高等代數(shù)研究生入學(xué)考試試題-按學(xué)校分類(一)

高等學(xué)校攻讀碩士學(xué)位

研究生入學(xué)考試高等代數(shù)試題集錦

陳德華編

嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院

二00九年七月

目錄

bjsfdx北京師范大學(xué)(2003,2004)

gxdx廣西大學(xué)(2004,2005,2006,)

gxsfdx廣西師范大學(xué)(2003,2004,2005,)

gzdx廣州大學(xué)(2003,2004,2005,)

hebgydx哈爾濱工業(yè)大學(xué)(2009,)

hnlgdx華南理工大學(xué)(2005,2006,2009,)

hnsfdx華南師范大學(xué)(2002,2003,2007,)

hnsfdx湖南師范大學(xué)(2000,2001,2002,)

hzkjdx華中科技大學(xué)(2004,)

hzsfdx華中師范大學(xué)(2006,)

kmlgdx昆明理工大學(xué)(2008,)

Izdx蘭州大學(xué)(2002,)

nkdx南開大學(xué)(2003,2005,2006)

stdx汕頭大學(xué)(1998,1999,2000,2002,2003,2004,2005,)

sxdx三峽大學(xué)(2006,)

sxsfdx陜西師范大學(xué)(2005,)

szdx深圳大學(xué)(2004,)

xadzkjdx西安電子科技大學(xué)(2001,)

xbdx西北工業(yè)大學(xué)(1999(1),1999(2),2000(1),2000(2),2004,)

xmdx廈門大學(xué)(2004,)

xndx西南大學(xué)(2006,)

zgkxy中國科學(xué)院(1996,1997,2003)

2

北京師范大學(xué)

2003年

1.(1)計算排列87162534的逆序數(shù)，并依次寫出將上述排列變成12345678

的所有對換。

(2)設(shè)〃個數(shù)碼的排列…I；-,/；的逆序數(shù)是3那么排列…曲的逆

序數(shù)是多少？請說明理由。

2.設(shè)

(A10.-001

021-?00

002.-00

J?w=

000.-21

1°00??0

是數(shù)域F上的一個"階若當塊，試寫出與O可交換的域F上的全體〃階矩陣。

3.一個大于1的整數(shù)若其因子只有1和本身，則稱之為素數(shù)。證明p是素

數(shù)當且僅當任取正整數(shù)a,6,若pl時，則pla或pl。。

4.已知

axax

ft-ecosbx,f2=esinbx,f3=xe"cosbx

2ax2ax

f4=xe"*sinbx,人=gxecosbx,f6-xesinhx

是六個實函數(shù)，它們生成的子空間記作V。說明維商。是V上的一個線性變換，

并求。在基九力，力///下的矩陣。

5.設(shè)域產(chǎn)上的〃維線性空間V的一個線性變換b在基底%,a?，…,??下的矩

陣為

10???00

~a201???00

A=

~an-\00???01

<~an00???00

3

(1)求b的特征多項式；

(2)〃維向量空間V有循環(huán)基底嗎？若有，試求之；

(3)求b的極小多項式并說明理由。

6.設(shè)歹是一個數(shù)域，4是尸上的未定元，二階力-矩陣

%。)。|2(幾)

AQ)=

的。)“22(')

其中囪G丹福,14i,jW2,網(wǎng)幻是域產(chǎn)上的一元多項式環(huán)。運用帶余除法證明

42)可通過行與列三種初等變換(其中第三種變換允許將某行(列)乘以網(wǎng)眼中

的多項式加到另一行(列)上)化為

的形式，且平⑷匕⑷。

2004年

1.試用〃元初等對稱多項式￡王…X,,攵=1,2,…，〃表述下列多項式

/*1*k

2

(1)n=2,(X]-x2)；

(2)Z小2,此處Z表示對腳標進行所有可能的〃元置換后對不同的項求

2?:。

2.設(shè)變換a:*一史定義為

(1)證明。是一個線性變換;

(2)求出b在下述基底下的矩陣:

