分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2月）（人教A版2019）（解析版）

專題07分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

一、單選題

1.某演講比賽候選人中高一學生5名，高二學生4名，高三學生3名，從每個年級中各選

1人參加市團委組織的演講比賽，則不同的選法有

A.60種B.45種

C.30種D.12種

【試題來源】廣東省云浮市2019-2020學年高二下學期期末

【答案】A

【分析】利用乘法原理可求不同的選法數(shù).

【解析】由乘法計數(shù)原理可得共有5x4x3=60種不同的選法.故選A.

【名師點睛】本題考查乘法原理的應用，在應用計算原理計數(shù)時，注意分類還是分步，本題

屬于基礎題

2.若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定

義為“單重數(shù)”.例如：232,114等,則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單

重數(shù)”是

A.166B.171

C.181D.188

【試題來源】山東省博興縣第三中學2019-2020學年高二下學期5月月考

【答案】B

【分析】根據(jù)所給條件進行分析，分別求出所有“單重數(shù)”，再找到對應排序的“單重數(shù)”，即

可得解.

【解析】由題意可得不超過200的數(shù)，

兩個數(shù)字一樣同為0時，有100,200有2個，

兩個數(shù)字一樣同為1時，有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18個,

兩個數(shù)字一樣同為2時，有122,有F個

同理，兩個數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時各1個，

綜上，不超過200的“單重數(shù)”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,較小的依次為199,191,188,181,177,171,

故第22個“單重數(shù)”為171,故選B.

【名師點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，考查了對新概念的理解，同時考查了邏輯推理能力，屬于

基礎題.

3.完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方

法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有

A.5種B.4種

C.9種D.45種

【試題來源】重慶市部分區(qū)2019-2020學年高二下學期期末聯(lián)考

【答案】C

【分析】根據(jù)加法計算原理，分成兩類方法相加可得選項.

【解析】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；

會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇;兩者相加一共有9種選擇，

故選C.

【名師點睛】本題考查分類加法計數(shù)原理，屬于基礎題.

4.為響應國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大

葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光

盤行動”，則不同的選取方法有

A.48種B.36種

C.24種D.12種

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學一輪復習考點一遍過

【答案】B

【分析】利用分步計數(shù)原理，分3步即可求出

【解析】由題意可知，分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；

第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有2x3x6=36不同的選取方法，故選B

5.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

2

D.甲乙，甲丙，乙丙

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】C

【解析】若選出的是甲、乙，則站法有甲乙、乙甲；

若選出的是甲、丙，則站法有甲丙、丙甲；

若選出的是乙、丙，則站法有乙丙、丙乙.故選C.

6.在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有

（）種

A.A：B.43

C.34D.C：

【試題來源】2021年高考數(shù)學【熱點重點難點】專練（上海專用）

【答案】C

【分析】四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘

法原理可得冠軍獲獎者的情況.

【解析】由題意四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，

每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.故選C

7.學校計劃在周一至周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》、《馬蹄聲碎》四部話

劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周

一、周三上演；《天籟》不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，則所

有的可能情況有（）種.

A.0B.1

C.2D.3

【試題來源】湖北省武漢外國語學校2020屆高三下學期高考沖刺押題聯(lián)考（一）（理）

【答案】C

【分析】根據(jù)話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周一、周三上演；《天籟》

不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，列表分析即可.

【解析】

3

周一周二周三周四

雷雨00

茶館00

天籟00

馬蹄聲碎00

根據(jù)以上圖表，可知周四只能是《茶館》，周一只能是《天籟》，周二周三《雷雨》和《馬蹄

聲碎》可以交換.故選c

【名師點睛】本題主要考查邏輯推理和簡單的計數(shù)問題，屬于基礎題.

8.從集合｛1,2,3,4,…,15｝中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的

等差數(shù)列有（）個

A.98B.56

C.84D.49

【試題來源】上海市華東師范大學第二附屬中學2019-2020學年高二下學期期中

【答案】A

【分析】分類討論當公差為1，2,……，7時，對應的等差數(shù)列個數(shù)，再根據(jù)三個數(shù)成公

差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，即可得到答案.

【解析】當公差為1時,數(shù)列可以是1,2,3,2,3,4,3,4,5.....13,14,15,共13種情況.

