2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式專題突破專練一課一練含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1其次章專題突破專練專題1不等式性質(zhì)及應(yīng)用問題1.(2024·重慶一中模擬)設(shè)a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是()。A.a>b2 B.1a>C.1a<1b D.a2答案：A解析：對于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1,又∵a>1,∴a>b2,故A正確;對于B,若a=2,b=12,此時滿意a>1>b-1,但1a<1b,故B錯誤;對于C,若a=2,b=-12,此時滿意a>1>b>-1,但1a>1b,故C錯誤;對于D,若a=98,b=34,此時滿意a>1>b>-1,但2.(2024·廣東江門期末)設(shè)a,b∈R,定義運算“”和“”:ab=a,a≤b,b,a>b,ab=b,a≤b,a,a>A.mn≥4且p+q≤4B.m+n≥4且pq≤4C.mn≤4且p+q≥4D.m+n≤4且pq≤4答案：A解析：結(jié)合定義及mn≥2可得m≥2,m≤n或n≥2,m>n,即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4;結(jié)合定義及pq≤2可得p≤2,p>q或q≤23.(2024·浙江溫州模擬)已知下列四個條件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出1a<1b成立的有(A.1個 B.2個C.3個 D.4個答案：C解析：運用倒數(shù)性質(zhì),由a>b,ab>0可得1a<1b,②④正確。又正數(shù)大于負(fù)數(shù),①正確,③錯誤,故選4.(2024·廣東惠州模擬)已知實數(shù)a,b,c滿意b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是()。A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b答案：A解析：∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b。又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,∴b-a=a2-a+1=a-12∴b>a,∴c≥b>a。5.(2024·安徽六安模擬)若1a<1b<0,給出下列不等式:①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>bA.①② B.②③C.①③ D.①②③答案：C解析：解法一:因為1a<1b<0,故可取a=-1,b明顯|a|+b=1-2=-1<0,所以②錯誤?？山獬鼳,B,D。解法二:由1a<1b<0,可知b<a<0。①中,因為a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab>0,故有1a②中,因為b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②錯誤;③中,因為b<a<0,又1a<1b<0,則-1a>-1b>0,所以a-1a>b-6.(2024·咸陽期末)設(shè)x<a<0,則下列不等式肯定成立的是()。A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax答案：B解析：∵x<a<0,∴ax>a2,x2>ax,∴x2>ax>a2,故選B。7.(2024·江蘇丹陽模擬)已知實數(shù)x,y滿意-4≤x+y≤-1,-1≤4x+y≤5,則9x+3y的取值范圍是。

答案：[-6,9]解析：設(shè)9x+3y=a(x+y)+b(4x+y)=(a+4b)x+(a+b)y,∴a+4b∴9x+3y=(x+y)+2(4x+y),∵-1≤4x+y≤5,∴-2≤2(4x+y)≤10,又-4≤x+y≤-1,∴-6≤9x+3y≤9。8.某公司有20名技術(shù)人員,安排開發(fā)A,B兩類共50件電子器件,每類每件所需人員和預(yù)料產(chǎn)值如下:電子器件種類每件須要人員數(shù)每件產(chǎn)值/(萬元/件)A類17.5B類16今制訂安排欲使總產(chǎn)值最高,則A類電子器件應(yīng)開發(fā)件,最高產(chǎn)值為萬元。答案：20330解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件,則開發(fā)B類電子器件(50-x)件。依據(jù)題意,得x2+50-x3≤20,解得由題意,得總產(chǎn)值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,當(dāng)且僅當(dāng)x=20時,y取最大值330。所以欲使總產(chǎn)值最高,A類電子器件應(yīng)開發(fā)20件,最高產(chǎn)值為330萬元。9.已知三個不等式:ab>0,bc-ad>0,ca-db>0(其中a,b,c,d均為實數(shù)),用其中兩個不等式作為條件,余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題,可組成正確命題的個數(shù)是答案：3解析：若ab>0,bc-ad>0成立,不等式bc-ad>0兩邊同除以ab可得ca-db>0,即ab>0,bc-ad>0?ca若ab>0,ca-db>0成立,不等式ca-db>0兩邊同乘ab,可得bc-ad>0,即ab>0,ca-db若ca-db>0,bc-ad>0成立,則ca-db=bc-adab>0,又bc-ad>0,則ab>0,即ca-db綜上可知,以三個不等式中隨意兩個為條件都可推出第三個不等式成立,故可組成的正確命題有3個。