0

0

4

(3)求出。在下述基底下的矩陣：

T|(1]⑼

a.=],a,=-1,a,=1

(4)寫出從a1,必，%到勺勺，色的過渡矩陣。

3.已知線性方程組

%)+x2=a]

x+x=a

<342

X|+%3=瓦

x2+x4=b2

(1)求出系數(shù)矩陣的秩；

(2)給出方程組有解的充分必要條件。

4.令實二次型。(和%…,％)=XAX,其中A=A=(叫*“,X=(x.2…/

設(shè)4與々分別是A的最大與最小特征值。則對任意的八個實數(shù)

匕\，》2,…，,均有

4(仇~+%2---也2(4)2,?也)A(8仇…%")2+匕2~----1"仇「)

5.令V是一個〃維歐氏空間，藥,g2,…,a”是V的一個標準正交基，b是丫的

一個線性變換，A=(與),*“是b關(guān)于這個基的矩陣，證明

%=<crQ),%>,i,J=1,2,…，兒

6.設(shè)o?是〃維向量空間V的一個線性變換，p(x)=(x-2y(x-〃),是。的極

小多項式，此處4和〃是不同的復(fù)數(shù)。令

rrr

VA=ker(cr-2)={aeV\(a-A.)a=0},匕,=ker(cr-//)={aeV\(cr-〃)'a=0}

證明：(1)匕和V"都是。的不變子空間；

(2)丫=匕十匕,；

(3)內(nèi)心的極小多項式是。-/1丫，bl-的極小多項式是(x-〃)'。

2vP

5

廣西大學(xué)

2004年

1.計算行列式

xxa2a3???afJ

axx2a3???an

D?=/Q,Xy,?,Q“

%a2a3…

其中，巧w=1,2,…。

2.已知8是一個非零矩陣，且3的每一個列向量都是方程組

X]+2X2-2X3-0

<2x,-x2+2X3=0

3》|+x2-x3=0

的解。（1）求力的值；（2）證明I31=0。

3.設(shè)q,%,…,凡是兩兩互異的整數(shù)，試證明多項式

/(x)=(x-?!)(x-a2)?-?(%-a,,)-1

在有理數(shù)域上不可約。

4.設(shè)A,5是〃x〃矩陣，且A?=爐=E（E是〃級單位矩陣），IAI+1B1=0,

證明A+8不是可逆矩陣。

5.設(shè)V是一個〃維歐氏空間，a*0是V中一個固定的向量，證明

（1）匕=楂1（1團=04€^｝是丫的一個線性子空間；

(2)dim%="-1。

6.設(shè)4為〃級實對稱矩陣，A2=A,A的秩等于*0＜廠4〃）。

（1）證明存在正交矩陣T,使

E0、

T''ATr

O0,

其中已是尸級單位矩陣;

6

(2)計算IA-2紇2

7.設(shè)為兩個〃x〃矩陣，A的"個特征值兩兩互異，若A的特征向量恒

為8的特征向量，證明AB=BA。

8.證明數(shù)域F上的〃維線性空間V的任一子空間都是某一線性變換的核。

9.設(shè)V是數(shù)域尸上的〃維線性空間，。是V的線性變換，匕,匕是V的兩個

非平凡子空間，且丫=匕十匕，試證明。是可逆線性變換的充要條件是

V=叩”(7"2)。

2005年

1.計算行列式

a0-10???00

a1x一1???00

D“=

a〃_200**,x—1

%00...0x

2.已知矩陣

31-1](21、

A=002,8=-10

1T2)131,

\

矩陣X滿足AX+8=2X,求)(0

3.當a,b為何值時，線性方程組

axx+x2+x3=4

<+bx2+/=3

%1+2bx2+x3=4

有唯一解，無解，有無窮多組解？在有無窮多組解時求其全部解。

4.設(shè)有s個〃維向量%=…,。加)(1KiKs4，其分量滿足

證明這S個向量線性無關(guān)。

7

5.設(shè)叱,%是〃維線性空間丫的兩個子空間，證明

(1)若％,叫均是V的兩個非平凡子空間，則存在aeV,使名定嗎,電史卬2

同時成立。

(2)若dim(W1+%)=dim(嗎c%)+l，則嗎=%或%=%。

6.設(shè)

={(Xpx2,-?■,%?)ePTk/i+k2x2+???+knxn=0,k；eP,i=1,2,…,〃}

V2={(xl,x2,---,xn)eP"Ixj=x2=???=%?)