當公差為2時，數(shù)列可以是1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共”種情況.

當公差為3時,數(shù)列可以是L4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當公差為4時，數(shù)列可以是1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當公差為5時，數(shù)列可以是1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情況.

當公差為6時，數(shù)列可以是1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當公差為7時，數(shù)列可以是1,8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，

4

所以這樣的等差數(shù)列共有98個.故選A

【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理，同時考查了等差數(shù)列的定義，屬于簡單題.

9.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此

圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四

角黑點為陰數(shù).如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中各隨機選取1個數(shù)，則選取的兩數(shù)之和能

被5整除的概率為

【試題來源】安徽省六安中學2020-2021學年高三上學期開學考試（文）

【答案】C

【分析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.各選一個數(shù)，求出所

有的選法，求出其和能被5整除的選法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式，即得答案.

【解析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.

各選一個數(shù)，共有4x5=20種選法.

其和能被5整除的分別為2,3；4,1；6,9；8,7,共4種選法，

41

選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率P=方=g.故選C.

【名師點睛】本題考查古典概型和計數(shù)原理，屬于基礎題.

10.如圖，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏

色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種

5

A.280B.180

C.96D.60

【試題來源】廣西南寧市銀海三美學校2018-2019學年高二3月月考（理）

【答案】B

【分析】按區(qū)域分四步，由分步乘法計數(shù)原理，即可求得結(jié)論.

【解析】按區(qū)域分四步：第1步，A區(qū)域有5種顏色可選；

第2步，8區(qū)域有4種顏色可選；

第3步，C區(qū)域有3種顏色可選；

第4步，。區(qū)域也有3種顏色可選.

由分步乘法計數(shù)原理，共有5x4x3x3=180種不同的涂色方案.

選選：B.

【名師點睛】本題主要考查計數(shù)原理的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確分步是關

鍵，屬于基礎題.

11.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當組長，不同的選法有

A.32種B.9種

C.12種D.20種

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學一輪復習考點一遍過

【答案】C

【分析】根據(jù)加法原理直接計算可得答案.

【解析】從8名男生4名女生選取一名當組長，

是男生的選法有8種，是女生選法的有4種，共有12利I故選C.

【名師點睛】本題考查了加法原理，屬于基礎題.

12.A、B、C、D、￡五人排一個5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或

不值，但相鄰的兩天不能由同一人值，那么值日表的排法種數(shù)為

A.120B.324

C.720D.1280

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學一輪復習考點一遍過

【答案】D

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結(jié)合限制條件，逐次排列，即可求解.

【解析】根據(jù)分步計數(shù)原理，可得

6

第一天可以是5個人中的任意一個，共有5種情形；

第二天除了第一天的那個人，另外4個人任意一個都可以，共有4種情形；

第三天除了第二天的那個人，另外4個人任意一個都可以，共有4種情形；

第四天除了第三天的那個人，另外4個人任意一個都可以，共有4種情形；

第五天除了第四天的那個人，另外4個人任意一個都可以，共有4種情形；

所以所有的排法總數(shù)為5x4x4x4x4=1280種.故選D.

【名師點睛】本題主要考查了分步計數(shù)原理的應用，其中解答中注意對限制條件的排列與遵

循原則，屬于基礎題.

13.四個學生，隨機分配到三個車間去勞動，不同的分配方法數(shù)是

A.12B.64

C.81D.24

【試題來源】2021年新高考數(shù)學一輪復習講練測

【答案】C

【解析】先安排一位同學分配到三個車間去勞動，有3種安排方法，

同理，再安排一位同學分配到三個車間去勞動，也有3種安排方法，

依次類推，因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有34=81種分配方法.故選C

【名師點睛】本題主要考查了利用分步乘法計數(shù)原理解決實際問題，屬于容易題.

14.一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，一個程序模塊從開始到結(jié)束的路線稱為該程

序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個計算機程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是

A.6B.14

7

C.49D.84

【試題來源】北京市朝陽區(qū)2019-202（）學年度高二下學期期末質(zhì)量檢測

【答案】C

【分析】利用分類加法和分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【解析】由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3的子路徑共有2+2+3=7

條；子模塊4或子模塊5中的子路徑共有4+3=7條，

由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的不同執(zhí)行路徑共有7x7=49條，故選C

【名師點睛】本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.

