第24講 衛(wèi)星變軌問題 雙星模型（講義）（解析版）

第24講衛(wèi)星變軌問題雙星模型目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點一衛(wèi)星的變軌問題【夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理】知識點1兩類變軌的起因知識點2變軌前后各運行物理參量的比較【提升·必考題型歸納】考向變軌前后各運行物理參量的比較考點二天體追及相遇問題【夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理】知識點天體追及相遇問題基本規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向天體追及相遇問題基本規(guī)律的應(yīng)用考點三雙星和多星問題【夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理】知識點1雙星模型知識點2多星模型【提升·必考題型歸納】考向1雙星模型考向2多星模型真題感悟掌握衛(wèi)星變軌問題和追及相遇問題的基本規(guī)律。掌握雙星模型和多星模型的基本規(guī)律?？键c要求考題統(tǒng)計考情分析（1）衛(wèi)星變軌問題（2）天體的追及相遇問題（3）雙星模型和多星模型2023年湖北卷第2題2022年浙江卷第8題2021年天津卷第5題高考對這不內(nèi)容的考查比較頻繁，多以選擇題的形式出現(xiàn)，題目的背景材料多為我國在航天領(lǐng)域取得的成就，比如神州飛船、天宮軌道艙等?？键c一衛(wèi)星的變軌問題知識點1兩類變軌的起因兩類變軌離心運動近心運動示意圖變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小萬有引力與向心力的大小關(guān)系GMmr2GMmr2知識點2變軌前后各運行物理參量的比較（1）速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。（2）加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。（3）周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。（4）機(jī)械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒。若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，則E1<E2<E3。①在A點，由圓周Ⅰ變至橢圓Ⅱ時，發(fā)動機(jī)向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機(jī)械能增加；②在B點，由橢圓Ⅱ變至圓周Ⅲ時，發(fā)動機(jī)向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機(jī)械能增加；反之也有相應(yīng)的規(guī)律?？枷蜃冘壡昂蟾鬟\行物理參量的比較1．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙成功對接，對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ；神舟十二號飛船處于半徑為的圓軌道Ⅰ，當(dāng)經(jīng)過點時，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到處與核心艙對接，則神舟十二號飛船（）A．沿軌道Ⅰ運行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運行的速度B．在軌道Ⅰ上運行的周期大于在軌道Ⅱ上運行的周期C．神舟十二號飛船在飛向核心艙的過程中，引力勢能增大，動能減小，機(jī)械能守恒D．在軌道Ⅰ上運動經(jīng)過點的加速度小于在軌道Ⅱ上運動經(jīng)過點的加速度【答案】C【詳解】A．由萬有引力提供向心力有得可知，運行速度大小與環(huán)繞物體的質(zhì)量無關(guān)，r越小，運行速度越大，高軌低速，即：沿軌道Ⅰ運行的速度大于沿軌道Ⅲ運行的速度，故A錯誤；B．由開普勒第三定律可知，高軌長周期，在軌道Ⅰ上運行的周期小于在軌道Ⅱ上運行的周期，故B錯誤；C．在神舟十二號飛向核心艙的過程中，在橢圓軌道上只受引力作用，萬有引力做負(fù)功,引力勢能增大，動能減小，機(jī)械能守恒，故C正確；D．由萬有引力提供向心力有得可知與地球距離相等的位置，加速度大小相同，故D錯誤。故選C。2．2021年5月15日，我國“天問一號”探測器成功在火星表面著陸。若某探測器登陸火星前先后沿圖示圓軌道I、橢圓軌道II、圓軌道II運行，B為軌道II的近火點。假設(shè)探測器的質(zhì)量不變，則探測器（）

A．在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期B．在軌道II上運行的向心加速度小于在軌道I上運行的向心加速度C．在軌道II上的動能總是大于在軌道III上的動能D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速【答案】AD【詳解】A．根據(jù)開普勒第三定律可知探測器在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期，故A正確；B．根據(jù)萬有引力提供向心力有解得所以在軌道II上運行的向心加速度大于在軌道I上運行的向心加速度，且在A點的向心加速度相等，故B錯誤；C．探測器在軌道II上的A點加速進(jìn)入軌道I，根據(jù)萬有引力提供向心力有解得可知探測器在軌道I的速度小于III的速度，進(jìn)而可知在軌道II上A點的動能小于在軌道III上的動能，故C錯誤；D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速，故D正確。故選AD?？键c二天體追及相遇問題知識點天體追及相遇問題基本規(guī)律繞同一中心天體，在同一軌道平面內(nèi)不同高度上同向運行的衛(wèi)星，因運行周期的不同，兩顆衛(wèi)星有時相距最近，有時又相距最遠(yuǎn)，這就是天體中的“追及相遇”問題。相距最遠(yuǎn)當(dāng)兩衛(wèi)星位于和中心天體連線的半徑上兩側(cè)時，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，從運動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運動關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)相距最近兩衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側(cè)時，兩衛(wèi)星相距最近，從運動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運動關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)考向天體追及相遇問題基本規(guī)律的應(yīng)用1．我國的北斗三號衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星共30顆衛(wèi)星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛(wèi)星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛(wèi)星，繞行方向均與地球自轉(zhuǎn)方向一致。已知地球自轉(zhuǎn)周期為，衛(wèi)星B的運行周期為，圖示時刻，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B相距最近。下列說法正確的是（）