證明，若匕+&+…+匕,/0，則F=匕十匕。

7.設(shè)/(x)=d(x)j\(x),g(x)=d(x)g](x),且/(x)與g(x)不全為零,證明d(x)

是/(x),g(x)的一個最大公因式的充分必要條件是(/(x),g(x))=1o

8.設(shè)4,8都是〃階實對稱矩陣，證明

(1)若A,3都是正定矩陣且A8=8A,則A3是正定矩陣；

(2)如果A-B與B-A均為半正定矩陣，則4=B。

9.設(shè)叱，%是〃維線性空間V的兩個子空間，且其維數(shù)之和為〃，證明存在

V的線性變換。，使Kercr=W「b(V)=%。

2006年

1.設(shè)a于b,證明(了一〃)(％-。)"(工)當且僅當/(〃)=/0)=0。

2.設(shè)A為4階方陣且IA1=6,4=(?！?，%，%)，求

I%-2a2+a\，4%，3%,2%?。

3.設(shè)4為〃階方陣，%,%,%是〃維列向量且％。0，

Aa2=%+02，A%=a?+%，試證明a1,%,火線性無關(guān)。

4.設(shè)A為〃階方陣，證明秩(4〃)=秩(A"?。

5.求齊次線性方程組

8

Xj-x3+x5=0

x-x=0

V24

Xj-x2+x5=0

再一區(qū)4+=0

的解空間的一組標準正交基。

6.若出“*”=&，則稱々曲是A,“x”的一個左逆，證明

(1)A,,*“有左逆的充要條件是Amxn的列向量線性無關(guān)；

(2)A,“*"的左逆唯一當且僅當人…可逆。

7.設(shè)為”階方陣，且存在可逆陣尸使8=尸"尸，證明

(1)A,8有相同的特征值；

(2)A,8相同的特征值的特征子空間的維數(shù)相等。

8.設(shè)丫為〃維線性空間，。是V上的線性變換，證明o■是數(shù)乘變換充要條

件是丫中每個一維子空間都是。-子空間。

9.設(shè)A為實滿秩方陣，求證

(1)AA'正定；

(2)存在正交陣P,。使「"。二力穌區(qū)人,…其中4>0』=1,2廠,〃。

10.設(shè)A為〃階方陣，則存在與對角矩陣相似的矩陣8與幕零矩陣。使

A=8+C且8C=CB。

9

廣西師范大學(xué)