15.3位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方

法共有

A.5種B.6種

C.8種D.9種

【試題來源】江蘇省無錫市太湖高級中學2019-2020學年高二下學期期中

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可得每位同學都有2種報名方法，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.

【解析】由題意，3位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，

則每位同學都有2種報名方法，則這3為同學共有2x2x2=8種不同的報名方法，故選C.

【名師點睛】利用分步計數(shù)原理解決問題的策略：（1）利用分步計數(shù)原理解決問題時要注意

事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先有后的順序，并且分步必須滿足：完成一件事的

各個步驟時相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事；（2）分步必須滿足兩個

條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.

16.如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)相聯(lián).連線標注的數(shù)字表

示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點5向結(jié)點A傳遞信息，信息可以

分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為

8

A.26B.24

C.20D.19

【試題來源】2020-2021年新高考高中數(shù)學一輪復習對點練

【答案】D

【分析】要想求得單位時間內(nèi)從結(jié)點B向結(jié)點A傳遞的最大信息量，關鍵是分析出每段網(wǎng)

線在單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量.

【解析】依題意，首先找出A到5的路線，

①單位時間內(nèi)從結(jié)點A經(jīng)過上面一個中間節(jié)點向結(jié)點8傳遞的最大信息量，從結(jié)點A向中

間的結(jié)點傳出12個信息量，在該結(jié)點處分流為6個和5個，此時信息量為11；再傳到結(jié)點

B最大傳遞分別是4個和3個，此時信息量為3+4=7個.

②單位時間內(nèi)從結(jié)點A經(jīng)過下面一個中間結(jié)點向結(jié)點3傳遞的最大信息量是12個信息量,

在中間結(jié)點分流為6個和8個，但此時總信息量為12（因為總共只有12個信息量）；再往

下到結(jié)點8最大傳遞7個但此時前一結(jié)點最多只有6個，另一條路線到最大只能傳輸6個

結(jié)點B，所以此時信息量為6+6=12個.

③綜合以上結(jié)果，單位時間內(nèi)從結(jié)點5向結(jié)點A傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19

個.故選。.

【名師點睛】本題考查分類計數(shù)的加法原理，對于此類問題，首先應分清是用分步計數(shù)還是

分類計數(shù).

17.大學生小王和小張即將參加實習，他們分別從荊州市荊州中學，荊門市龍泉中學、鐘祥

一中，襄陽市第四中學、第五中學，宜昌市第一中學、夷陵中學這七所省重點中學中隨機選

擇一所參加實習，兩人可選同一所或者兩所不同的學校，假設他們選擇哪所學校是等可能的，

則他們在同一個市參加實習的概率為

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】C

【分析】小王和小張他們選擇哪所學校是等可能的，兩人隨機選擇一所參加實習，共有49

種選法，乂他們到同個市參加實習共13種選法，利用古典概型求解即可.

9

【解析】由題意知，兩人從七所學校中隨機選擇一所參加實習，共有7x7=49種選法,

他們在同一個市參加實習共有1*1+2><2+2*2+2*2=13種選法，

所以他們在同一個市參加實習的概率為F,故選C

49

18.某公共汽車上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有

A.51°種B.d種

C.50種D.3024種

【試題來源】2020-2021學年高二數(shù)學單元測試定心卷（人教B版2019選擇性必修第二冊）

【答案】A

【分析】乘客下車這個事件可以考慮每個乘客的下車方式，應用分步乘法原理求解.

【解析】每位乘客都有5種不同的下車方式，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5",種可能的下

車方式，故選A.

19.從6種不同的顏色中選出一些顏色給如圖所示的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色,

且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法有

A.360種B.510種

C.630種D.750種

【試題來源】重慶市鳳鳴山中學校2021屆高三上學期10月月考

【答案】D

【分析】根據(jù)從6種顏色中選，給最左邊的個格子涂色有6種選擇，再根據(jù)相鄰的兩個格

子顏色不同，依次涂色，最后利用分步計數(shù)原理求解.

