷這兩個駐點是否為極值點，求二階導(dǎo)數(shù)因為AC-B2＜0，所以不是極值點。因為A＞0，AC-B2=是極小值點，極小值為知識點解析：暫無解析22、已知平面區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L為D的正向邊界。試證：標準答案：(Ⅰ)左邊=右邊=所以(Ⅱ)由于esinx+e-sinx≥2，故由(Ⅰ)得知識點解析：暫無解析23、設(shè)直線L過A(1，0，0)，B(0，1，1)兩點，將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面∑，∑與平面z=0，z=2所圍成的立體為Ω。(Ⅰ)求曲面∑的方程；(Ⅱ)求Ω的形心坐標。標準答案：(Ⅰ)由已知得={-1，1，1}，則設(shè)任意點M(x，y，z)∈∑，對應(yīng)于L上的M0(x0，y0，z)，則有x2+y2=且由得∑：x2+y2=(1-)2+z2，即∑：x2+y2=2z2-2z+1。(Ⅱ)顯然其中，Dxy：x2+y2≤2z2-2z+1。所以知識點解析：暫無解析24、設(shè)an=(Ⅰ)求(an+an+2)的值；(Ⅱ)證明對任意的常數(shù)λ＞0，級數(shù)收斂。標準答案：(Ⅰ)因為又由部分和數(shù)列(Ⅱ)先估計an的值。因為由λ+1＞1可知，也收斂。知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=1-x2(0≤x≤π)用余弦級數(shù)展開，并求的和。標準答案：將f(x)作偶延拓，則有bn=0，n=1，2，…。令x=0，有又f(0)=1，所以知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)當x→0時，(x—sinx)ln(1+x)是比(1—cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：2、設(shè)α=，當x→0時，α是β的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：D知識點解析：故α是β的同階但非等價的無窮小，應(yīng)選(D)．3、設(shè)f(x)=∫01—cosxsint2dt，g(x)=，則當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：所以f(x)是g(x)的高階無窮小，選(B)．4、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標準答案：C知識點解析：因為當xn=極限不存在但不是∞，選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、當x→0時，3x一4sinx+sinxcosx與xn為同階無窮小，則n=__________．標準答案：5知識點解析：6、設(shè)=__________．標準答案：知識點解析：7、=__________．標準答案：—2知識點解析：8、=__________．標準答案：知識點解析：9、=__________．標準答案：知識點解析：當x→0時，10、=__________．標準答案：知識點解析：11、=__________．標準答案：2知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)12、求．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：知識點解析：暫無解析15、求．標準答案：知識點解析：暫無解析16、求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求．標準答案：因為當x→0時，一1～x2，xln(1+2x)～2x2，所以．知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：因為當x→0時，知識點解析：暫無解析24、求．標準答案：知識點解析：暫無解析25、若．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標準答案：C知識點解析：2、A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：3、A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與a有關(guān)標準答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：5、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：6、A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、斂散性與k有關(guān)標準答案：C知識點解析：7、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：8、A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與k有關(guān)標準答案：A知識點解析：9、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：10、下列說法正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、標準答案：8知識點解析：12、標準答案：[-2，2]知識點解析：13、標準答案：知識點解析：14、標準答案：知識點解析：15、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)16、判別級數(shù)的斂散性，若收斂求其和．標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、標準答案：知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、判斷級數(shù)的斂散性，若級數(shù)收斂，判斷其是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析37、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、累次積分dθ∫0cosθrf(rcos0，rsinθ)dr等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：積分所對應(yīng)的直角坐標平面的區(qū)域為D：0≤x≤1，0≤y≤，選(D)．2、設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，則sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，選(B)．3、設(shè)，其中D：x2+y2≤a2，則a為()．A、1B、2C、D、標準答案：B知識點解析：解得a=2，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)f(u)連續(xù)，則∫0xdu∫u1vf(u2—v2)dv=_________．標準答案：—xf(x2—1)知識點解析：5、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則=_________．標準答案：8π知識點解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)，則=_________．