新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第07講 向量法求距離、探索性及折疊問題 講（教師版）

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測試第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問題題型四：立體幾何綜合問題第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測試第二部分：課前自我評(píng)估測試1．（2022·廣東茂名·高二期末）已知SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A依題意，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：A2．（2022·福建廈門·高二期末）直線l的方向向量為SKIPIF1<0，且l過點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到l的距離為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0，∴P到l距離SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)A到直線BC的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)A到直線BC的距離是SKIPIF1<0.故選：B4．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．11 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或－11.故選：C5．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高二開學(xué)考試）在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A以SKIPIF1<0為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，故SKIPIF1<0，故可設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選A.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2022·浙江紹興·高二期末）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由題意知，SKIPIF1<0，取AC的中點(diǎn)O，則SKIPIF1<0，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的長度為SKIPIF1<0，故點(diǎn)C到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：C.例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(0，1，1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為_______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0|SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故答案為:SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二期末）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)B到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A向量法，根據(jù)公式SKIPIF1<0即可求出答案.【詳解】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為SKIPIF1<0．故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是從點(diǎn)P出發(fā)的三條線段，每兩條線段的夾角均為60°，SKIPIF1<0，若M滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知棱長為3的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P在正方形SKIPIF1<0(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0解：以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0的截面為梯形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到線段SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度的最小值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長度的最大值為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的長度范圍為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0的距離為___________.【答案】SKIPIF1<0以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖A1(0,0,2)，C(0,2,0)，SKIPIF1<0,M(2,0,1)，B(2,0,0)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|＝SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離典型例題例題1．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D依題意，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·江蘇·高二期中）在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0所求距離為SKIPIF1<0．故選：C．例題3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱長均為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為______.【答案】SKIPIF1<0以C為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為y、z軸正方向，建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0，不妨設(shè)z=1，解得SKIPIF1<0,則所求距離為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒?jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸.因?yàn)檎襟w的邊長為4，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·重慶·高二期末）已知空間中四點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】C由題意，空間中四點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為SKIPIF1<0.故選：C.4．（2022·江蘇泰州·高二期末）長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為________．【答案】SKIPIF1<0解：在長方體SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·北京東城·高二期末）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為________.【答案】SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0題型三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2022·廣東茂名·高二期末）如圖1，在一個(gè)正方形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0內(nèi)，有一個(gè)小正方形和四個(gè)全等的等邊三角形.將四個(gè)等邊三角形折起來，使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合于點(diǎn)SKIPIF1<0，且折疊后的四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是SKIPIF1<0(如圖2)，則四棱錐SKIPIF1<0的體積是___________；若在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)放一個(gè)正方體，使正方體可以在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長的最大值為___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0在圖2中，連接AC，BD交于點(diǎn)O，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則O是正四棱錐外接球的球心，正四棱錐的所有棱都相等，設(shè)其為x，則外接球的半徑是OA=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SO=OA=SKIPIF1<0,故四棱錐S－ABCD的體積SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐S－ABCD的內(nèi)切球球心為Q，其半徑為R，連接QD、QA、QB、QC、QS，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，它們的高均為R，求出四棱錐的表面積：SKIPIF1<0，四棱錐的體積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)放入四棱錐S－ABCD內(nèi)部的小正方體棱長為a，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故a最大為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．（2022·山西·長治市第四中學(xué)校高一期中（理））如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，現(xiàn)將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，在折疊后的線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)存在，SKIPIF1<0(2)三棱錐A-CDF的體積的最大值為3，此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離為SKIPIF1<0(1)AD上存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF，此時(shí)SKIPIF1<0.