【解析】首先給最左邊的一個格子涂色有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，左邊第三

個格子有5種選擇，左邊第四個格子有5種選擇，

不同的涂色方法有6x5x5x5=750,故選D

20.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、

兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同

學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都

喜歡，如果三位同學對選取的禮物都滿意，則選法有

A.50種B.60種

10

C.90種D.180種

【試題來源】2021年高考一輪數(shù)學單元復習一遍過（新高考地區(qū)專用

【答案】A

【分析】分情況討論：若甲同學選擇牛或甲同學選擇馬，利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【解析】①若甲同學選擇牛，則乙同學有2種選擇，丙同學有10種選擇，選法種數(shù)為

2x10=20,

②若甲同學選擇馬，則乙同學有3種選擇，內(nèi)同學有10種選擇，選法種數(shù)為3x10=30,

綜上，總共有20+30=50種選法，故選A.

21.現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2

張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是

A.1024種B.1023種

C.1536種D.1535種

【試題來源】2021年高考數(shù)學【熱點。重點。難點】專練（上海專用）

【答案】D

【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張10（）元人民幣的取法，利用分步計數(shù)原理計算即

可.

【解析】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，

2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，

再減去這些人民幣全不取的1種情況，

所以共有29x3-1=1535種.故選D.

【名師點睛】誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不

取的1種情況，共有2">-1=1023種.

22.將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球

與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有

A.16種B.12種

C.9種D.6種

【試題來源】甘肅省會寧縣第二中學2019-2020學年高二下學期期中考試（理）

【答案】B

【分析】分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計數(shù)加法原理求解

11

即可.

【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況

時，放球方法有:

當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

因此，不同的放球方法有12種，故選B.

【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)加法原理的應用，解答這類問題理解題意很關鍵，一定

多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步“，在應用分類計數(shù)加

法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.

23.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個點涂色，要求每個點涂

一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有

A.192種

C.600種D.624種

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】C

【分析】由題意，點E,F,G分別有4,3,2種涂法，再分當A與尸相同、A與G相同和

A既不同于F又不同于G,三種情況討論，進而求解.

【解析】由題意，點E,F,G分別有4,3,2種涂法，

（1）當A與F相同時，A有1種涂色方法，此時8有2種涂色方法，

12

①若(7與/相同，則C有1種涂色方法，此時。有3種涂色方法；

②若C與尸不同，則。有2種涂色方法.

故此時共有4x3x2xlx2x(lx3+lx2)=240種涂色方法.

(2)當A與G相同時，A有1種涂色方法，

①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時2有2種涂色方法，。有2種涂色方法；

②若C與尸不同，則C有2種涂色方法，此時B有2種涂色方法，。有F種涂色方法.

故此時共有4x3x2x1x(lx2x2+2x2x1)=192種涂色方法.

(3)當A既不同于下又不同于G時，A有1種涂色方法.

①若8與F相同，則C與A相同時，。有2種涂色方法，C與A不同時，C和。均只有1

種涂色方法；

②若8與尸不同，則8有1種涂色方法，

(1)若C與尸相同，則C有1種涂色方法，此時。有2種涂色方法；

(2)若C與F不同，則必與A相同，C有1種涂色方法，此時。有2種涂色方法.

故此時共有4x3x2xlxlx[(lx2+lxl)+lx(lx2+lx2)]=168種涂色方法.

綜上，共有240+192+168=600種涂色方法.故選C.

【名師點睛】利用兩個計數(shù)原理解題的策略：

(1)利用分類計數(shù)原理解題分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，

并且分步屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，分類時除了不能交叉重復外,

還不能有遺漏：

(2)利用分步計數(shù)原理解題時要注意按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步時有先有后順序

的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才

算完成這件事，分步必須滿足兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾：二是步與步之間

確保連續(xù)，逐步完成.

24.已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,8是尸的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)

小于B中的最小數(shù)的集合對(A,8)的個數(shù)為

A.49B.48

C.47D.46

【試題來源】江蘇省揚州中學2020-2021學年高一上學期10月月考

13

【答案】A

【分析】利用分類計數(shù)法，當A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時確定A的集合數(shù)量，并得

到對應3的集合個數(shù)，它們在各情況下個數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.