10.(2024·湖北襄陽四中周練)已知:a>b>0,c<d<0,e>0。求證:e(a-答案：證明:∵a>b>0,c<d<0,則-c>-d>0,從而a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0。則1(a-又e<0?e(a-專題2基本不等式及其應(yīng)用問題11.(2024·上海青浦一中高一上學(xué)期期中)三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖2-1所示,我們教材中利用該圖證明()。圖2-1A.假如a>b,b>c,那么a>cB.假如a>b>0,那么a2>b2C.對隨意正實數(shù)a和b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立D.假如a>b,c>0,那么ac>bc答案：C解析：可將直角三角形的兩直角邊長取作a,b,斜邊為c(c2=a2+b2)。則外圍的正方形的面積為c2,也就是a2+b2,四個陰影面積之和剛好為2ab。對隨意正實數(shù)a和b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。12.若-4<x<1,則x2-2xA.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值-1 D.有最大值-1答案：D解析：x2-2又∵-4<x<1,∴x-1<0?！?(x-1)>0。∴-12-(x-1)+1-(x-13.若實數(shù)a,b滿意1a+2b=ab,則ab的最小值為(A.2 B.2 C.22 D.4答案：C解析：由題意,得a>0,b>0。∵ab=1a+2b≥22ab=22ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b時等號成立14.設(shè)b>a>0,且P=21a2+1b2,Q=21a+1b,M=ab,NA.P<Q<M<N<R B.Q<P<M<N<RC.P<M<N<Q<R D.P<Q<M<R<N答案：A解析：Q為調(diào)和平均數(shù),M為幾何平均數(shù),N為算術(shù)平均數(shù),R為平方平均數(shù),由基本不等式性質(zhì)可知四種平均數(shù)滿意調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù),∵b>a>0,∴Q<M<N<R。∵1P>1Q,∴P<Q。故選15.(2024·安徽六安第一中學(xué)高一下學(xué)期期末)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為()。A.8 B.6 C.4 D.2答案：B解析：利用基本不等式,x+3y=9-xy=9-13·x·3y≥9-13x+3y22,令t=x+3y,故-112t2-t+9≤0,又∵t>0,解得t≥6,∴16.若不等式a2+b2+2>λ(a+b)對隨意正數(shù)a,b恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是()。A.-∞,12C.(-∞,2) D.(-∞,3)答案：C解析：∵不等式a2+b2+2>λ(a+b)對隨意正數(shù)a,b恒成立,∴λ<a2∵a2+b2+2a+b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號,∴λ<2。17.(2024·四川成都高一下學(xué)期期中)若不等式m≤12x+21-x對隨意x∈(0,1)恒成立,則實數(shù)mA.9 B.9C.5 D.5答案：B解析：設(shè)f(x)=12x+21-x=1而12x+21-x=5∵x∈(0,1),得x>0且1-x>0,∴12(1-x)當(dāng)且僅當(dāng)12(1-x)x=2x1-x=1,即x=∴f(x)=12x+21-x的最小值為而不等式m≤12x+21-x對隨意x∈(0,1)恒成立,即m≤12x+218.(2024·陜西西安中學(xué)高一期末)給出下列結(jié)論:①若a,b為正實數(shù),a≠b,則a3+b3>a2b+ab2;②若a,b,m為正實數(shù),a<b,則a+mb③若ac2>bc2,則其中結(jié)論正確的有。(填序號)答案：①③解析：對于①,若a,b為正實數(shù),a≠b,∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>a2b+ab2,故①正確;對于②,若a,b,m為正實數(shù),a<b,則a+mb+m則a+mb+m>a對于③,若ac2>bc2,則a>b故答案是①③。19.若關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集為(1,+∞),則a-1b+1的最小值為答案：3解析：由題意可得a+b=0,a>0,所以a-1b+1=a+1a+1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b20.(2024·河南鄭州外國語學(xué)校高二上學(xué)期開學(xué)測試)已知x<12,則函數(shù)y=2x+12x答案：-1 解析：∵x<12,2x-1<0,∴1-2x>0∵y=2x+12x-1=2x-1+∴-(y-1)=1-2x+11∵1-2x>0,∴1-2x+11-2x≥211-2x·(1-2x)=2(當(dāng)且僅當(dāng)21.(2024·湖北部分重點中學(xué)高一下學(xué)期期中)十九大指出中國的電動汽車革命早已綻開,通過以新能源汽車替代汽、柴油車,中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的安排。