理由如下：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，如圖，過點(diǎn)P作MP∥FD交AF于點(diǎn)M，連接ME，則SKIPIF1<0，∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，∴CP∥ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.(2)設(shè)BE＝x，則AF＝x(0<x≤4)，F(xiàn)D＝6－x，故SKIPIF1<0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，VA-CDF有最大值，且最大值為3，此時(shí)EC＝1，AF＝3，F(xiàn)D＝3，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在△ACD中，由余弦定理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，所成二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，此時(shí)恰有SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的長；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是正三角形，∴SKIPIF1<0，又∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(2)解：取SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面PCD的法向量為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)平面PCB的法向量為SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又二面角SKIPIF1<0為鈍二面角，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0；題型歸類練1．（多選）（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）重慶市第十一中學(xué)校高三年級(jí)某班組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為SKIPIF1<0，托盤由邊長為SKIPIF1<0的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的球的截面圓的面積為SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．球面上的點(diǎn)離球托底面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0【答案】AC對(duì)于A選項(xiàng)，分別取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為等邊三角形，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，所以，SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的球的截面圓的面積為SKIPIF1<0，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)檫^直線SKIPIF1<0有且只有一個(gè)平面與平面SKIPIF1<0平行，顯然平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不重合，故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，球心到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，球面上的點(diǎn)離球托底面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0，D錯(cuò).故選：AC.2．（2022·河北唐山·高一期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝SKIPIF1<0＝1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折疊，使ED⊥DC，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．圖1

圖2(1)求證：AM∥平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE；(3)求點(diǎn)D到平面BEC的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)SKIPIF1<0(1)證明：取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN＝SKIPIF1<0．，由已知AB∥CD，AB＝SKIPIF1<0，所以MN∥AB，且MN＝AB，所以四邊形ABNM為平行四邊形，所以BN∥AM，又因?yàn)锽N平面BEC，且AM平面BEC，所以AM∥平面BEC；(2)證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，因?yàn)镋D⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，故SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，所以BC＝SKIPIF1<0，在△BCD中，BD＝BC＝SKIPIF1<0，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，故BC⊥BD，因?yàn)镋D∩BD＝D，ED，BD?平面BDE，所以BC⊥平面BDE；(3)解法一：由（2）知BC⊥平面BDE，因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BCE，過點(diǎn)D作EB的垂線交BE于點(diǎn)G，∵平面BDE∩平面BCE＝BE，DG?平面BDE，則DG⊥平面BEC，所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長度，∵ED⊥平面ABCD，BD在平面ABCD內(nèi)，∴ED⊥BD，在三角形BDE中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于SKIPIF1<0.解法二：由（2）BC⊥平面BDE，BE?平面BDE，所以BC⊥BE，因?yàn)镈E＝1，SKIPIF1<0，所以BD＝SKIPIF1<0，BC＝SKIPIF1<0，BE＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)D到平面BCE的距離為h，根據(jù)VD－BCE＝VE－BCD，由（2）可知ED⊥平面ABCD即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得h＝SKIPIF1<0，即點(diǎn)D到平面BCE的距離為SKIPIF1<03．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知梯形SKIPIF1<0，現(xiàn)將梯形沿對(duì)角線SKIPIF1<0向上折疊，連接SKIPIF1<0，問：(1)若折疊前SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，則在折疊過程中是否能使SKIPIF1<0？請(qǐng)給出證明；(2)若梯形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，折疊前SKIPIF1<0，當(dāng)折疊至面SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0時(shí)，二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)不能，證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)假設(shè)折疊過程中能使SKIPIF1<0．折疊前，假設(shè)SKIPIF1<0，E為垂足，連SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直．①折疊后，若SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的相交直線，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，故折疊前也應(yīng)有SKIPIF1<0②.顯然，①與②矛盾．故假設(shè)不能成立．即折疊過程中不能使SKIPIF1<0．(2)設(shè)折疊前SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為F，則由題意易知SKIPIF1<0．折疊前，在梯形SKIPIF1<0內(nèi)過B做SKIPIF1<0，垂足為G，則SKIPIF1<0．折疊后，因?yàn)槊鍿KIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的相交直線，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．解法①：過點(diǎn)C在平面SKIPIF1<0內(nèi)作SKIPIF1<0，H為垂足，連接SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．解法②：以F為原點(diǎn)，分別以FD、FC、FB為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則SKIPIF1<0．于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又觀察發(fā)現(xiàn)二面角SKIPIF1<0為鈍角，故二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．題型四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(1)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0.(2)解：由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此，在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例題2．（2022·遼寧·高三期末）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角為SKIPIF1<0時(shí)，求平面SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長．【答案】(1)證明見解析(2)1(1)由題意SKIPIF1<0兩兩垂直.所以以SKIPIF1<0分別作為SKIPIF1<0軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0．∵M(jìn)是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，N是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角為SKIPIF1<0時(shí)，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，如圖位置，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn).連接SKIPIF1<0由SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn),則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn),則SKIPIF1<0