標準答案：知識點解析：7、設(shè)a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整個平面，則I=f(x)g(y—x)dxdy=_________．標準答案：a2知識點解析：8、設(shè)f(x)=f(y)f(x+y)dxdy=_________．標準答案：知識點解析：在D1={(x，y)｜—∞＜x＜+∞，0≤y≤1)上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，則在D0=D1∩D2={(x，y)｜—y≤x≤1一y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)—y(x+y)，所以．9、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)，f(0)=0，F(xiàn)(t)=[z2+f(x2+y2)]dxdydz，Ωt：x2+y2≤t2，0≤z≤1，則=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、設(shè)f(x，y)=(1)f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)?(2)f(x，y)在點(0，0)處是否可微?標準答案：知識點解析：暫無解析11、設(shè)z=．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)u=u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令標準答案：從而=t(r2cos2θcosφsinφ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(一r2sinφcosφ)=0，故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．證明：標準答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，兩邊對t求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析14、設(shè)z=標準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)u=u(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且．標準答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1，求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)z=z(x，y)滿足標準答案：知識點解析：暫無解析18、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4—x一y)在由x軸、y軸及x+y=6所圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值．標準答案：(1)求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6一x(0≤x≤6)上，z=一2x2(6一x)=2x3一12x2，由=6x2—24x=0得x=4，因為f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一64，所以f(x，y)在L3上最小值為一64，最大值為0．(2)因為AC—B2＞0且A＜0，所以(2，1)為f(x，y)的極大點，極大值為f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值為m=f(4，2)一64，最大值為M=f(z，1)=4．知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)u=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的點(x0，y0，z0)的外法線方向上的方向?qū)?shù)，在球面上怎樣的點使得上述方向?qū)?shù)取最大值與最小值?標準答案：球面x2+y2+z2=1在點(x0，y0，z0)處的外法向量為n={2x0，2y0，2z0}，知識點解析：暫無解析20、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為p1，p2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1=24—0．2p1，q2=10—0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)，問廠家如何確定兩個市場的銷售價格，能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少?標準答案：p1=120—5q1，p2=200—20q2，收入函數(shù)為R=p1q1+p2q2，總利潤函數(shù)為L=R—C=(120—5q1)q1+(200—20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，從而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由實際問題的意義知，當p1=80，p2=120時，廠家獲得的利潤最大，最大利潤為605．知識點解析：暫無解析21、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=｜x—y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0．標準答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．知識點解析：暫無解析22、設(shè)：x=x(t)，y=y(t)(α＜t＜β)是區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線，即x(t)，y(t)在(α，β)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且x’2(t)+y’2(t)≠0，f(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．若P0∈上的極值點，證明：f(x，y)在點P0沿的切線方向的方向?qū)?shù)為零．標準答案：知識點解析：暫無解析23、已知二元函數(shù)f(x，y)滿足=u2+v2，求a，b．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標準答案：由F(t)=∫02πdθrf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr=f(u)du，得F’(t)=2πtf(t2)，F(xiàn)’(0)=0，F(xiàn)"(0)==2πf(0)=2π．知識點解析：暫無解析25、計算二重積分I=標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算．標準答案：知識點解析：暫無解析27、已知f(x，y)=，設(shè)D為由x=0，y=0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求F(t)=f(x，y)dxdy．