2024年某企業(yè)安排引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)汽車x(百輛),需另投入成本C(x)(萬元),且C(x)=10由市場調(diào)研知,每輛車售價5萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完。(1)求出2024年的利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)答案：當(dāng)0<x<40時,y=5×100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500;當(dāng)x≥40時,y=5×100x-501x-10000x+4500-2500=2000-x∴L(x)=-(2)2024年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大,并求出最大利潤。答案：當(dāng)0<x<40時,L(x)=-10(x-20)2+1500,∴當(dāng)x=20時,L(x)max=L(20)=1500;當(dāng)x≥40時,L(x)=2000-x+10000x≤當(dāng)且僅當(dāng)x=10000x,即x=100時,L(x)max=L(100)=1800>1500∴當(dāng)x=100,即2024年生產(chǎn)100百輛時,該企業(yè)獲得利潤最大,且最大利潤為1800萬元。22.(2024·黃岡中學(xué)單元測評)若a>0,b>0,且a2+b22=1,求a答案：解:∵a>0,b>0,a2+b2∴a1+b2=a2(1+b2)=2a當(dāng)且僅當(dāng)正數(shù)a,b滿意a2=1+b22且a2+b22=1,即a=3∴a1+b2的最大值為專題3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的有關(guān)問題23.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3A.(1,3) B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)答案：A解析：由4x2+6x+3=2x+322+34>0對一切x∈R恒成立,從而原不等式等價于2x2+2mx+m<4x2即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0對一切實數(shù)x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3。24.(2024·寧夏銀川一中高二期中)關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)·(x-2)>0的解集是()。A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案：D解析：∵關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為(1,+∞),∴a>0,ba=1,則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-2)>0可化為(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1∴所求不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞)。故選D。25.若a>0,b>0,則不等式-b<1x<a等價于()A.-1b<x<0或0<x<B.-1a<x<C.x<-1a或x>D.x<-1b或x>答案：D解析：-b<1x<a?x>0,1x<a或x<0,1x26.(2024·北京昌平一中高一期中)某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣,日銷售量x(件)與單價P(元)之間的關(guān)系為P=160-2x,生產(chǎn)x件所需成本為C(元),其中C=(500+30x)元。若要求每天獲利不少于1300元,則日銷售量x的取值范圍是()。A.[20,30] B.[20,45]C.[15,30] D.[15,45]答案：B解析：設(shè)該廠每天獲得的利潤為y元,則y=(160-2x)·x-(500+3x)=-2x2+130x-500,0<x<80。依據(jù)題意知,-2x2+130x-500≥1300,解得20≤x≤45,∴當(dāng)20≤x≤45時,每天獲得的利潤不少于1300元。故選B。27.(2024·江蘇南京一模)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域為(-∞,0],若關(guān)于x的不等式f(x)>c-1的解集為(m-4,m+1),則實數(shù)c的值為。

答案：-21解析：∵函數(shù)f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域為(-∞,0],∴Δ=0,∴a2+4b=0,∴b=-a2∵關(guān)于x的不等式f(x)>c-1的解集為(m-4,m+1),∴方程f(x)=c-1的兩根分別為m-4,m+1,即方程-x2+ax-a24=c-1的兩根分別為m-4,m∵方程-x2+ax-a24=c-1的根為x=a2∴兩根之差為21-c=(m+1)-(m-4),解得c=-28.已知函數(shù)y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對隨意實數(shù)x,函數(shù)值恒大于零,則實數(shù)m的取值范圍是。