2003年

1.計算題

1)求〃階行列式2的值

Xyy…y

ZXy...y

2=ZZX…y

ZZ…X

’1-1-1、

2)令尸表示數(shù)域F上三元列空間，取A=113設(shè)。是尸的一個

J37,

線性變換，對任意ae尸)有cr(a)=Aa,求Ker(cr),Im(cr)及它們的維數(shù)。

3)設(shè)矩陣A=5b3，又IAl=-1,A*有一個特征值4,且屬于“

、l-c0-a,

’-1、

的一個特征向量為-1，求a,"。,乙的值。

、1>

2.下列命題是否正確？肯定的給予證明，否定的給出反例。

1)設(shè)4,6,C是三個〃x〃矩陣，若CR。，且AC=8C,則A=8；

2)若〃階行列式0=0,則。中一定有一行是其余各行的線性組合；

3)若歐氏空間中的向量構(gòu)成一個正交組，則%,。2,…’%一定線

性無關(guān)；

4)用正交變換方法將一個實二次型/(七,/，…，Z)化為標準型，此標準型是

唯一的。

3.設(shè)/(x),g(x)是有理數(shù)域上的多項式，已知/(x)不可約且/(x)的一個根

(在復(fù)數(shù)域內(nèi)的根)也是g(x)的根，證明/(X)的所有根都是g(x)的根。

10

4.設(shè)在實平面上有三條不同的直線

6:〃x+Z?y+c=0,4：0x+c>+〃=°，/3:cx+ay+b=0

證明它們相交于一點的充要條件是a+b+c=O。

5.設(shè)b是向量空間丫的線性變換，且/=/,但。不是恒等變換,。令

U={v€VIcr(v)=v],W={veVIcr(v)=-v}

證明都是V的子空間，且v=u十w。

6.證明每個循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加群Z的一個商群。

7.假定“WG,NVG,令HN={hn\heH,nwN],證明“N4G。

8.證明整數(shù)環(huán)Z的一個理想/是最大理想當且僅當/是由一個素數(shù)生成的。

9.設(shè)/和/是環(huán)R的兩個理想，且/三1,令，={a+/lae/},證明,

是%的理想且//=%。

2004年

1.填空題

1）若（x—l）2整除4/+艮，+1,則4=,B=；

‘101、

2）已知A=020及A2S-A-8=E（E為單位矩陣），則

「201,

IBI=；

3）設(shè)%,%，是線性方程組AX=6的3個解向量，bwO,秩A=2,又

’0、

00

0

則AX=b的通解為o

4）若向量組％,4中的每個向量都可以由它的一個部分向量組

%,%2,唯一地線性表示，那么向量組即％，%的秩是°

11

2.計算題

1)計算〃階行列式的值

a+bbh…b

aa+bb…b

D?=aaa+b…h(huán)

aaaa+/?

2)設(shè)V=R4,叱=￡(四,。2，。3)，=￡(/?,,^2),其中

%=(1020)。2=(2o11)a3=(10-11)力=(331-2)

區(qū)=(130-3),求嗎c%與明+電的基和維數(shù)。

3)已知實二次型/(再,》2，33)=2x；-2x/2-2/》3+2x；-2%》3+2x；,求!11

正交變換乂=〃丫，化二次型為標準形，進而寫出此二次型的典范形。

3.下列命題是否正確？肯定的給予證明，否定的給出反例。

1)尸是數(shù)域，如果/(x)在尸中沒有根，則/(x)在P[x]中是不可約多項式。

2)A,8是兩個機義〃矩陣，如果齊次線性方程組Ax=0的解都是齊次線性方

程組5》=0的解，則秩42秩3。

3)如果向量組的每個向量都可以由向量組四，四,…，氏線性表

示，當r<s時，％,a2,…,%一定線性相關(guān)。

4)V是一個歐氏空間，如果/是V的一個線性變換，且保持內(nèi)積不變，即

對于任意a,/?eV,有(/(a),/(夕))=(a,尸),則/一定是正交變換。

4.證明題

1)證明多項式/a)和g(x)互素的充分必要條件是對任意的正整數(shù)〃，

尸(x)和g"(x)都互素。

2)V是數(shù)域尸上的〃維向量空間，/是丫的線性變換。

(1)取丫的一個基%,%，…,%，/在這個基下的矩陣為A，定義1/1=1Al,

證明I/I的值與基的選擇無關(guān)；

12

(2)I/h0?Kerf={0}o

3)設(shè)A,8都是正定矩陣，證明

(1)方程IXA-81=0的根都大于零；

(2)方程1X4-81=0的根都等于loA=8。

2005年

1.填空題

1)i^f(x)=x4-2x3+3x2-4x+2eQ[x],/(x)在。[幻中的所有不可約因

式是；

2)已知實3階方陣A=(%)滿足旬=-A4,i,j=1,2,3(A°表示元素%的代數(shù)

余子式)，且a”H0,則detA=；

3)設(shè)％,02，。3,。4線性無關(guān)，則向量組%+。2，。2+23,。3+%，%+。1的秩

等于;

