2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第11章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例跟蹤檢測(cè)文含解析

PAGE第十一章統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例A級(jí)·基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基|1.在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的探討中，探討人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖．依據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是()A．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，脂肪含量的中位數(shù)等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，脂肪含量的中位數(shù)小于20%C．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，脂肪含量的中位數(shù)等于20%D．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，脂肪含量的中位數(shù)小于20%解析：選B因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，故人體脂肪含量與年齡正相關(guān)；因?yàn)橹虚g兩個(gè)數(shù)據(jù)大約介于15%到20%之間，故脂肪含量的中位數(shù)小于20%.故選B.2．已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x34567y2.5344.56依據(jù)上表可得回來(lái)直線(xiàn)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，據(jù)此可以預(yù)料當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A．6.4 B．6.25C．6.55 D．6.45解析：選C由題意知eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5＋6,5)＝4，將點(diǎn)(5，4)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.85，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－0.25，所以當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×8－0.25＝6.55，故選C.3．在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是()A．若K2的觀(guān)測(cè)值為k＝6.635，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌B．由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D．以上三種說(shuō)法都不正確解析：選C獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全確定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)確定要留意這點(diǎn)，不行對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的說(shuō)明．若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤．故選C.4．已知兩個(gè)隨機(jī)變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如下表所示：x－4－2124y－5－3－1－0.51依據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則大致可以推斷()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0解析：選C由題意知eq\x\to(x)＝0.2，eq\x\to(y)＝－1.7，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(28－5×0.2×（－1.7）,41－5×0.22)＝eq\f(29.7,40.8)≈0.73＞0，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝－1.7－0.73×0.2≈－1.85＜0，故選C.5．通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名性別不同的高校生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.822.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”解析：選C依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K2≈7.822>6.635，可知我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，故選C.6．(2025屆惠州市其次次調(diào)研)某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷(xiāo)量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷(xiāo)售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/℃171382月銷(xiāo)售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線(xiàn)性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，氣象部門(mén)預(yù)料下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷(xiāo)售量約為_(kāi)_______件．解析：由題中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝38，又回來(lái)直線(xiàn)eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，代入得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，則回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時(shí)，y＝46.答案：467．寫(xiě)出下列命題中全部真命題的序號(hào)：________．①兩個(gè)隨機(jī)變量線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r越接近1；②回來(lái)直線(xiàn)確定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x，y)；③若線(xiàn)性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋10，則當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中x＝10時(shí)，必有相應(yīng)的y＝12；④回來(lái)分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越?。馕觯孩賰蓚€(gè)隨機(jī)變量線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，原命題錯(cuò)誤；②回來(lái)直線(xiàn)確定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，原命題正確；③若線(xiàn)性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋10，則當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中x＝10時(shí)，可以預(yù)料y＝12，但是會(huì)存在誤差，原命題錯(cuò)誤；④回來(lái)分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，原命題正確．綜上可得，正確命題的序號(hào)為②④.答案：②④8．心理學(xué)家分析發(fā)覺(jué)視覺(jué)和空間想象實(shí)力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)愛(ài)好小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給全部同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題狀況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050依據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺(jué)和空間想象實(shí)力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________．