【解析】集合尸={1,2,3,4,5}知

1、若A中的最大數(shù)為1時，B中只要不含1即可：A的集合為{1},

而8有2"-1=15種集合，集合對（4，8）的個數(shù)為15；

2、若A中的最大數(shù)為2時，8中只要不含1、2即可：

A的集合為{2},{1,2},而8有23-1=7種,

集合對（A,B）的個數(shù)為2x7=14；

3、若A中的最大數(shù)為3時，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有2?—1=3種，

集合對（A,8）的個數(shù)為4x3=12；

4、若A中的最大數(shù)為4時，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合為⑷,{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而B有2—1=1種，集合對（A,8）的個數(shù)為8x1=8；

所以?共有15+14+12+8=49個，故選A

【名師點睛】本題考查了分類計數(shù)原理，按集合最大數(shù)分類求出各類下集合對的數(shù)量，應用

加法原理加總，屬于難題.

25.設/={1,2,3,4,},A與8是/的子集，若AnB={l,3},則稱（AB）為一個“理想配

集那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定（AB）與（3,A）是兩個不同的“理想配集”的個數(shù)

是

A.16B.9

C.8D.4

【試題來源】2021年新高考數(shù)學一輪復習講練測

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，子集A和8不可以互換，從子集A分類討論，結(jié)合計數(shù)原理，即可求

解.

14

【解析】由題意，對子集A分類討論：

當集合4={1,3},集合B可以是{123,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中結(jié)果；

當集合A={1,2,3},集合8可以是{L3,4},{1,3},共2種結(jié)果：

當集合A={L3,4},集合B可以是{1,2,3},{1,3},共2種結(jié)果;

當集合A={1,2,3,4},集合3可以是{1,3},共1種結(jié)果，

根據(jù)計數(shù)原理，可得共有4+2+2+1=9種結(jié)果.故選B.

【名師點睛】本題主要考查了集合新定義及其應用，其中解答正確理解題意，結(jié)合集合子集

的概念和計數(shù)原理進行解答值解答額關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.

二、多選題

1.某校實行選課走班制度，張毅同學選擇的是地理、生物、政治這三科，且生物在8層,

該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)

上自習，則下列說法正確的是

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學A層3班地理2班化學A層4班

生物4層1班化學8層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物8層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習不可能安排在第2節(jié)D.自習可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】BD

【分析】根據(jù)表格分類討論即可得到結(jié)果.

【解析】由于生物在8層，只有第2,3節(jié)有，故分兩類：

若生物選第2節(jié)，

15

則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，

其他兩節(jié)政治、自習任意選，

故有2x2=4種（此種情況自習可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）；

若生物選第3節(jié)，

則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習只能選第2節(jié)，故有1種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種.

綜上，自習可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).故選BD.

2.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知（1）甲在下落的過程中依

次撞擊到樹枝A,B,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝。，E,F；（3）丙在

下落的過程中依次撞擊到樹枝G,A,C;（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝8,D,

“；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝/,C，E,下列結(jié)論正確的是

A.最高處的樹枝為G、/當中的一個

B.最低處的樹枝一定是尸

C.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種

D.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種

【試題來源】遼寧省本溪市重點高中2020-2021學年高二12月月考

【答案】AC

【分析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為G4BCEF,還剩下￡>,H,I,且樹枝/

比。高，樹枝。在樹枝5，E之間，樹枝”比。低，根據(jù)/的位置不同分類討論，求得

這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.

【解析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為GABCEF,還剩下￡>,H,I,且樹枝/

比。高，樹枝。在樹枝B,E之間，樹枝”比。低，故A選項正確；

先看樹枝/，有4種可能，若/在B,C之間，

則。有3種可能：①。在8，/之間，”有5種可能；

②。在/,C之間，H有4種可能；

③。在C，E之間，，有3種可能，

此時樹枝的高低順序有5+4+3=12（種）.

若/不在8,C之間，則/有3種可能，。有2中可能，

若。在B,C之間，則〃有3種可能，

若。在C，E之間，則”有三種可能，

16

此時樹枝的高低順序有3X（4+3）=21（利可能，

故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12+21=33種，故C選項正確.故選AC.

【名師點睛】（I）解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進行分類：

二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即

先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：①不均勻

分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.

三、填空題

1.某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在

同一個食堂用餐的概率為.