4)設(shè)b是向量空間V的一個線性變換，如果。在V的一組基%,%，下的

’010、

矩陣是001,寫出V的所有O?不變子空間o

、000,

2.計算題

1)計算〃階行列式的值

X1+a{X|X|

x2+a2???X2

4=

Z-1%

X”x“x?x?+a

其中/電N0。

2)試求作一個齊次線性方程組，使它的解空間由下列4個向量生成:

T111.T

%=(-1,-11,2,0),a2—,6,4)

13

%=(!。0,3，11，%=(—1,—229,4)7

44

其中，，?表示。的轉(zhuǎn)置。

3)已知二次型f(x},x2,x3)=2x；+3x；+3x；4-2ax2x3(a>0),通過正交變換

化成標準型/(%,力，兀)=皿+2無+5y；,求出參數(shù)。及所用的正交變換矩陣。

3.判斷下列命題的正確性，并請說明理由或舉出反例。

1)設(shè)(/(x),g(x))=d(x),則滿足等式f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)的u(x)和

v(x)只有一對，其中(/(x),g(x))表示/(x)與g(x)的首項系數(shù)為1的最大公因式。

2)設(shè)有〃個未知量〃+1個方程的線性方程組

a]}x]+6f12x2+—=b[

ax+ax+???+ax=b

<2}}2222nn2

a“+i,內(nèi)+〃角,2冗2+..?+%+],/〃=b〃+i

有解，則行列式

a\\a\l…a\n"1

a2\a22…a2n%

=U

???????????????

%+lJan+r,2…%+l,"b"+l

反之也成立。

3)A,8都是〃階實對稱矩陣，且有相同的特征多項式，則A與8相似。

4)設(shè)實二次型人匹/2,…,x,)的秩為〃，則/5,》2,…,x")一定是正定的。

4.證明題

1)設(shè)/(x)是整系數(shù)多項式，/⑴=/(2)=/(3)=p(p是整數(shù))，證明不存

在整數(shù)小,使得/(〃?)=2p。

2)設(shè)A是一個〃階方陣，則A?=/的充分必要條件是秩(A+/)+秩

(A-/)=〃(其中/為”階單位陣)。

3)設(shè)%,_,人，…，凡是"維歐氏空間V中的兩組向量，證明存在

14

正交變換了,使得/(%)=%=1,2,…,1n的充分必要條件是

(%,%)=(以血)「"=1,2,…，m,其中(?,/7)表示向量a與向量月的內(nèi)積。

15

廣州大學(xué)

2003年

1.令b是數(shù)域尸上向量空間V的一個線性變換，如果京42,…，女分別是屬

于＜7的互不相同的特征根4,4，…,4的特征向量，那么2，…，女線性無關(guān)。

2.設(shè)/（X）=0-4）（工一42）…，其中41,出，…,凡為互異的整數(shù)，

求證/（X）在。㈤中不可約。

3.數(shù)域/上〃維向量空間V的一個線性變換o?滿足〃=/（單位變換），證

明V=匕十匕1,這里V,和V,分別是屬于特征根土1的特征子空間。

4.已知實矩陣A=（%）3X3滿足條件

（1）%=\（Z,j=1,2,3）其中為為%的代數(shù)余子式；

（2）a”工0；

試求行列式IAI。

5.設(shè)a…為AX=#0）的〃-r+1個線性無關(guān)的解向量，秩

A=r,求對應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系。

6.上取怎樣的數(shù)值時，線性方程組

kx}+x2+x3=1

＜+x2+kxj-k

2

+x2+kx3=k

有唯一解，沒有解，有無窮多解？

’61r

7.設(shè)A=161,求正交矩陣U,使UAU為對角矩陣。

U13

8.設(shè)〃元實二次型/區(qū)七,…,X,）=x4x,A為實對稱矩陣，

X=（x?x2,-,x,,）,,證明/在條件5＞；=i下的最大（?。┲登锳的最大（?。┑?/p>

16

特征值。

2004年

1.設(shè)于(X)=x4+3%3-x2-4x-3,g(x)=3x3=10x2+21-3求(/(x),g(x))及

〃(x),u(x)使(/(x),g(x))=〃(x)/(x)+v(x)g(x)o

2.計算行列式

12n

23…1

n1…n—1

3.a/為何值時，實數(shù)域火上的線性方程組

X]+々+%3+工4+%5=1

3項+2X4-x+x-3X=a

<2345

x2+2X3+2X4+6鼻=3

5x,+4X2+3X3+3X4-x5=b

有唯一解，無窮多解，無解？

4.求齊次線性方程組

2xI-4X2+5X3+3X4=0

〈3X]-6X2+4X3+2X4=0

4天一8^2+17^3+1IX4=0

的基礎(chǔ)解系，并寫出解空間。

5.判斷下列矩陣

'11-2'

