新高考數(shù)學一輪復習第7章 第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積 精練（教師版）

第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·廣西玉林·高一期末）若一個圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個圓錐的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由題可知，該圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，因此，該圓錐表面積為SKIPIF1<0故選：A2．（2022·廣東梅州·高一期末）如圖，SKIPIF1<0是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知SKIPIF1<0為坐標原點，頂點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均在坐標軸上，且△AOB的面積為12，則SKIPIF1<0的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B畫出△AOB的原圖為直角三角形，且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.3．（2022·廣東茂名·高二期末）儲糧所用“鋼板倉”，可以看成由圓錐和圓柱兩部分組成的.現(xiàn)有一種“鋼板倉”，其中圓錐與圓柱的高分別是1m和3m，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，若要儲存300SKIPIF1<0的水稻，則需要準備這種“鋼板倉”的個數(shù)是（

）A．6 B．9 C．10 D．11【答案】C因為圓錐的高為1，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，所以圓錐的母線長為2，底面半徑為SKIPIF1<0，所以一個“鋼板倉”的體積為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以要儲存300SKIPIF1<0的水稻，則需要準備這種“鋼板倉”的個數(shù)為10個，故選：C4．（2022·遼寧錦州·高一期末）正三棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，斜高為SKIPIF1<0，則該三棱錐的側(cè)棱長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】D依題意作上圖，其中E是BC的中點，D是正三角形ABC的中心，并且SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；故選：D.5．（2022·上?！偷└街懈叨谀┬∶魍瑢W用兩個全等的六邊形木板和六根長度相同的木棍搭成一個直六棱柱SKIPIF1<0，由于木棍和木板之間沒有固定好，第二天他發(fā)現(xiàn)這個直六棱柱變成了斜六棱柱SKIPIF1<0，如圖所示.設直棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系無法確定【答案】A設底面面積為S，底面周長為C，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設斜棱柱的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選：A6．（2022·湖南常德·高一期末）軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長為SKIPIF1<0，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D軸截面如圖所示，設內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球體積為SKIPIF1<0，故選：D7．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知平面四邊形ABCD，連接對角線BD，得到等邊三角形ABD和直角三角形BCD，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將平面四邊形ABCD沿對角線BD翻折，得到四面體SKIPIF1<0，則當四面體SKIPIF1<0的體積最大時，該四面體的外接球的表面積為（

）A．12π B．18π C．21π D．28π【答案】C因為底面SKIPIF1<0為正三角形，所以底面SKIPIF1<0面積為定值，所以當SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，四面體ABCD的體積最大.設SKIPIF1<0外接圓圓心為SKIPIF1<0,則四面體ABCD的外接球的球心SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，因此外接球的半徑SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0從而外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.8．（2022·重慶市第七中學校高一期末）如圖所示，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，并連接SKIPIF1<0，當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因為SKIPIF1<0的面積不變，要使體積最大，需D到平面ABC的距離最大，即當平面ACDSKIPIF1<0平面ABC時，體積最大，因為SKIPIF1<0等腰直角三角形，取AC中點E,則DESKIPIF1<0平面ABC，高為DE=SKIPIF1<0最大，AC=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，BC=SKIPIF1<0，AB=SKIPIF1<0，所以EB=SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中BD=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即得空間中SKIPIF1<0即AB為球的直徑，故半徑SKIPIF1<0，所以外接球的表面積SKIPIF1<0.故選:D.二、多選題9．（2022·重慶八中高一期末）某工廠生產(chǎn)出一種機械零件，如圖所示零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺SKIPIF1<0，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，則下列說法正確的有（

）A．該圓臺的高為SKIPIF1<0B．該圓臺軸截面面積為SKIPIF1<0C．該圓臺的體積為SKIPIF1<0D．一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為10cm【答案】BCD如圖，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則圓臺的高為SKIPIF1<0，A錯誤；圓臺的軸截面面積為SKIPIF1<0，B正確；圓臺的體積為SKIPIF1<0，C正確；將圓臺一半側(cè)面展開，如圖中SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，圓臺對應的圓錐一半側(cè)面展開為扇形SKIPIF1<0，由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為8cm，底面半徑為4cm，側(cè)面展開圖的圓心角為SKIPIF1<0，連接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，則SKIPIF1<0，所以沿著該圓臺表面從點C到AD中點的最短距離為10cm，故D正確．故選：BCD.10．（2022·安徽宣城·高一期末）已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則（

