新高考數(shù)學一輪復習第8章 第11講 高考難點突破三 圓錐曲線的綜合問題（最值、范圍問題） 精講（教師版）

第11講高考難點突破三：圓錐曲線的綜合問題（最值、范圍問題）(精講）目錄第一部分：典型例題剖析題型一：橢圓中的最值、范圍問題角度1：橢圓中最值問題角度2：橢圓中參數(shù)范圍問題題型二：雙曲線中的最值、范圍問題角度1：雙曲線中最值問題角度2：雙曲線中參數(shù)范圍問題題型三：拋物線中的最值、范圍問題角度1：拋物線中最值問題角度2：拋物線中參數(shù)范圍問題題型一：橢圓中的最值、范圍問題角度1：橢圓中最值問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0.求四邊形面積的最小值.【答案】SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0存在且不為0時，設SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，由弦長公式可得SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0所以四邊形的面積為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，當直線SKIPIF1<0斜率不存在或者為0時，此時四邊形的面積為SKIPIF1<0∴四邊形面積的最小值為SKIPIF1<0.例題2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為左右焦點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓E上.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)過左焦點SKIPIF1<0且不垂直于坐標軸的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為原點，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取最大值時直線SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓方程，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)解：設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，從而點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大值為3.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時，直線l的方程為SKIPIF1<0.例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過橢圓SKIPIF1<0右焦點并垂直于SKIPIF1<0軸的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（點SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸上方）兩點，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）的面積為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)若直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0異于點SKIPIF1<0）兩點，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意可得SKIPIF1<0，∴由題意可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓的方程為：SKIPIF1<0．(2)解法1：由（1）可得SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0沒有斜率時，設方程為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此時P到直線l的距離為SKIPIF1<0設直線l有斜率時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設其方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立可得SKIPIF1<0且整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線方程為：SKIPIF1<0，直線恒過SKIPIF1<0，與P點重合，若SKIPIF1<0，則直線方程為：SKIPIF1<0，∴直線恒過定點SKIPIF1<0，∴P到直線l的距離的最大值為SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0∴點P到直線l距離的最大值SKIPIF1<0．解法2：公共點SKIPIF1<0，左移1個單位，下移SKIPIF1<0個單位，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等式兩邊同時除以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，右移1個單位，上移SKIPIF1<0個單位，過SKIPIF1<0，∴P到直線l的距離的最大值為SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0∴點P到直線l距離的最大值SKIPIF1<0．同類題型歸類練1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有相同的焦點SKIPIF1<0.(1)求橢圓的方程；(2)SKIPIF1<0為坐標原點，過焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有相同的焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓的方程為：SKIPIF1<0.(2)由（1）可知SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0.顯然SKIPIF1<0的斜率不為0.設直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當且僅當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時取等號,SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.2．（2022·江蘇·高二）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為坐標原點，點Q在橢圓C上，且滿足SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設P為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N兩點異于P點），且PM⊥PN，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因為橢圓的離心率為SKIPIF1<0，又點Q在橢圓C上，且滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為：SKIPIF1<0；(2)由題意知，直線l的斜率不為0，則不妨設直線l的方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立得SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡整理，得SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵PM⊥PN，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴直線l的方程為SKIPIF1<0，則直線l恒過點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．3．（2022·四川·綿陽中學實驗學校模擬預測（文））已知在平面直角坐標系中有兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面上一動點SKIPIF1<0到兩定點的距離之和為SKIPIF1<0．(1)求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)因為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0點軌跡是以SKIPIF1<0為焦點，SKIPIF1<0為長軸長的橢圓，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以軌跡方程為SKIPIF1<0；(2)當一條直線斜率不存在時，SKIPIF1<0代入橢圓方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此弦長SKIPIF1<0，另一直線斜率為0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當兩條直線斜率都存在且不為0時，設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．角度2：橢圓中參數(shù)范圍問題典型例題例題1．（2022·四川遂寧·三模（文））已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，坐標原點為O，離心率SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0；過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與C交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點．(1)求SKIPIF1<0的標準方程；(2)令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，若存在點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意可得：過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.(2)由（1）可知：SKIPIF1<0.可設直線PQ:SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，消去y，可得：SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0在橢圓內，所以直線PQ與橢圓恒有兩個交點，.SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.直線PQ的方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高三專題練習（理））已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的右焦點，過點SKIPIF1<0與坐標軸不垂直的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.(1)由題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0．(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以m的取值范圍為SKIPIF1<0．例題3．（2022·陜西西安·模擬預測（文））已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其右焦點，直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．(1)求橢圓的標準方程；(2)設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為銳角，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(1)設SKIPIF1<0為橢圓的左焦點，連接SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為：SKIPIF1<0．(2)設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.同類題型歸類練1．（2022·上海市建平中學高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，過x軸上的一點M（m，0）（SKIPIF1<0）作直線l交橢圓于A?B兩點.(1)若點M在橢圓內，①求多邊形SKIPIF1<0的周長；②求SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0的表達式；(2)是否存在與x軸不重合的直線l，使得SKIPIF1<0成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）①由橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓的定義知，多邊形SKIPIF1<0的周長為：SKIPIF1<0.②設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0.（2）存在直線l，使得SKIPIF1<0成立.理由如下：設直線l的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，恒成立，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0.2．