標準答案：當t＜0時，F(xiàn)(t)=0，知識點解析：暫無解析28、計判，其中D=((x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．標準答案：令D1={x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，D2=((x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤1}，則知識點解析：暫無解析29、計算I=，其中D={(x，y)｜—1≤x≤1，0≤y≤2}．標準答案：令D1={(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2}，知識點解析：暫無解析30、計算．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸的三個交點為x=0，x=1，x=2，當0＜x＜1時，y＜O；當1＜x＜2時，y＞0，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，選(C)．2、雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=g(x)，y=f(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域繞直線y=m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、標準答案：知識點解析：5、標準答案：知識點解析：6、標準答案：知識點解析：7、標準答案：知識點解析：8、標準答案：e-1—1知識點解析：9、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，則=________.標準答案：2知識點解析：三、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)10、標準答案：知識點解析：暫無解析11、標準答案：φ’(x)=一2In(1+cos22x)sin2x—In(1+sin2x)cosx知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，且．證明：(1)若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；(2)若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減．標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、求函數(shù)的最大值與最小值。標準答案：知識點解析：暫無解析32、標準答案：知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)>0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由重要極限結(jié)論，可立即排除B、D。對于A、C選項，只要驗算其中之一即可。對于C選項，因，故C不正確，選A。2、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點。D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)。標準答案：D知識點解析：因為且g(0)=0，所以當a=0時，有=g(0)，此時g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，，此時x=0是g(x)的第一類間斷點。所以g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選D。3、設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳躍間斷點，g’(a)存在，則g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的()A、充分必要條件。B、充分非必要條件。C、必要非充分條件。D、非充分非必要條件。標準答案：A知識點解析：因φ(x)在x=a不可導(dǎo)，所以不能對F(x)用乘積的求導(dǎo)法則，需用定義求F’(a)。題設(shè)φ(x)以x=a為跳躍間斷點，則存在A±，A+≠A-。當g(a)=0時，這表明，g(a)=0時，F(xiàn)’(a)存在F’+(a)=F’-(a)g’(a)(A+-A-)=0g’(a)=0。下面證明若F’(a)存在，則g(a)=0。反證法，若g(a)≠0，φ(x)=，由商的求導(dǎo)法則，φ(x)在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g(a)=0，g’(a)=0是r(x)在x=a處可導(dǎo)的充要條件。故選A。4、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，則下述命題中正確的是()A、若f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對一切x∈(-∞，+∞)，都有f’(x)＞0。B、若f(x)在點x2處取得極值，則f’(x0)=0。C、若f’’(x0)=0，則(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點。D、若f’(x0)=0，f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，則x0一定不是f(x)的極值點。標準答案：D知識點解析：若在(-∞，+∞)上f’(x)＞0，則一定有f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加，但可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加，可能有f’(x)≥0。例如f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調(diào)增加，f’(0)=0。故不選A。f(x)若在x0處取得極值，且f’(x0)存在，則有f’(x0)=0，但當f(x)在x0處取得極值，在x0處不可導(dǎo)，就得不到f’(x0)=0，例如f(x)=｜x｜在x0=0處取得極小值，它在x0=0處不可導(dǎo)，故不選B。如果f(x)在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在，且(x0，f(x0))是曲線的拐點坐標，則f’’(x0)=0，反之不一定，例如f(x)=x4在x0=0處f’’(0)=0，但f(x)在(-∞，+∞)沒有拐點，故不選C。由此選D。5、設(shè)F(x)=，則F(x)()A、為正常數(shù)。B、為負常數(shù)。C、恒為零。D、不為常數(shù)。標準答案：A知識點解析：由F’(x)=esin(x+2π).sin(x+2π)-esinx.sinx=0可知F(x)恒為常數(shù)，則故選A。6、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處()A、兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在。B、兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。