）A．正四面體的棱長為6 B．正四面體的內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0C．正四面體的外接球的體積為SKIPIF1<0 D．線段SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABD設這個四面體的棱長為SKIPIF1<0，則此四面體可看作棱長為SKIPIF1<0的正方體截得的，所以四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球直徑為正方體的對角線長，設外接球的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面體的高為SKIPIF1<0，則等體積法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以A正確，所以SKIPIF1<0，所以外接球的體積為SKIPIF1<0，所以C錯誤，因為內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0，所以B正確，線段SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以D正確，故選：ABD三、填空題11．（2022·上海市青浦高級中學高一期末）設地球半徑為R，地球上北緯30°圈上有A，B兩點，點A在西經(jīng)10°，點B在東經(jīng)110°，則點A和B兩點東西方向的距離是___________.【答案】SKIPIF1<0如圖示，設SKIPIF1<0為北緯30°圈的圓心，地球球心為O，則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即北緯30°圈的圓的半徑為SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0,故點A和B兩點東西方向的距離即為北緯30°圈上的SKIPIF1<0的長，故SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0,故答案為：SKIPIF1<012．（2022·廣東·高二期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉孺．如圖，在塹堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則鱉臑SKIPIF1<0的外接球的表面積為__________．【答案】SKIPIF1<0塹堵SKIPIF1<0的外接球即為鱉臑SKIPIF1<0外接球，又可將塹堵SKIPIF1<0補成長方體，長方體的外接球即為塹堵SKIPIF1<0的外接球，長方體的外接球直徑為SKIPIF1<0，所以鱉臑SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，∴鱉臑SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．（2022·廣東佛山·高一期末）如圖，一個高為8的三棱柱形容器中盛有水，若側(cè)面SKIPIF1<0水平放置時，水面恰好過AC，BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點E，F(xiàn)，G，H．(1)直接寫出直線FG與直線SKIPIF1<0的位置關(guān)系；(2)有人說有水的部分呈棱臺形，你認為這種說法是否正確？并說明理由．(3)已知某三棱錐的底面與該三棱柱底面SKIPIF1<0全等，若將這些水全部倒入此三棱錐形的容器中，則水恰好裝滿此三棱錐，求此三棱錐的高．【答案】(1)異面(2)不是棱臺，理由見詳解(3)18(1)因為水面恰好過AC，BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點E，F(xiàn)，G，H，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以直線FG與直線SKIPIF1<0不可能平行，而面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線FG與直線SKIPIF1<0不可能是相交直線，所以直線FG與直線SKIPIF1<0是異面直線；(2)因為棱臺各側(cè)棱交于一點，易知SKIPIF1<0無交點，所以該幾何體不是棱臺；(3)設此三棱錐的高為SKIPIF1<0，底面面積為S，容器中水的形狀為棱柱，體積為SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即三棱錐的高為1814．（2022·重慶市巫山大昌中學校高一期末）如圖，AB是圓柱SKIPIF1<0的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知SKIPIF1<0，(1)求該圓柱的表面積；(2)將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求SKIPIF1<0的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由題意知AB是圓柱SKIPIF1<0的一條母線，BC過底面圓心O，且SKIPIF1<0，可得圓柱的底面圓的半徑為SKIPIF1<0，則圓柱的底面積為SKIPIF1<0，圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0所以圓柱的表面積為SKIPIF1<0．(2)由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，所以以SKIPIF1<0繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：SKIPIF1<0．B能力提升1．(多選）（2022·海南·高一期末）已知正四棱臺SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．正四棱臺的側(cè)棱長為SKIPIF1<0 B．側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0C．正四棱臺的側(cè)面積為SKIPIF1<0 D．正四棱臺的外接球體積為SKIPIF1<0【答案】ABD設正四棱臺的高為k，由題意可知該四棱臺的上下底面面積分別為1和4，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，易知點G在線段AC上，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即側(cè)棱與下底面所成的角為SKIPIF1<0，故B正確；在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，所以梯形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，因此正四棱臺的側(cè)面積為SKIPIF1<0，故C錯誤；設正方形SKIPIF1<0的中心為O，易知SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，由正四棱臺的對稱性可知，點O到正四棱臺的8個頂點的距離均相等，即外接球的半徑為SKIPIF1<0，則正四棱臺的外接球體積為SKIPIF1<0，故D正確．故選：ABD2．（2022·江蘇徐州·高一階段練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為6，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點，平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面為多邊形，則此多邊形的邊數(shù)為___________，截面多邊形的周長為___________.【答案】

五,

SKIPIF1<0.解：延長EF交DA的延長線于M,連接MC交AB于N,延長FE與DD1的延長線相交于點P,連接PC交C1D1于Q,連接EQ,則五邊形EFNCQ即為平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面.如圖所示：則有A1F=FA=AM=3,又因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，所以SKIPIF1<0，解得AN=2,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：QD1=2,QC1=4,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以五邊形EFNCQ的周長為SKIPIF1<0，故答案為：五；SKIPIF1<0.C綜合素養(yǎng)1．（2022·湖北·華中師大一附中高一期末）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的．因地方習俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形ABCD由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個六面體中內(nèi)切球半徑為__________，體積為__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0解：如圖所示：易知該幾何體是側(cè)棱長為1，以邊長為1的等邊三角形SKIPIF1<0為底的兩個正三棱錐組成，O為SKIPIF1<0的中心，即內(nèi)切球的球心，M為FB的中點，連接HM，作SKIPIF1<0，則ON為內(nèi)切球的半徑，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<02．（2022·浙江寧波·高二期末）如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊長為4的正三角形三邊SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0向上翻折至與平面SKIPIF1<0均成直二面角，得到幾何體SKIPIF1<0．則二面角SKIPIF1<0的余弦值為_____；幾何體SKIPIF1<0的外接球表面積為_____．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故矩形SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.根據(jù)圖形的對稱性，易得SKIPIF1<0為正三角形，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0（2）設幾何體SKIPIF1<0的外接球球心為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中心為SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0共線，如圖，設外接球半徑SKIPIF1<0，根據(jù)正三角形中的關(guān)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故外接球表面積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<03．（2022·山東菏澤·高一期中）在一個正方形SKIPIF1<0內(nèi)有一個小正方形ABCD和四個全等的等邊三角形（如圖1）．將四個等邊三角形折起來，使SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合于點P，且折疊后的四棱錐SKIPIF1<0（如圖2）的外接球的表面積是SKIPIF1<0，則四棱錐S