（2022·北京東城·三模）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，長軸長為SKIPIF1<0.過右焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓C于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)設線段SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸異側時，求SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題可知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故橢圓C的方程為SKIPIF1<0.(2)當直線l的斜率不存在時，T到直線SKIPIF1<0的距離為1.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0消y，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及題意，可得SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0.因為點M，N位于x軸異側，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.線段SKIPIF1<0中點T的橫坐標為t，則SKIPIF1<0.T到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.綜上，T到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍為SKIPIF1<0.3．（2022·安徽省臨泉第一中學高二階段練習）已知SKIPIF1<0分別是長軸長為4的橢圓C：SKIPIF1<0的左右焦點，SKIPIF1<0是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于SKIPIF1<0的一個動點，O為坐標原點，點M為線段SKIPIF1<0的中點，且直線SKIPIF1<0與OM的斜率的積恒為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程(2)設過點SKIPIF1<0且不與坐標軸垂直的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點N，點N的橫坐標的取值范圍是SKIPIF1<0，求線段AB長的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由已知，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在橢圓上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.(2)設直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0.由韋達定理可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以線段AB的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已知條件得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0題型二：雙曲線中的最值、范圍問題角度1：雙曲線中最值問題典型例題例題1．（2022·浙江·高三專題練習）設雙曲線SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，虛軸長為SKIPIF1<0，兩準線間的距離為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，已知SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0到動直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：依題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0，依題意可知SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0上除頂點外任一點SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為4.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0上的一點SKIPIF1<0,且與SKIPIF1<0的漸近線相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別位于第一、第二象限，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(1)由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為雙曲線的頂點坐標滿足上式，所以C的方程為SKIPIF1<0.(2)由（1）可知，曲線C的漸近線方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，把①代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0②，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值是1.例題3．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）已知雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左?右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的右頂點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為坐標原點.①求證：點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標的積為定值；②求△SKIPIF1<0周長的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①證明見解析；②6.(1)設雙曲線SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.(2)①當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設其方程為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別相交知：直線SKIPIF1<0與雙曲線的漸近線不平行，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，綜上，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標的積為定值3.②法1：由①，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以△SKIPIF1<0周長的最小值為6.法2：由①SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以△SKIPIF1<0的周長的最小值為6.同類題型歸類練1．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩條準線之間的距離為1．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若點P為右準線上一點，直線PA與C交于A，M，直線PB與C交于B，N，求點B到直線MN的距離的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(1)由題意得SKIPIF1<0．設雙曲線C的焦距為2c，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以雙曲線C的標準方程SKIPIF1<0．(2)設SKIPIF1<0，則直線PA的方程為：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為直線PA與C交于A，M，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為直線PB的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為直線PB與C交于B，N，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以當SKIPIF1<0時，直線MN的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以直線MN過定點SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以直線MN過定點SKIPIF1<0．所以當SKIPIF1<0時，點B到直線MN的距離取得最大值為1．2．（2022·湖北·監(jiān)利市教學研究室高二期末）已知曲線SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左?右兩側的交點分別是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8(1)解：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為焦點的雙曲線，且實軸長為2，焦距為SKIPIF1<0，故曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；(2)解：由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，可設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值8.3．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中原點SKIPIF1<0為圓心），過雙曲線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）若雙曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求雙曲線離心率SKIPIF1<0的取值范圍；（2）求直線SKIPIF1<0的方程；（3）求三角形SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0及圓的性質，可知四邊形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故雙曲線離心率SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，所以以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0兩圓的公共弦所在的直線即為直線SKIPIF1<0，所以聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（3）由（2）知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．因為點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減．當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．綜上可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．角度2：雙曲線中參數(shù)范圍問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0第一象限SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上取滿足SKIPIF1<0的部分．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與x軸交點記作點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上一點，且在第一象限，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）過點SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0只有兩個交點，記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）由SKIPIF1<0，點A為曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的交點，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；（3）設直線SKIPIF1<0，可得原點O到直線l的距離SKIPIF1<0，所以直線l是圓的切線，設切點為M，所以SKIPIF1<0，并設SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0聯(lián)立，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，注意直線l與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，所以只有當SKIPIF1<0時，直線l才能與曲線SKIPIF1<0有兩個交點，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0舍去SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．例題2．（20