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第06講向量法求空間角(含探索性問(wèn)題)(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分:典型例題剖析題型一:異面直線所成的角題型二:直線與平面所成的角角度1:求直線與平面所成角(定值問(wèn)題)角度2:求直線與平面所成角(最值問(wèn)題)角度3:已知線面角求其他參數(shù)(探索性問(wèn)題)題型三:二面角角度1:求平面與平面所成角(定值問(wèn)題)角度2:求平面與平面所成角(最值問(wèn)題)角度3:已知二面角求其他參數(shù)(探索性問(wèn)題)第四部分:高考真題感悟第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一:異面直線所成角設(shè)異面直線和所成角為,其方向向量分別為,;則異面直線所成角向量求法:①②知識(shí)點(diǎn)二:直線和平面所成角設(shè)直線的方向向量為,平面的一個(gè)法向量為,直線與平面所成的角為,則①;②.知識(shí)點(diǎn)三:平面與平面所成角(二面角)(1)如圖①,,是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線,則二面角的大?。?)如圖②③,,分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量,則二面角的大小滿足:①;②若二面角為銳二面角(取正),則;若二面角為頓二面角(取負(fù)),則;(特別說(shuō)明,有些題目會(huì)提醒求銳二面角;有些題目沒(méi)有明顯提示,需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.)第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試1.(2022·廣西南寧·一模(理))在正方體中O為面的中心,為面的中心.若E為中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】B設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,設(shè)異面直線與所成角為,則.故選:B2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在三棱錐中,平面,,,,分別是棱,,的中點(diǎn),,,則直線與平面所成角的正弦值為(
)A. B. C. D.【答案】B因?yàn)?,所以,因?yàn)槠矫妫矫?,所以,以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),以所在的直線為軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,,,設(shè)平面的法向量為,所以有,設(shè)直線與平面所成角為,所以,故選:B3.(2022·全國(guó)·高二)點(diǎn)A,B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x,y正半軸上,點(diǎn)C(0,0,2),平面ABC的法向量為,設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ,則cosθ的值為(
)A. B. C. D.【答案】D設(shè)平面ABO的法向量為,設(shè),則,于是有:,因此,故選:D4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在三棱錐中,,,平面,點(diǎn)M,N分別為,的中點(diǎn),,Q為線段上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A,B),若使異面直線與所成角的余弦值為,則(
)A.或4 B. C. D.【答案】D如圖,在三棱錐中,,,∴.∵PB⊥平面ABC,以B為原點(diǎn),為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可知,.因?yàn)椋?所以PB=4,則P(0,0,4).設(shè),且0<λ<1,則,可知,所以,,因?yàn)楫惷嬷本€PM與CQ所成的角的余弦值為,所以解得:或(舍去).所以.故選:D5.(2022·全國(guó)·高二)在三棱錐中,,,兩兩垂直,為棱上一動(dòng)點(diǎn),,.當(dāng)與平面所成角最大時(shí),與平面所成角的正弦值為(
)A. B. C. D.【答案】C,且,平面,易證平面,則與平面所成角為,,當(dāng)取得最小值時(shí),取得最大值在等腰中,當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),取得最小值.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,則,,設(shè)平面的法向量為,則,即令,得.因?yàn)椋耘c平面所成角的正弦值為.故選:C第三部分:典型例題剖析第三部分:典型例題剖析題型一:異面直線所成的角典型例題例題1.(2022·江蘇泰州·高二期末)在平行六面體中,,,,,則與所成角的正弦值為(
)A. B. C. D.【答案】D解:,則,,,,,,所以,故選:D例題2.(2022·安徽·高二期末)直角梯形中,是邊的中點(diǎn),將三角形沿折疊到位置,使得二面角的大小為,則異面直線與所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】D建如圖所示空間直角坐標(biāo)系,得,,所以,所以.故選:D例題3.(2022·廣西·高三階段練習(xí)(文))某圓錐的正視圖如圖所示,為該圓錐的頂點(diǎn),分別是圓錐底面和側(cè)面上兩定點(diǎn),為其底面上動(dòng)點(diǎn).四點(diǎn)在其正視圖中分別對(duì)應(yīng)點(diǎn).若,,,則異面直線與所成角最大時(shí),的長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.【答案】B根據(jù)題意還原圓錐,建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)在軸正半軸原點(diǎn)與底面圓周的交點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng),因?yàn)閳A錐母線為2,且在正視圖中,,,所以底面圓直徑為,底面半徑為,設(shè).所以,,,,所以,,設(shè)異面直線與所成角為,所以,要使異面直線與所成角最大,即最小,故當(dāng)時(shí),取最小值,所成角最大,此時(shí).故選:B.例題4.(2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)(理))現(xiàn)有四棱錐(如圖),底面是矩形,平面.,,點(diǎn),分別在棱,上.當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí),異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】##將沿旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi),如下圖所示,設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為,線段與的交點(diǎn)為,此時(shí)空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)最小,因?yàn)?,所以,同理可得:,因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以,又因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,異面直線PE與DF所成角的余弦值為:,故答案為:題型歸類練1.(2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí))已知在四棱柱中,底面為正方形,側(cè)棱底面.若,,是線段的中點(diǎn),,則異面直線與所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】B建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,所以異面直線與所成角的余弦值為,故選:B2.