標準答案：B知識點解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有由對稱性知fy(0，0)=0，而上式極限不存在。事實上，故f(x，y)在(0，0)點不可微。應(yīng)選B。7、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)｜-a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：將閉區(qū)域D-{(x，y)｜-a≤x≤a，x≤y≤a}按照直線y=-x分成兩部分D3和D2，如圖1-6-2所示，其中D3關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，則在D3和D2上，均有∫∫xydxdy=0。而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D3上積分不為零，在D2上積分為零。因此故選項A正確。8、已知等于()A、3。B、7。C、8。D、9。標準答案：C知識點解析：=2×5-2=8，故選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、已知，則y’=__________。標準答案：知識點解析：等式兩邊取對數(shù)，則有等式兩邊分別對x求導(dǎo)，有整理得10、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為_________。標準答案：y=x-1知識點解析：由題干可知，所求切線的斜率為1。由y’=(lnx)’==1，得x=1，則切點為(1，0)，故所求的切線方程為y-0=1.(x-1)，即y=x-1。11、=______。標準答案：知識點解析：令t=x-1，則12、已知三個向量a，b，c，其中c⊥a，c⊥b，a與b的夾角為，｜a｜=6，｜b｜=｜c｜=3，則(a×b).c=_______。標準答案：±27知識點解析：由題設(shè)可知｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6×3×=9。由于c⊥a，c⊥b，則c∥(a×b)，即c與a×b之間夾角α=0或π。因此，(a×b).c=｜a×b｜｜c｜cosα=9×3×(±1)=±27。13、函數(shù)u=在點A(1，0，1)處沿點A指向點B(3，-2，2)方向的方向?qū)?shù)為_______。標準答案：知識點解析：因為又因為=(2，-2，1)，所以沿方向的單位向量為因此u沿方向在點A(1，0，1)處的方向?qū)?shù)為14、設(shè)Ω由x2+y2+z2≤R2，z≥0所確定，則(x2+2y2+3z2)dv=_______。標準答案：知識點解析：根據(jù)題意，令Ω1：x2+y2+z2≤R2，則有15、設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域Ω={(x，y，z)｜0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，在點(x，y，z)處的密度為p(x，y，z)=x+y+z，則該物體的質(zhì)量為________。標準答案：知識點解析：根據(jù)三重積分的幾何意義可知，該物體的質(zhì)量m就是密度函數(shù)ρ在閉區(qū)間Ω上的三重積分，即16、設(shè)x2=ancosnx(-π≤x≤π)，則a2=_______。標準答案：1知識點解析：f(x)=x2(-π≤x≤π)是以2π為周期的偶函數(shù)，利用傅里葉系數(shù)計算公式，有17、微分方程Y’+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的通解為_________。標準答案：y=e-xsinx知識點解析：原方程的通解為y=e-∫1dx(∫e-xcosx.e∫1dx+C)=e-x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求通解為y=e-xsinx。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、求標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)a為常數(shù)，討論方程ex=ax2的實根個數(shù)。標準答案：當a≤0時，顯然無實根。顯然，由題意知x=0不是原方程的根，以下討論當a＞0時的情形，設(shè)當x＜0時，f’(x)＞0；當0＜x＜2時，f’(x)＜0；當x＞2時，f’(x)＞0。且所以當a＞0時，f(x)在區(qū)間(-∞，0)上有唯一實零點。在區(qū)間(0，+∞)上，當＞a時，f(x)在區(qū)間(0，+∞)上無實數(shù)根；當=a時，f(x)在區(qū)間(0，+∞)上有唯一實數(shù)根；當＜a，時f(2)＜0，而且，所以此時f(x)在(0，+∞)上有兩個實數(shù)根。綜上所述，當a≤0時，f(x)=0無實根；當＞a＞0時，僅當x＜0時，f(x)=0有唯一實根；當=a時，f(x)=0僅有兩個實根，一正一負；當＜a時，f(x)=0恰有三個實根，一負兩正。知識點解析：暫無解析20、計算下列反常積分(廣義積分)的值。標準答案：(Ⅰ)由于x2-2x=(x-1)2-1，可令x-1=sect，則有(Ⅱ)注意，將被積函數(shù)分解并用分部積分法有知識點解析：暫無解析21、某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層。汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而做功。設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k，k＞0)。汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下a米。根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所做的功與前一次擊打時所做的功之比為常數(shù)r(0＜r＜1)。問(Ⅰ)汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深?(Ⅱ)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深?標準答案：(Ⅰ)設(shè)第n次擊打后，樁被打進地下xn米，第n次擊打時，汽錘所做的功為Wn(n=1，2，3，…)。由題設(shè)，當樁被打進地下的深度為x米時，土層對樁的阻力的大小為kx，所以由W2=rW1可得由W3=rW2=r2W1可得即汽錘擊打3次后，可將樁打進地下米。(Ⅱ)由歸納法，設(shè)，則由于Wn+1=rWn=r2Wn-1=…=rnW1，故即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下米。知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(u)(u＞0)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且=16(x2+y2)z，求f(u)。