A=-101

1-1-1

的可逆性，如可逆，用初等變換法求其逆矩陣。

6.設(shè)%=(1,2,1,0)，a2=(-1,1,1,1)，=(2-1,0,1)，△=(1，T，3,7)，

匕=￡(%,%)，%=L(4,夕2)，求匕與匕的交的維數(shù)及一組基。

7.線性空間V的線性變換。在基馬,心,￡3下的矩陣為

17

122

A=212

221

求6的特征值及特征向量。

8.設(shè)b是〃維線性空間V的一個線性變換，/=1,證明b的特征值只能

為±1。

9.設(shè)4是正交矩陣且141=-1,證明-1是4的一個特征值。

10.設(shè)A是一個〃階可逆實矩陣，證明存在一個正定對稱矩陣S和一個正交

矩陣U，使得A=US。

2005年

1.機,p,q適合什么條件時，有

(1)x2+mx-\\+px+q；

(2)x2+mx-\\x4+px+q?

2.計算行列式

abed

-ba-dc

(1)D=

-cda-b

-d-cba

1+xy0???00

zl+xy…00

0z1+x???00

⑵D”=,其中x=yz。

000???1+xy

000■■■z1+x

3.假設(shè)向量可以由向量組四,。2,…,明線性表出，證明表示法是唯一的充

分必要條件是%,22,…,見線性無關(guān)。

4.討論4涉取何值時，下列方程組無解、有唯一解，有無窮多解，有解時

求出其解。

18

X]+2X2+3X3-x4=1

xt+x2+2X3+3X4=1

3^1—x,一=a

2X|+3X2-x3+bx4--6

5.設(shè)〃級方陣48滿足條件4+8=46,/為單位矩陣。

(1)證明A-/為可逆矩陣;

(2)證明48=84；

1-30

(3)已知8=210求A。

002

1002

6.設(shè)4=0001求3級可逆陣P,4級可逆陣。，使

-3000

1000

A=P0100Q

0000

7.設(shè)%,…,凡是〃維線性空間V的一組基，A是以〃xs矩陣,

3&…冉=)4,證明L(幾尸2,…，氏)的維數(shù)等于A的秩。

8.

0

0

9.

10.

19

哈爾濱工業(yè)大學(xué)

2009年

1.設(shè)尸是一個數(shù)域，/(x),g(x)eP[x]。證明若(/(x),g(x))=l,則

(/(x)g(x),/(x)+g(x))=l。

2.在內(nèi)中，線性變換。對于基

7,=(-1,0,2),72=(0,1,1),%=(3,-1,0)

的象為

四=(一5,0,3),“2=(0,—1,6),0-73=(-5,-1,9)

求。在〃上的矩陣A0

1-11200

3.設(shè)矩陣A24-2,B020。且A與B相似。

-3-3a00b

(1)求a,。；

(2)求一個可逆陣P,使=

4.稱矩陣4為幕零矩陣，如果存在正整數(shù)機使得4"=0。試證

(1)若A為〃階復(fù)幕零矩陣，則A"=0；

(2)若A為”階復(fù)塞零矩陣，則對任意非零常數(shù)34+4右都可逆。

5.設(shè)向量組⑴%,%，…,火線性無關(guān)，并且可由向量組(2)4,夕2,…，色線性

表出。那么，并且，以適當?shù)嘏帕薪M(2)中向量的次序，使得組⑴替換組(2)