A．衛(wèi)星A、B、C的向心加速度的大小關(guān)系為B．衛(wèi)星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛(wèi)星AC．經(jīng)過時間，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近D．衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度小于第一宇宙速度【答案】AC【詳解】A．根據(jù)得如圖可知，A正確；B．衛(wèi)星C向后噴氣加速做離心運動，不能追上同軌道的A，B錯誤；C．根據(jù)衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近的時間間隔為，C正確；D．第一宇宙速度是最小發(fā)射速度，則衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，D錯誤；故選AC。2．地球的兩顆衛(wèi)星繞地球在同一平面內(nèi)做勻速圓周運動，環(huán)繞方向如圖所示。已知衛(wèi)星一運行的周期為，地球的半徑為，衛(wèi)星一和衛(wèi)星二到地球中心的距離分別為，，引力常量為G，某時刻兩衛(wèi)星與地心連線之間的夾角為，下列說法正確的是（）

A．衛(wèi)星二的機(jī)械能一定大于衛(wèi)星一的機(jī)械能B．地球的質(zhì)量C．衛(wèi)星二圍繞地球做圓周運動的周期D．從圖示時刻開始，經(jīng)過時間兩衛(wèi)星第一次相距最近【答案】D【詳解】A．因為未知兩衛(wèi)星的質(zhì)量，所以無法比較它們機(jī)械能的大小，A錯誤；B．對衛(wèi)星一由牛頓第二定律解得地球質(zhì)量為故B錯誤；C．由開普勒第三定律可得衛(wèi)星二圍繞地球做圓周運動的周期故C錯誤；D．兩衛(wèi)星共線且在同一側(cè)時相距最近，設(shè)經(jīng)過t時間，兩衛(wèi)星第一次相距最近解得故D正確。故選D?？键c三雙星和多星問題知識點1雙星模型(1)模型構(gòu)建：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。(2)特點：①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。知識點2多星模型(1)模型構(gòu)建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。(3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)?？枷?雙星模型1．如圖1所示，河外星系中兩黑洞A、B的質(zhì)量分別為和，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，簡化為如圖2所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，。下列說法正確的是（）

A．黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質(zhì)移到黑洞A上，他們之間的引力變大C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質(zhì)移到黑洞B上，他們運行的周期變大D．人類要把宇航器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進(jìn)行探索，發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度【答案】BD【詳解】A.黑洞A、B運行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度更大，A錯誤；B.設(shè)它們相距為L，角速度為ω，根據(jù)牛頓第二定律得；可得則當(dāng)B的質(zhì)量減小，A的質(zhì)量增加時，兩個質(zhì)量的乘積變大，故它們的引力變大，B正確；C.根據(jù)；整理得根據(jù)可知角速度不變，周期不變，C錯誤；D.人類要把航天器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進(jìn)行探索，必須沖出太陽系，所以發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度，D正確。故選BD。2．中國天眼FAST已發(fā)現(xiàn)約500顆脈沖星，成為世界上發(fā)現(xiàn)脈沖星效率最高的設(shè)備，如在球狀星團(tuán)M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖是相距為L的A、B星球構(gòu)成的雙星系統(tǒng)繞O點做勻速圓周運動情景，其運動周期為T。C為B的衛(wèi)星，繞B做勻速圓周運動的軌道半徑為R，周期也為T，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于C與B之間的引力。引力常量為G，則（）A．A、B的軌道半徑之比為 B．C的質(zhì)量為C．B的質(zhì)量為 D．A的質(zhì)量為【答案】D【詳解】B．C繞B做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，有解得故不能求出C的質(zhì)量，故B錯誤；C．雙星系統(tǒng)在萬有引力作用下繞O點做勻速圓周運動，對A研究對B研究解得雙星的總質(zhì)量故C錯誤；D．A的質(zhì)量故D正確；A．A、B的軌道半徑之比為故A錯誤。故選D?？枷?多星模型3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，三星質(zhì)量也相同?，F(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設(shè)兩種系統(tǒng)中三個星體的質(zhì)量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖中標(biāo)出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（）A．直線形三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的線速度大小為B．直線形三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的角速度為D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的加速度大小為【答案】D【詳解】A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據(jù)星體受到另兩個星體的引力作用可得星體做圓周運動的線速度大小為故A錯誤；B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據(jù)星體受到另兩個星體的引力作用可得解得星體做圓周運動的周期為故B錯誤；C．根據(jù)幾何關(guān)系可得：三角形三星系統(tǒng)中星體受另外兩個星體的引力作用，圓周運動的軌道半徑為由萬有引力提供向心力得解得三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的角速度為故C錯誤；D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的加速度大小為故D正確。故選D。4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G。則下列說法正確的是（）A．星體做勻速圓周運動的軌道半徑為B．若實驗觀測得到星體的半徑為R，則星體表面的重力加速度為C．星體做勻速圓周運動的周期為D．每個星體做勻速圓周運動的向心力大小為【答案】ABC【詳解】A．根據(jù)題意可知四星系統(tǒng)模型如下所示，四邊形頂點到對角線交點O的距離即為星體做圓周運動的半徑r，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得故A正確；B．物體在星體表面所受的重力等于星體對其施加的萬有引力，設(shè)物體質(zhì)量為，根據(jù)萬有引力定律有解得故B正確；CD．根據(jù)題意可知，任意一個星體都受到其他三個星體的引力作用，根據(jù)對稱性可知每個星體所受引力合力大小相等，且指向?qū)蔷€的交點O。對上圖模型中右上角星體分析受力，可知其所受萬有引力合力大小為星體做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有聯(lián)立兩式可得故C正確，D錯誤。故選ABC。1．（2023年湖北高考真題）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出（

）

A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為B．當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時，兩者的相對速度最大C．火星與地球表面的自由落體