標準答案：令u=，則有由題設(shè)條件得u2f’’(u)+uf’(u)-4f(u)=0，這是歐拉方程，令u=et，方程化為解此二階線性常系數(shù)齊次方程得z=C1e2t+C2e-2t，即f(u)=C1u2+，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析23、已知L是第一象限中從點(0，0)沿圓周x2+y2=2x到點(2，0)，再沿圓周x2+y2=4到點(0，2)的曲線段，計算曲線積分3x2ydx+(x3+x-2y)dy。標準答案：設(shè)圓x2+y2=2x為圓C1，圓x2+y2=4為圓C2，補線利用格林公式即可。設(shè)所補線段L1為x=0(y：2→0)，應(yīng)用格林公式得：知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。(Ⅰ)討論F(t)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的單調(diào)性；(Ⅱ)證明當t＞0時，F(xiàn)(t)＞標準答案：(Ⅰ)因為在(0，+∞)上F’(t)＞0，故F(t)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加。(Ⅱ)由于要證明t＞0時F(t)＞，只需證明t＞0時，F(xiàn)(t)-＞0，即故g(t)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加。因為g(t)在t=0處連續(xù)，所以當t＞0時，有g(shù)(t)＞g(0)=0。因此，當t＞0時，F(xiàn)(t)＞知識點解析：暫無解析25、將F(x)=展開成x的冪級數(shù)。標準答案：當x≠0時，由冪級數(shù)的連續(xù)性，有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列各選項正確的是A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析2、設(shè)(n=1，2，…)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析3、若級數(shù)都發(fā)散，則A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析4、若an與bn符合條件()，則可由發(fā)散推出發(fā)散．A、an≤bnB、an≤｜bn｜C、｜an｜≤｜bn｜D、｜an｜≤bn標準答案：D知識點解析：暫無解析5、若級數(shù)在x=一1收斂，則此級數(shù)在x=2處A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、收斂性不能確定．標準答案：B知識點解析：暫無解析6、設(shè)α為常數(shù)，則級數(shù)A、絕對收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂性與α有關(guān)．標準答案：B知識點解析：暫無解析7、設(shè)λ＞0，則是A、發(fā)散．B、絕對收斂．C、條件收斂．D、斂散性與λ有關(guān)．標準答案：B知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、=__________標準答案：4知識點解析：暫無解析9、冪級數(shù)的收斂域是__________．標準答案：[一1，1)知識點解析：暫無解析10、級數(shù)的收斂域為__________．標準答案：(0，4)知識點解析：暫無解析11、設(shè)，若，則該冪級數(shù)的收斂半徑等于__________．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)冪級數(shù)在x=3條件收斂，則該冪級數(shù)收斂半徑為__________．標準答案：4知識點解析：暫無解析13、設(shè)冪級數(shù)在x=2條件收斂，則冪級數(shù)的收斂域為__________．標準答案：知識點解析：暫無解析14、若冪級數(shù)的收斂域為(一∞，+∞)，則a應(yīng)滿足__________．標準答案：0＜a＜1知識點解析：暫無解析15、設(shè)則S(一5)=__________．標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)16、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：收斂知識點解析：暫無解析17、討論級數(shù)的斂散性．標準答案：收斂知識點解析：暫無解析18、判定的斂散性．標準答案：當a=1時發(fā)散，其余都收斂．知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：當0＜q＜e時收斂，當e≤q時發(fā)散．知識點解析：暫無解析20、研究級數(shù)(α＞一1)的斂散性．標準答案：當一1＜a≤0時發(fā)散，當a＞0時收斂。知識點解析：暫無解析21、討論的斂散性．標準答案：收斂．知識點解析：暫無解析22、試研究級數(shù)(α＞0)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散?標準答案：當a＞1時絕對收斂；當0＜a≤1時條件收斂．知識點解析：暫無解析23、若都收斂，且an≤bn≤cn(n=1，2，…)，試證收斂．標準答案：利用：0≤cn一bn≤(cn一an)知識點解析：暫無解析24、設(shè)級數(shù)收斂，絕對收斂，試證絕對收斂．標準答案：=an一a0，由收斂知，｜an｜≤M，從而有｜anbn｜≤M｜bn｜知識點解析：暫無解析25、若級數(shù)絕對收斂，試證絕對收斂，收斂．標準答案：由絕對收斂知，n充分大時有an2≤｜an｜知識點解析：暫無解析試求下列冪級數(shù)的收斂域：26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：｜x｜＜max(a，b)知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標準答案：收斂-1＜x＜1；和函數(shù)知識點解析：暫無解析30、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析31、求級數(shù)的和．標準答案：10知識點解析：暫無解析將下列函數(shù)展開為x的冪級數(shù)．32、標準答案：知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、f(x)=ln(1+x+x2+x3)標準答案：知識點解析：暫無解析35、將f(x)=ln(3x—x2)在x=1處展開為冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析36、試求極限(a＞1)標準答案：知識點解析：暫無解析37、將展開為傅里葉級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析38、將f(x)=x2在[一π，π]上展開成傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和．標準答案：知識點解析：暫無解析39、設(shè)求極限標準答案：知識點解析：暫無解析40、設(shè)．a(chǎn)n=1，試研究級數(shù)的斂數(shù)性．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則()A、f(x)在點x=1處連續(xù)，在點x=-1處間斷。B、f(x)在點x=1處間斷，在點x=-1處連續(xù)。C、f(x)在點x=1，x=-1處都連續(xù)。