(2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè))在三棱錐中,平面ABC,,是正三角形,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),則直線MN,PB所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】D如圖,以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)則,則直線MN,PB所成角的余弦值為故選:D.3.(2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑,在鱉臑中,平面BCD,,且,M為AD的中點(diǎn),則異面直線BM與CD夾角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】A如圖,正方體內(nèi)三棱錐A-BCD即為滿足題意的鱉臑,以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則,,,,,則,,,則異面直線BM與CD夾角的余弦值.故選:A.4.(2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè))如圖所示,是棱長(zhǎng)為的正方體,、分別是下底面的棱、的中點(diǎn),是上底面的棱上的一點(diǎn),,過(guò)、、的平面交上底面于,在上,則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】##以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、、、,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面平面,所以,,設(shè)點(diǎn),,,因?yàn)?,所以,,即點(diǎn),,,所以,.因此,異面直線與所成角的余弦值為.故答案為:.5.(2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二期末(理))空間四邊形中,,,,,,,則與所成角的余弦值等于___________.【答案】,,所以,,所以,.所以,與所成角的余弦值為.故答案為:.6.(2022·山西太原·一模(理))已知在三棱錐中,平面,,,若三棱錐的外接球體積為,則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】##0.5在三棱錐中,因平面,平面,則,,而,,平面,因此,平面,又平面,則,取PC中點(diǎn)O,連接BO,AO,如圖,于是得,即有O是三棱錐的外接球球心,由得:,,而,則有,而,,則,從而有,所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為:題型二:直線與平面所成的角角度1:求直線與平面所成角(定值問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·江蘇·南京師大附中高二期末)已知正方體的棱長(zhǎng)為4,在棱上,且1,則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】如圖所示,以為原點(diǎn),方向?yàn)檩S,建立空間直角坐標(biāo)系,所以有,,,,,,則,,,設(shè)平面的法向量,則由,令,得,設(shè)直線BM與平面所成角為,則,故答案為:.例題2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,在正方體中,分別為棱,的中點(diǎn),則與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】在正方體中以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,.所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,取,則,設(shè)與平面所成角為,則.故答案為:例題3.(2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中)已知是圓柱底面圓的一條直徑,是圓柱的一條母線,為底面圓上一點(diǎn),且,,則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_______.【答案】##是底面圓直徑,則,又是圓柱母線,則平面,以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,所以,而,所以四邊形是正方形,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取得,,設(shè)直線PC與平面PAB所成角為,所以,故答案為:.例題4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在三棱錐中,??兩兩垂直,,,,是的中點(diǎn),則與平面所成的角的正切值為_(kāi)__________.【答案】2因?yàn)閮蓛纱怪?,所以以為原點(diǎn),分別為軸的正半軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,連接,所以,,,,,由于底面,所以是底面的法向量,且,設(shè)與平面所成的角為,所以,所以,所以.即與平面所成的角正切值為.故答案為:2.題型歸類練1.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是對(duì)角線BD1上的點(diǎn),且BE∶ED1=1∶3,則AE與平面BCC1B1所成的角的正弦值是___________.【答案】分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,令正方體棱長(zhǎng)為4,則,,,依題意,,,平面BCC1B1的一個(gè)法向量為=(0,4,0),設(shè)AE與平面BCC1B1所成的角為θ,則有,所以AE與平面BCC1B1所成的角的正弦值是.故答案為:2.(2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試)在菱形ABCD中,,將沿BD折疊,使平面ABD⊥平面BCD,則AD與平面ABC所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】取BD中點(diǎn)O,連接AO、CO,因?yàn)椋?、為等邊三角形,因?yàn)镺為BD中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,平面ABD,所以平面BCD,又平面BCD,所以,,以O(shè)為原點(diǎn),OC、OD、OA為x,y,z軸正方向建系,如圖所示,設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則所以,設(shè)平面ABC的法向量,則,即,令,則,即,設(shè)AD與平面ABC所成角為,則,所以AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為:3.(2022·海南·模擬預(yù)測(cè))在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn),,,若平面軸,且,則直線與平面所成的角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】解:,,由平面平行于y軸,可設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,所以,即,所以可取,所以,所以直線AC與平面所成的角的正弦值為.故答案為:4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,和所在平面垂直,且,,則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】設(shè),在平面、平面內(nèi)分別作直線的垂線、分別交、于點(diǎn)、,如下圖所示:因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,,平面,因?yàn)椋矫?,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、,,易知平面的一個(gè)法向量為,則,因此,直線與平面所成角的正弦值為.故答案為:.角度2:求直線與平面所成角(最值問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·福建南平·高一期末)如圖,正方體中,,,,當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí),(