【試題來源】江蘇省揚州市江都區(qū)大橋高級中學2020屆高三下學期學情調(diào)研（二）

【答案】T

【解析】由題意，三名學生各自隨機選擇兩個食堂中的一個用餐的情況共有2x2x2=8（種）,

其中他們在同一個食堂用餐的情況有2種，根據(jù)古典概型概率的計算公式得，所求概率為

2__[

8"4'

【名師點睛】此題主要考查有關計數(shù)原理、古典概型概率的計算等有關方面的知識和運算技

能，屬于中低檔題型，也是高頻考點.在計算占典概型中任意一隨機事件發(fā)生的概率時，關

鍵是要找出該試驗的基本事件總數(shù)和導致事件發(fā)生的基本事件數(shù)，在不同情況下基本事件數(shù)

的計算可能涉及排列、組合數(shù)的計算和使用分類計數(shù)、分步計數(shù)原理.

2.某同學從4本不同的科普雜志、3本不同的文摘雜志、2本不同的娛樂新聞雜志中任選一

本閱讀，則不同的選法共有種.

【試題來源】陜西省西安市藍田縣2019-2020學年高二下學期期末（理）

【答案】9

【分析】根據(jù)題意，由分類加法原理完成選書這件事.即可得.

【解析】根據(jù)題意，選取的雜志可分三類：科普，文摘，娛樂新聞.

共4+3+2=9：種不同選法.

故答案為9.

【名師點睛】本題考查計數(shù)原理，解題關鍵是確定完成事件的方法，本題可用分類加法原理.

17

3.已知某體育場有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為.

【試題來源】廣東省佛山市禪城區(qū)2019-2020學年高二下學期期末

【答案】12

【分析】根據(jù)題意，分別分析進門和出門的走法，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.

【解析】根據(jù)題意，某體育場有4個門，從一個門進，有4種走法，

另一個門出，有3種走法，

則有4x3=12種不同的走法.

故答案為12.

【名師點睛】本題考查分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.

4.在一次球隊淘汰錦標賽（一次失利，該隊就淘汰）中，有25支隊伍參賽，要產(chǎn)生唯一的錦

標賽冠軍，必須進行場比賽.

【試題來源】云南省昆明市第一中學2020-2021學年高一上學期新課標數(shù)學入學測試試題

【答案】24

【分析】根據(jù)淘汰規(guī)則可知，先進行12場比賽淘汰12支隊伍，然后再進行6次比賽淘汰6

支隊伍，如此類推可得答案.

【解析】由題意可得，25進13要賽12場，13進7要賽6場，7進4要賽3場，4進2要賽

2場，決賽要賽1場，所以一共耍賽12+6+3+2+1=24場，

故答案為24.

【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理，分清類型是求解的關鍵，注意與分步計數(shù)原理的

區(qū)別，屬于容易題.

5.一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中任取一本，則

不同的取法有種.（以數(shù)字作答）

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】37

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，由題中條件，即可得出結(jié)果.

【解析】一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中任取一

本，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法有12+14+11=37種，

故答案為37.

6.如圖，在由電鍵組A與8組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個電鍵）中，

18

接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種.

【試題來源】人教B版(2019)選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

項式定理

【答案】6

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，由題中條件，即可求出結(jié)果.

【解析】要完成的"一件事''是"使燈泡發(fā)光”，只有先合上A組中2個電鍵中的任意一個，再

合上B組中3個電鍵中的任意一個時，接通電源，燈泡才能發(fā)光.

因此要完成這件事，需要分步，只有各個步驟都完成才能使燈泡發(fā)光，

所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有2x3=6種.

故答案為6.

7.某儲蓄卡密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0-9中任選一個，則可設置的銀行卡密碼

共有種.

【試題來源】湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高二上學期期末

【答案】1()6

【分析】利用乘法原理即可.

【解析】每位上的數(shù)字有10個數(shù)字可選，由乘法原理總共有1()6種.

故答案為IO，

8.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個部分進行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一

種顏色，共有種不同著色方法

【試題來源】江蘇省常州市新橋高級中學2019-2020學年高二下學期期中

【答案】260

19

【分析】先排i,然后排ii,iv,最后排ni,由此求得不同著色方法數(shù).

【解析】先排I，有5種方法；

然后排ILIV,最后排ni：

①當II,IV相同時，方法有4x4和，，故方法數(shù)有5x4x4=80種.