地前r個向量后所得到地向量組四,%，…,%，A，%…，民與組⑵等價。

~AR-

6.設(shè)乂=，其中A,B,C,O均為〃階矩陣，且A是可逆對稱矩陣，

CD

B=C。證明存在可逆矩陣T,使TXT為分塊對角陣。

7.設(shè)匕、匕是〃維歐氏空間V的子空間，且K的維數(shù)小于匕的維數(shù)。證明匕

20

中必有一非零向量正交于匕中的所有向量。

8.令M“表示數(shù)域尸上一切〃階方陣，所組成線性空間，設(shè)

S^{A&Mn\A^A},T={AeMn\A=-A],證明

(1)S,T都是M“的線性子空間；

(2)=S十T。

9.設(shè)A和8都是〃階正定方陣，則方程144-81=()的根都是正的，并且當

且僅當4=8時;所有的根都等于1。

11.設(shè)A,5,CeP""",試證廠(A8C)2r(4B)+r(BC)—r(8)。

21

華南理工大學(xué)

2005年

1.證明，如果(/(x),g(x))=l,那么

(/(x)g(x)(/(x)+g(x)),/(x)+/(x)g(x)+g(x))=1

2.問/l取何值時，方程組有唯一解、無限多解、無解？并在有解時給出解

的結(jié)構(gòu)。

AJC1+x2+x3=1

<X]+AX2+X3-A

2X|+(1++(1+a).=A+A-

3.判斷下面的矩陣A是否可對角化

’366、

A=020

、一3-12-6,

4.證明秩為21)的矩陣可表示成「個秩為1的矩陣之和。

5.設(shè)A為”階實對稱矩陣，乙〃分別為其最大與最小特征根，證明對于任

意的XNXAX?4一，這里X,是X的轉(zhuǎn)置矩陣。

6.設(shè)A為正交矩陣，A的特征根均為實數(shù)，證明A為對稱矩陣。

7.設(shè)A、B為實對稱矩陣，證明A、8的特征根全部相同的充要條件是存在

正交矩陣T,使得廣弘了二臺。

8.設(shè)是一實矩陣，A'是4的轉(zhuǎn)置矩陣，證明

(1)齊次線性方程組AX=O與A'4X=O同解；

(2)秩(A)=秩(AA)；

(3)方程組A'AX=AA(其中8是任一s維列向量)一定有解。

9.設(shè)〃為歐氏空間V中的一個單位向量，定義

cr(a)=a-2<r),a>7

22

其中<77,a>表不〃與a的內(nèi)積，證明

(1)b是正交變換，這樣的正交變換稱為鏡面反射；

(2)對任意的若a,尸均為單位向量，則存在鏡面反射。，使得

b(a)=P，并求這個鏡面反射的特征值及所對應(yīng)的特征子空間。

10.設(shè)A是一個〃階矩陣，證明A與A'相似。

2006年

1.設(shè)/(x),g(x)是數(shù)域/上的多項式，證明/(x)lg(x)當且僅當對于任意的

大于I的自然數(shù)〃,尸(x)lg"(x)。

2.設(shè)A是一個〃階實矩陣，證明(E-A)(￡-A/是正交矩陣，當且僅當A是

反對稱矩陣。

3.求下面的矩陣A的列空間在K中的正交補的一個標準正交基

‘1-11-T

1-1-11

A=

1-1-22

2-21-1,

4.設(shè)4,凡為數(shù)域產(chǎn)上的互不相同的數(shù)而％，仇，…，a為數(shù)域F上的任意

的數(shù)。證明在尸上存在唯一的〃次多項式/(x)使得/(a,)=b,.,O<i<no

5.設(shè)A為〃階復(fù)矩陣，證明A為對稱矩陣的充要條件是存在〃階復(fù)矩陣B,

使得4=這里"表示6的轉(zhuǎn)置矩陣。

6.設(shè)A為正定矩陣，則存在正定矩陣S使得A=S、由此證明每一個可逆

實矩陣8都可以表示為一個正交矩陣與一個對稱矩陣的乘積。

7.設(shè)K是歐氏空間而W是丫的有限維子空間，證明卬在V中一定有正交補。

8.設(shè)V=M“(F)表示數(shù)域F上的”階矩陣的向量空間，對于AeV,定義

cr(A)=A(A'是A的轉(zhuǎn)置矩陣)。

(1)證明o■是一個線性變換;

