2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)單元測試卷一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE1第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)第三章單元測試卷第Ⅰ部分選擇題(共40分)一、選擇題(5分×8=40分)1.☉%#682@1@￥%☉(2024·棗莊高一月考)4-23+3(1-A.3-1B.1-3C.3-33D.33-3答案：A解析：由于4-23=(3-3(1-3)3=1-3,故原式=(3-1)+(1-3)+(3-1)=3-1。故選A。2.☉%@00##4#3%☉(2024·鄭州高一質(zhì)量檢測)已知3a=5b=15,則a,b不行能滿意的關(guān)系是()。A.a+b>4B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2D.a2+b2<8答案：D解析：由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,∴3ab=15b,5ab=15a,∴3ab·5ab=15a·15b=15a+b,即15ab=15a+b,∴a+b=ab,又a,b為不相等的正數(shù),∴a+b>2ab,∴ab>2ab,即ab>4,故A,B正確;∵(a-1)2+(b-1)2>2等價于a2+b2>2(a+b),又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正確;a2+b2>2ab,ab>4,∴a2+b2>8,故D錯誤。故選D。3.☉%@0#538#*%☉(2024·濟寧二中月考)下列函數(shù):①y=4x2;②y=6x;③y=32x;④y=3·2x;⑤y=2x+1(以上各函數(shù)定義域為x∈N*)。其中正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：由題意可得y=6x,y=32x=9x為正整數(shù)指數(shù)函數(shù),題中所給的其余函數(shù)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù),即正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為2。故選C。4.☉%#@￥5￥490%☉(2024·邵陽一中檢測)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=ax與g(x)=ax的圖像可能是()。圖3-5答案：B解析：由題意g(x)=ax,∴a>0,故f(x)=ax經(jīng)過第一、三象限,∴A,D不正確。若g(x)=ax為增函數(shù),則a>1,與C中y=ax的斜率小于1沖突,故C不正確,B中0<a<1,故B正確,故選B。5.☉%88@￥7#*9%☉(2024·廣西玉林中學(xué)月考)若指數(shù)函數(shù)y=ax在[-1,1]上的最大值與最小值的差是1,則底數(shù)a等于()。A.1+52C.1±52答案：D解析：指數(shù)函數(shù)y=ax在[-1,1]上的最大值與最小值的差是1,則|a-1-a|=1,解得a=5±126.☉%*68*￥72@%☉(2024·武漢中學(xué)高一月考)已知指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x滿意f(2)>f(22),那么實數(shù)a的取值范圍是()。A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(2,3)D.(1,2)答案：C解析：由題知,指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x,x∈R滿意f(2)>f(22),因為22>2,f(2)>f(22),所以函數(shù)f(x)=(a-2)x在定義域上為減函數(shù),所以0<a-2<1,即2<a<3,即實數(shù)a的取值范圍是(2,3),故選C。7.☉%85#@82@*%☉(2024·山東師大附中檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|,x<2,-x+5,x≥2,若互不相等的實數(shù)a,b,c滿意f(a)=f(bA.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案：B解析：畫出函數(shù)f(x)的圖像如圖。不妨令a<b<c,則1-2a=2b-1,則2a+2b=2。結(jié)合圖像可得4<c<5,故16<2c<32?！?8<2a+2b+2c<34。故選B。8.☉%*97#4#9*%☉(2024·江西吉安一中月考)若函數(shù)y=12|1-x|+m的圖像與x軸有公共點,則A.m≤-1B.m≥1C.-1≤m<0D.0<m≤1答案：C解析：由已知函數(shù)y=12|1-x|+m有零點,即方程12|1-∵|1-x|≥0,∴0<12|1-x|≤1,∴第Ⅱ部分非選擇題(共60分)二、填空題(5分×3=15分)9.☉%3￥3#6@*7%☉(2024·信陽一中月考)0.027-13--16-2+2560.75-125729答案：31解析：原式=0.3-1-36+25634-125729-13+95-93×(-1610.☉%#98@4*0￥%☉函數(shù)y=32-2x的定義域是答案：(-∞,5]解析：由32-2x≥0,得2x≤32,解得x≤5?！鄖=32-2x的定義域為(-11.☉%6￥05*￥4￥%☉函數(shù)f(x)=-x+3-3a,x<0,ax,x≥0(a>0且a答案：0,解析：當(dāng)x<0時,函數(shù)f(x)=-x+3-3a是減函數(shù),當(dāng)x≥0時,若函數(shù)f(x)=ax是減函數(shù),則0<a<1;要使函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),需滿意0+3-3a≥a0,解得a≤23。由0<a<1,a≤23三、解答題(共45分)12.(10分)☉%*2924￥￥@%☉(2024·保定模擬)化簡:(1)(a3+a-3)(a3-a-3)÷[(a4+a-4+1)(a-a-1)];答案：解:原式=[(a3)2-(a-3)2]÷[(a4+a-4+1)·(a-a-1)]=(=(=a=a+a-1。(2)(124+223)12-2716+1634-2答案：原式=[(11+3)2]12-(33)16+(24)34-2×(2=11+3-3+8-8+2=13。13.(10分)☉%6*￥4*@81%☉(2024·浙江新高考探討聯(lián)盟高一聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常數(shù)且a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過點A(1,8),B(3,32)。(1)求f(x)的解析式;答案：解:把點A(1,8),B(3,32)代入函數(shù)f(x)=b·ax,可得ab=8,∴f(x)=4·2x。(2)若不等式1ax+1bx+1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立答案：不等式1ax+1bx+1-2m≥0,即m≤1212令t=12x,則m≤12t2+12記g(t)=12t2+12t+12=1由x∈(-∞,1],可得t≥12故當(dāng)t=12時,函數(shù)g(t)取得最小值為7由題意可知,m≤g(t)min,∴m≤7814.(12分)☉%1*773*￥￥%☉(2024·廣東六校教研協(xié)作體高一聯(lián)考)設(shè)f(x)=-2x+m2x(1)當(dāng)m=n=1時,求證:f(x)不是奇函數(shù);答案：證明:因為當(dāng)m=n=1時,f(x)=-2x+12x+1+1,f(1)=-15,f(-1)=14,f(-1)≠(2)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求m與n的值。答案：解:當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),即-2-x+m2-x+1+n=--2x+m2x+1+n對定義域內(nèi)隨意實數(shù)x成立?；喺淼?2m-n所以2m-n=0經(jīng)檢驗只有m=1,n=215.(13分)☉%#84@@3￥6%☉(2024·樂山檢測)已知函數(shù)f(x)=13x,x∈[-1,1],函數(shù)g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值為h(a(1)求h(a);答案：解:因為x∈[-1,1],所以13x∈設(shè)t=13x∈則設(shè)φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,當(dāng)a<13時,g(x)min=h(a)=φ13=289當(dāng)13≤a≤3時,g(x)min=h(a)=φ(a)=3-a2當(dāng)a>3時,g(x)min=h(a)=φ(3)=12-6a。綜上,h(a)=28(2)是否存在實數(shù)m,n同時滿意下列條件:①m>n>3;②當(dāng)h(a)的定義域為[n,m]時,值域為[