全稱量詞與存在量詞 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.5全稱量詞與存在量詞

下列語句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)x>3;(2)2x+1是整數(shù);(3)對所有的x∈R,x>3；

(4)對任意一個x∈Z,2x+1是整數(shù).新課講授短語“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等在邏輯中通常叫做全稱量詞,用符號“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.

通常,將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示,即x∈M.則全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”可用符號簡記為:讀作:“對任意x屬于M,有p(x)成立”.新課講授注意:

全稱量詞命題表明給定范圍內(nèi)所有對象x都具備某一性質(zhì)p(x),無一例外.例1判斷下列全稱量詞命題的真假：

(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

(2)?x∈R,|x|

＋1≥1;(3)對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù).小結(jié):(1)判斷全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題需要對集合M中所有元素x,驗(yàn)證p(x)成立;(2)判斷全稱命題“?x∈M,p(x)”是假命題只需在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立(即舉反例)即可.新課講授完成教材P28面練習(xí)1.

下列語句是命題嗎?比較(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x＋1＝3;(2)x能被2和3整除;(3)存在一個x∈R,使2x

+1=3;

(4)

至少有一個x∈Z,x

能被2和3整除.

短語“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某個”“有的”等在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“”表示.新課講授含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題

.

存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符號簡記為:讀作:“存在元素x屬于M,使p(x)成立”.新課講授注意:

存在量詞命題表明給定范圍內(nèi)只有部分對象x具有某一性質(zhì)p(x),其他對象不一定具有這一性質(zhì)(即有例外).例2判斷下列存在量詞命題的真假.(1)有一個實(shí)數(shù)x,使x2＋2x＋3＝0;(2)平面內(nèi)存在兩個相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.小結(jié):(1)判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題只需在集合M中找到一個元素x,使得p(x)成立(舉一例證明)即可;(2)判斷存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是假命題需要證明集合M中使p(x)成立的元素x不存在.完成教材P28面練習(xí)2.例題分析寫出下列命題的否定.(1)所有的矩形都是平行四邊形;(2)每一個素?cái)?shù)都是奇數(shù);(3)?x∈R,x＋|x|≥0;它們與原命題在形式上有什么變化?含有一個量詞的命題的否定

一般地,對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即:全稱量詞命題：

?x∈M,p(x);全稱量詞命題的否定：?x∈M,?p(x);例3寫出下列全稱量詞命題的否定.(1)所有能被3整除的數(shù)都是奇數(shù);(2)每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上;(3)

對任意x∈Z,x2的個位數(shù)不等于3.例題分析全稱量詞命題：

?x∈M,p(x);全稱量詞命題的否定：?x∈M,?p(x);寫出下列命題的否定.(1)存在一個實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù);(2)有些平行四邊形是菱形;它們與原命題在形式上有什么變化?含有一個量詞的命題的否定

一般地,對于含有一個量詞的存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,即:存在量詞命題：

?x∈M,p(x);存在量詞命題的否定：

?x∈M,?p(x);例4寫出下列存在量詞命題的否定.(1)?x∈R,x

+2≤0;(2)有的三角形是等邊三角形;(3)

有一個偶數(shù)是素?cái)?shù).例題分析存在量詞命題：

?x∈M,p(x);存在量詞命題的否定：

?x∈M,?p(x);例5寫出下列命題的否定,并判斷真假:(1)任意兩個等邊三角形都相似;(2)?x∈R,x2－x＋1=0.例題分析完成教材P31面練習(xí)1,2一個命題和它的否定不能同時為真命題,也不能同時為假命題,只能一真一假.常見詞語的否定詞語詞語的否定等于不等于大于不大于(≤)小于不小于(≥)是不是都是不都是(與“都不是”區(qū)別開)至多一個至少兩個至少一個一個也沒有任意某個所有的某些例題選講例6已知命題“?

x∈R,

函數(shù)

y＝x2＋x＋a的圖象和

x軸至多有一個公共點(diǎn)”是假命題,求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.解法一：由補(bǔ)集的思想;練習(xí):已知命題

p:“?x∈R,ax2＋2x＋1≠0”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由題意,p的否定

?

x∈R,ax2＋2x＋1＝0為真命題,等價于方程

ax2＋2x＋1＝0在R上有解,則a＝0或

a≤1且a≠0.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

{a|a≤1}.例題選講命題命題的表述全稱量詞命題p?x∈M,p(x)全稱量詞命題