23

(2)求o■的全部特征子空間；

(3)證明b可以對角化。

9.設(shè)f(x),g(x)是數(shù)域F上的互素的多項式，A是尸上的〃階矩陣，證明齊

次線性方程組/(A)g(A)X=0的解空間f(A)X=0的解空間與g(A)X=0的解空

間的直和(其中X表示〃維列向量)。

10.設(shè)小)=/+/+/+%+1。⑴將/(x)在實數(shù)域上分解因式;⑵證

明/(x)在有理數(shù)域上不可約。由此證明cos”不是有理數(shù)。

2009年

1.設(shè)/(x),g(x)是P[x]中的非零多項式，且g(x)=s"'(x)g|(x),這里用21,

(s(x),g](x))=l,s(x)"(x)。證明不存在(x),r(x)eP[x],且r(x)0,

5(r(x))<0(s(x))使得

/(x)_r(x)?一(X)

2.設(shè)表示數(shù)域P上所有次數(shù)<n的多項式及零多項式構(gòu)成的線性空間，

令多項式力(x)=(x-%)…(x-a”)(x-《+|)…(X-%),其中i=l,2,…,〃，且

是數(shù)域2中〃個互不相同的數(shù)。

⑴證明/,(x),72(%),?.?,/?(x)是P[x]“的一組基;

(2)在⑴中，取4,心…，4為全體〃次單位根，求由基1,羽…,x"T到基

f⑶(尤)，…/(x)的過渡矩陣T。

3.設(shè)〃階方陣A滿足A?=A,且A的秩r(A)=r。

(1)證明"(A)=r,這里4的跡"(A)定義為4的主對角線上的元素之和；

(2)求I4+EI的值。

4.設(shè)后],e2,￡r3是歐氏空間V的一組標準正交基，設(shè)%=0+s2-s3,

24

%=J，卬=LQ,%)。

(1)求W的一組標準正交基；

(2)求W1■的一組標準正交基；

(3)求￡=￡2+2%在W中的內(nèi)射影(即求￡eW，使a=￡+y,/wWD,并

求a到W的距離。

5.設(shè)b是數(shù)域P上的〃維線性空間V的線性變換，f(x),g(x)eP[x],證明

(1)(0)+g"(0)=(f(。必(。)尸(0)；

(2)當/(x)與g(x)互素時，有

f"(0)?g(b)T(0)=(/(Gg(G)T(0)

6.設(shè)/(不,》2,…,x")=X'AX為"元實二次型，若矩陣A的順序主子式

△?色=1,2「,〃)都不為零，證明/區(qū),》2,…,乙)可以經(jīng)過非退化的線性替換化為

下述標準型

這里4=A-,i=1,2,…，并且金=1。

△,--1

7.設(shè)數(shù)域A,5分別為數(shù)域P上的mxn與〃xs矩陣，又

W={Ba\ABa=0,aPsaeP'"}是〃維列向量空間尸網(wǎng)的

子空間，證明

dim(W)=r(B)—r(A3)

8.設(shè)/(x,y)為定義在數(shù)域p上的〃維線性空間v上的一個雙線性函數(shù)，證

明f(X,Y)=XAX=附X，勺可以表示為兩個線性函數(shù)力(X)=工二岸:，

/2(y)=Z：=￡%之積的充要條件是f(X,Y)的度量矩陣A的秩V1。

25

華南師范大學(xué)

2002年

1.計算行列式

%

%

%a”

%a..

%。2。3。4

2.設(shè)/(x),g(x)是數(shù)域產(chǎn)上的多項式,/(x)=d(x)/；(x),g(x)=d(x)g|(x)。

證明d(x)是f(x),g(x)的最大公因式當且僅當(力(x),g|(x))=1O

3.設(shè)c是復(fù)