D、f(x)在點x=1，x=-1處都間斷。標準答案：B知識點解析：因為所以f(x)在x=1處間斷。所以f(x)在x=-1處連續(xù)。故選B。2、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0。則φ(x)在x=0處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)但φ’(x)在x=0處不連續(xù)。D、可導(dǎo)且φ’(x)在x=0處連續(xù)。標準答案：D知識點解析：因為所以φ(x)在x=0處連續(xù)。故φ’(x)在x=0連續(xù)。故選D。3、設(shè)在閉區(qū)間[0，4]上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1-2-1所示，則f(x)()A、在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的。B、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的。標準答案：B知識點解析：當x∈(0，1)或(3，4)時，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降。當x∈(1，3)時f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]單調(diào)上升。又f’(x)在[0，2]單調(diào)上升，那么f(x)在[0，2]是凹的。f’(x)在[2，4]單調(diào)下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故選B。4、曲線()A、既有垂直又有水平與斜漸近線。B、僅有垂直漸近線。C、只有垂直與水平漸近線。D、只有垂直與斜漸近線。標準答案：A知識點解析：函數(shù)y的定義域為(-∞，-3)∪[0，+∞)，且只有間斷點x=-3，又=+∞，所以x=-3是曲線的垂直漸近線。x≥0時，因此是曲線的斜漸近線(x→-∞)。故選A。5、函數(shù)f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在點(0，1，1)處方向?qū)?shù)的最大值為()A、B、C、117。D、107。標準答案：B知識點解析：函數(shù)f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在點(0，1，1)處方向?qū)?shù)的最大值等于f(x，y，z)在點(0，1，1)處梯度向量的模。故選B。6、設(shè)g(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，g(0)=0，g’(0)=a≠0，f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由積分中值定理知其中(ξ，η)為圓域x2+y2≤r2上的一個點，則=f(0，0)，而7、設(shè)pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：若絕對收斂，即收斂，則由級數(shù)絕對收斂的性質(zhì)知收斂。而pn=，再由收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，都收斂，故選B。8、方程y’’-3y’+2y=ex+1+exeos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。標準答案：D知識點解析：齊次方程y’’-3y’+2y=0的特征方程為r2-3r+2=0，特征根為r1=1，r2=2，則方程y’’-3y’+2y=ex+1+excos2x的待定特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)9、數(shù)列=______。標準答案：知識點解析：當n→∞時，10、已知y=x2sin2x，則y(50)=_______。標準答案：250(-x2sin2x+50xcos2x+sin2x)知識點解析：易知(sin2x)(n)=2nsin(2x+)成立，利用萊布尼茨公式：11、=________。標準答案：知識點解析：12、拋物線y2=2px，從原點到這條曲線上的一點M(x，y)的弧長s=_______。標準答案：知識點解析：不妨設(shè)p＞0，y＞0，則13、設(shè)函數(shù)u(x，y，z)==______。標準答案：知識點解析：，于是所求方向?qū)?shù)為14、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(1，1)處的全微分dz｜(1,1)=_____。標準答案：4(dx+dy)知識點解析：dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。15、將化為極坐標下的二次積分為______。標準答案：知識點解析：如圖1-6-5所示，則有16、設(shè)∑為錐面z=介于z=0和z=1之間的部分，則(x2+y2+z2)dS=_____。標準答案：知識點解析：易知，dS=。區(qū)域D為0≤θ＜2π，0≤p≤1，則有17、冪級數(shù)n(x-1)n的和函數(shù)為_______。標準答案：知識點解析：令原級數(shù)中的x-1=t，則x=t+1，級數(shù)化為，因為所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(-1，1)，即級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(0，2)。當x=0和x=2時，原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)收斂域為(0，2)。設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為s(x)，即對從1到x逐項積分，可得在上式兩端對x求導(dǎo)，可得故有18、微分方程yy’’+y’2=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=的通解為________。標準答案：知識點解析：由yy’’+(y’)2=0得(yy’)’=0，即yy’=C。由y(0)=1，y’(0)=，故再由y(0)=1，得C1=三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)19、設(shè)f(x)為[-a，a]上的連續(xù)偶函數(shù)，且f(x)＞0，令F(x)=(Ⅰ)證明F’(x)單調(diào)增加；(Ⅱ)當x取何值時，F(xiàn)(x)取最小值；(Ⅲ)當F(x)的最小值為f(a)-a2-1時，求函數(shù)f(x)。標準答案：(Ⅰ)所以F’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)單調(diào)增加。(Ⅱ)因為F’(0)=且f(x)為偶函數(shù)，所以F’(0)=0，又因為F’’(0)＞0，所以x=0為F(x)的唯一極小值點，也為最小值點。(Ⅲ)由=f(a)-a2-1，兩邊求導(dǎo)得2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)-2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe-∫2xdxdx+C]e-∫-2xdx=