答案：[1,19) 解析：①當(dāng)m2+4m-5=0時,m=-5或m=1。若m=-5,則函數(shù)化為y=2x+3。對隨意實數(shù)x不行能恒大于0。若m=1,則y=3>0恒成立。②當(dāng)m2+4m-5≠0時,依據(jù)題意應(yīng)有m∴m<-5或綜上可知,1≤m<19。29.(2024·江蘇南通如東中學(xué)高一上學(xué)期期中)若x2-2ax+a+2≥0對隨意x∈[0,2]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為。

答案：[-2,2] 解析：若對隨意x∈[0,2],x2-2ax+a+2≥0恒成立,則函數(shù)f(x)=x2-2ax+a+2在[0,2]上的最小值恒大于等于0。二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+a+2的對稱軸為直線x=a。當(dāng)a≥2時,函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(2)=6-3a≥0,則a=2;當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(0)=2+a≥0,則-2≤a≤0;當(dāng)0<a<2時,函數(shù)f(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,在[a,2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(a)=-a2+a+2≥0,則0<a<2。綜上,實數(shù)a的取值范圍為[-2,2]。30.(2024·江蘇蘇州張家港高一下學(xué)期期中)已知關(guān)于x的不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b}。(1)求a,b的值;答案：∵不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b},∴a>0,且方程ax2-3x+2=0的兩個根是1和b。由根與系數(shù)的關(guān)系,得1+b=(2)解關(guān)于x的不等式:ax2-(ac+b)x+bx<0。答案：∵a=1,b=2,∴ax2-(ac+b)x+bx<0,即x2-(c+2)x+2x<0,即x(x-c)<0?！喈?dāng)c>0時,解得0<x<c;當(dāng)c=0時,不等式無解;當(dāng)c<0時,解得c<x<0。綜上,當(dāng)c>0時,不等式的解集是(0,c);當(dāng)c=0時,不等式的解集是?;當(dāng)c<0時,不等式的解集是(c,0)。31.(2024·南京一中單元檢測)已知函數(shù)y=ax2+2ax+1的定義域為R,解關(guān)于x的不等式x2-x-a答案：解:∵函數(shù)y=ax2+2ax+1的定義域為R,∴ax2+2當(dāng)a=0時,1≥0,不等式恒成立;當(dāng)a≠0時,則a>0,Δ=4a綜上,0≤a≤1。由x2-x-a2+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0?！?≤a≤1,∴①當(dāng)1-a>a,即0≤a<12時,a<x<1-a②當(dāng)1-a=a,即a=12時,x-1③當(dāng)1-a<a,即12<a≤1時,1-a<x<a綜上,當(dāng)0≤a<12時,原不等式的解集為{x|a<x<1-a};當(dāng)a=12時,原不等式的解集為?;當(dāng)12<a≤1時,原不等式的解集為{x|1-a<x<專題4一元二次函數(shù)、方程和不等式中的易錯問題易錯點1方法選擇不當(dāng)而致錯32.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,則下列代數(shù)式中的值最大的是()。A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1 D.1答案：A解析：本題可用特值法:令a1=0.1,a2=0.9;b1=0.2,b2=0.8,則a1b1+a2b2=0.74;a1a2+b1b2=0.25;a1b2+a2b1=0.26。故選A。【易錯警示】不能小題大做。本題若用作差法比較大小,則比較麻煩。(a1b1+a2b2)-(a1a2+b1b2)=a1(b1-a2)+b2(a2-b1)=(b1-a2)(a1-b2)。由條件知0<a1<12<a2,0<b1<12<b∴b1-a2<0,a1-b2<0,∴(b1-a2)(a1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1a2+b1b2。(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0。∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1。設(shè)a1=12-α,a2=12+α,b1=12-β,b2=12+β,由題意知0<α<12∴a1b1+a2b2-12=14-12(α+β)+αβ+14+12(α+β)+αβ-12=2αβ>0,∴a1b1+a因此,有關(guān)不等式大小的選擇題,解題時要依據(jù)題目特點敏捷選取方法,以簡化解題過程。易錯點2誤用不等式的性質(zhì)而致錯33.已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍。答案：解:令a+b=μ,a-b=v,則2≤μ≤4,1≤v≤2。由a+b∴4a-2b=4·μ+v2-2·μ-v2=2μ+2v-μ+∵2≤μ≤4,3≤3v≤6,∴5≤μ+3v≤10,即5≤4a-2b≤10?！?a-2b的取值范圍為[5,10]?！疽族e警示】同向不等式的兩邊可以相加減,但是這種轉(zhuǎn)化不是等價變形,假如在解題過程中多次運用這種轉(zhuǎn)化,就有可能擴大了所求代數(shù)式的取值范圍。所以選用不等式性質(zhì)求解代數(shù)式的取值范圍時務(wù)必當(dāng)心謹(jǐn)慎。易錯點3忽視等號成立的條件而致錯34.已知正數(shù)x,y滿意x+2y=2,則x+8yxy答案