附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀(guān)測(cè)值k＝eq\f(50×（22×12－8×8）2,30×20×20×30)≈5.556＞5.024.∴推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025.答案：0.0259．(2025屆江西七校第一次聯(lián)考)最近青少年的視力健康問(wèn)題引起習(xí)主席的高度重視，某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)?4所小學(xué)，24所初中和12所中學(xué)的學(xué)生的視力狀況，打算采納分層抽樣的方法從這些學(xué)校中隨機(jī)抽取5所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)若從所抽取的5所學(xué)校中再隨機(jī)抽取3所學(xué)校進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求抽到的這3所學(xué)校中，小學(xué)、初中、中學(xué)分別有一所的概率；(2)若某小學(xué)被抽中，調(diào)查得到了該小學(xué)前五個(gè)年級(jí)近視率y的數(shù)據(jù)如下表：年級(jí)號(hào)x12345近視率y0.050.090.160.200.25依據(jù)前五個(gè)年級(jí)的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回來(lái)方程，并依據(jù)方程預(yù)料六年級(jí)學(xué)生的近視率．附：回來(lái)直線(xiàn)eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所學(xué)校中有2所小學(xué)、2所初中、1所中學(xué)，分別設(shè)為a1，a2，b1，b2，c.從這5所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所學(xué)校的全部基本領(lǐng)件為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10種．設(shè)事務(wù)A表示“抽到的這3所學(xué)校中，小學(xué)、初中、中學(xué)分別有一所”，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件為(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4種，故P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)由題中表格數(shù)據(jù)得eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝0.15，5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝2.25，5eq\o(x,\s\up6(－))2＝45，又參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝2.76，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(2.76－2.25,55－45)＝0.051，eq\o(a,\s\up6(^))＝0.15－0.051×3＝－0.003，得線(xiàn)性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.051x－0.003.當(dāng)x＝6時(shí)，代入得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年級(jí)學(xué)生的近視率在0.303左右．10．(2025屆“四省八校聯(lián)盟”高三聯(lián)考)某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量狀況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[100，120)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品，表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖．表1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[95，100)[100，105)[105，110)頻數(shù)1518質(zhì)量指標(biāo)值[110，115)[115，120)[120，125]頻數(shù)1961圖1：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖(1)依據(jù)表1和圖1，通過(guò)計(jì)算合格率對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依據(jù)題目所給的質(zhì)量指標(biāo)值落在[100，120)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格，可得甲套設(shè)備的樣本的合格品數(shù)為48，甲套設(shè)備的樣本的不合格品數(shù)為2，乙套設(shè)備的樣本的合格品數(shù)為(0.036＋0.044＋0.056＋0.036)×5×50＝43，乙套設(shè)備的樣本的不合格品數(shù)為7.所以估計(jì)甲套設(shè)備生產(chǎn)合格品的概率為eq\f(48,50)＝eq\f(24,25)，乙套設(shè)備生產(chǎn)合格品的概率為eq\f(43,50)，所以甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備．(2)由已知數(shù)據(jù)，得到如下的2×2列聯(lián)表，甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484391不合格品279合計(jì)5050100K2＝eq\f(100×（48×7－43×2）2,50×50×91×9)≈3.05，因?yàn)?.05＞2.706，所以有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).B級(jí)·素養(yǎng)提升|練實(shí)力|11.(2025屆鄭州第一次質(zhì)量預(yù)料)近年來(lái)鄭州空氣污染較為嚴(yán)峻，現(xiàn)隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：PM2.5指數(shù)[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良稍微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為S(單位：元)，PM2.5指數(shù)為x.當(dāng)x在區(qū)間[0，100]內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)x在區(qū)間(100，300]內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線(xiàn)模型(當(dāng)PM2.5指數(shù)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)PM2.5指數(shù)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元)；當(dāng)PM2.5指數(shù)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元．(1)試寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過(guò)900元的概率；(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染總計(jì)供暖季非供暖季總計(jì)100附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依題意，可得S(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，x∈[0，100],4x－100，x∈（100，300],2000，x∈（300，＋∞）)).(2)設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過(guò)900元”為事務(wù)A，由500<S≤900，得150<x≤250，頻數(shù)為39，所以P(A)＝eq\f(39,100).(3)依據(jù)題中數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：非重度污染重度污染總計(jì)供暖季22830非供暖季63770總計(jì)8515100K2的觀(guān)測(cè)值k＝eq\f(100×（22×7－63×8）2,85×15×30×70)≈4.575>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．12．(2025屆陜西省質(zhì)量檢測(cè))基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車(chē)被稱(chēng)為“新四大獨(dú)創(chuàng)”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn)．某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)探討人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：月份2024.82024.92024.102024.112024.122024.1月份代碼x123456市場(chǎng)占有率y(%