②當n,IV不同時,方法有4x3x3種，故方法數(shù)有5x4x3x3=180種.

綜上所述，不同的著色方法數(shù)有80+180=260種.

故答案為260

【名師點睛】本題主要考查分類加法、分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.

9.學校食堂在某天中午備有6種素菜，4種葷菜，2種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐,

則可以配制出不同的套餐種.

【試題來源】貴州省畢節(jié)市威寧縣2019-2020學年高二下學期期末考試（理）

【答案】48

【分析】根據(jù)備有6種素菜，4種葷菜，2種湯，則葷菜有4種選法，素菜有6種選法，湯

菜有2種選法，然后再利用分步計數(shù)原理求解.

【解析】因為備有6種素菜，4種葷菜，2種湯，

所以葷菜有4種選法，素菜有6種選法，湯菜有2種選法，

所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有4x6x2=48種

故答案為48

【名師點睛】本題主要考查分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

10.汽車上有5名乘客，沿途有3個車站，每人在3個車站中隨機任選一個下車，直到乘客

全部下車，不同的下站方法有種.（用數(shù)字作答）

【試題來源】2021年新高考數(shù)學?輪復習學與練

【答案】243

【分析】由每位乘客可以在任意的車站下車，得到每位乘客下車的情況有3種，然后利用分

步計數(shù)原理求解.

【解析】因為每位乘客可以在任意的車站下車，

所以每位乘客下車的情況有3種，

所以5名乘客下客站的方法有3x3x3x3x3=243種.

20

故答案為243

【名師點睛】本題主要考查分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

11.某玩具廠參加2020年邯鄲園博園產(chǎn)品展出，帶了四款不同類型不同價格的玩具牛，它

們的價格費你別是20,30,50,100,某禮品進貨商想趁牛年之際搞一個玩具特賣會，準備

買若干款不同類型的玩具樣品（每款只購一只，且必須至少買一款），因信用卡出現(xiàn)故障，

身上現(xiàn)金只剩170元，請問該禮品進貨商購買玩具樣品的方案有種（用數(shù)字表示）.

【試題來源】河北省邯鄲市大名縣第一中學2020-2021學年高二上學期（普通班）10月月

考

【答案】13

【分析】依題意，每款只購一只，且必須至少買一款，且消費金額不能超過17（）元，分三種

情況討論，分別列出所有可能情況，即可得解；

【解析】依題意，每款只購一只，且必須至少買一款，且消費金額不能超過170元，

故可分為以下幾種情況：

①只購買一款玩具樣品，共四種方案

②購買兩款玩具樣品，

買20和30的各一只；買20和50的各一只；買20和100的各一只；買30和50的各一只；

買30和100的各一只；買50和100的各一只：共六種方案；

③購買三款玩具樣品

買20,30和50的各一只；買20,30和100的各一只；買20、50和100的各一只；

共3種方案：

所以購買玩具的方案共有13種；

故答案為13

【名師點睛】本題考查分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

12.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四個區(qū)域，現(xiàn)有5種不同的花供選種，要求在每

個區(qū)域種1種花，且相鄰的兩個區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為.

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第三章排列、組合與二

21

項式定理

【答案】260

【分析】根據(jù)題意，四個區(qū)域至少選用2種不同的花來種，可分三類：第一類，種2種不同

的花，第二類，種3種不同的花，第三類，種4種不同的花，分別求解即可.

【解析】根據(jù)題意，四個區(qū)域至少選用2種不同的花來種，可分三類：

第一類，種2種不同的花，有5x4=20種種法；

第二類，種3種不同的花，有2x（5x4x3）=120種種法；

第三類，種4種不同的花，有5x4x3x2=120種種法.

綜上，共有20+120+120=260種種法.

故答案為260.

13.三名參加過抗擊新冠疫情的醫(yī)務人員在疫情結(jié)束之后商定再次前往湖北的武漢、宜昌、

黃岡3個城市，如果三人均等可能的前往上述3個城市之一，那么他們恰好選擇同一個城市

的概率是.

【試題來源】四川省峨眉第二中學校2020-2021學年高三上學期11月月考（理）

【答案】|

【分析】三人前往3個城市的所有基本事件個數(shù)，再求出三人能去同一個城市的基本事件,