)A. B. C. D.【答案】C如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則,所以,,,設(shè)平面的法向量為,則,∴,令,可得,又,設(shè)直線與平面所成的角為,則,又,∴當(dāng)時(shí),有最大值,即直線與平面所成的角最大.故選:C.例題2.(2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試)在三棱錐中,所有棱的長(zhǎng)均為,點(diǎn)在棱上,滿足,點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線與平面所成角為,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】A取中點(diǎn),連接;三棱錐各棱長(zhǎng)均為,在底面內(nèi)的投影為的中心,;以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S,作的平行線作為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,;軸平面,平面的一個(gè)法向量;設(shè),,,,即,,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),;設(shè),則;當(dāng)時(shí),,,;綜上所述:的最小值為.故選:A.例題3.(2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開(kāi)學(xué)考試)如圖,在直三棱柱中,,,分別為線段,,的中點(diǎn),為線段上的動(dòng)點(diǎn),,,,.試確定動(dòng)點(diǎn)的位置,使線段與平面所成角的正弦值最大.【答案】(1)(2)平面,由(1)得三線兩兩重直,以為原點(diǎn),以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則,,設(shè)平面的法向量為,則令得,設(shè),則,,設(shè)直線與平面所成的角為,則,若,此時(shí),點(diǎn)與重合;若,令,則,當(dāng),即為的中點(diǎn)時(shí),取得最大值.例題4.(2022·湖南·模擬預(yù)測(cè))已知,如圖四棱錐中,底面為菱形,,,平面,,分別是,中點(diǎn),點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明:平面;(2)請(qǐng)確定點(diǎn)的位置,使得直線與平面所成的角取最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)F為PC的中點(diǎn)(1)連接AC,∵底面ABCD為菱形,,∴△ABC為正三角形,∵E是BC的中點(diǎn),∴,又,∴,∵平面ABCD,平面ABCD,∴,∵,PA、平面PAD,∴平面PAD,(2)由(1)知,AE、AD、AP兩兩垂直,故以AE、AD、AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,∴,,.設(shè),.設(shè)平面PCD的法向量為,則令,則,,∴.設(shè)直線AF與平面PCD所成的角為,則,當(dāng)時(shí),最大,此時(shí)F為PC的中點(diǎn).題型歸類練1.(2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知圓錐的高是底面上圓的直徑,,是圓上的動(dòng)點(diǎn),是的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值的最大值為(
)A. B. C. D.1【答案】C做交圓上一點(diǎn),以為原點(diǎn),所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè),則,且,當(dāng)時(shí),與重合,此時(shí)構(gòu)不成平面,當(dāng)時(shí),與重合,此時(shí)構(gòu)不成平面,即,,所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,即,令,則,所以,設(shè)直線與平面所成的角為,,令,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,,直線與平面所成角的正弦值的最大值為.故選:C.2.(2022·安徽·高二開(kāi)學(xué)考試)已知正方體的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在上底面內(nèi)(不包含邊界),若,則AE與平面所成角的正弦值的最大值為(
)A. B.C. D.【答案】C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,.,即,∴,∴點(diǎn)E為在四邊形內(nèi),以為圓心,1為半徑的四分之一圓上,設(shè),且,∴,,.設(shè)平面的法向量,則,令,則.設(shè)AE與平面所成角為,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值.故選:C.3.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體中,點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足,則直線與直線所成角的余弦值的最大值為_(kāi)______【答案】解:取的中點(diǎn),作點(diǎn)在平面內(nèi)的投影,過(guò)作交于點(diǎn),連結(jié)、,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,根據(jù)題意,得,0,,,0,,,,,,,,設(shè),,,則,,,,,,,0,,,,,,記為直線與直線所成的角,則即為直線與直線所成的角,,點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)是以為圓心,為半徑的單位圓,,,又為銳角或直角,,直線與直線所成角的余弦值的最大值為.故答案為:.4.(2022·江蘇淮安·高二期末)已知四棱錐的底面為正方形,側(cè)面PAD為等腰直角三角形,,平面平面ABCD,平面平面.(1)求證:平面PAD;(2)設(shè)M為l上一點(diǎn),求PC與平面MAD所成角正弦值的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)(1)由題意知,因?yàn)槠矫鍼AB,平面PAB,所以CD//平面PAB.因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,所以;因?yàn)椋矫鍼AD⊥平面ABCD,平面平面,CD平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又,所以平面PAD;(2)取AD中點(diǎn)O,連接PO,由△PAD為等腰直角三角形知.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面平面,平面PAD.所以PO⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則有,設(shè),則,則有,,設(shè)平面MAD的一個(gè)法向量,則有.即,令有,,設(shè)PC與平面MAD所成角為,則,令,,則,當(dāng)即時(shí),有最小值,即PC與平面MAD所成角正弦值的最小值為.5.(2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè))如圖,在直三棱柱中,,M為的中點(diǎn).(1)若,證明:平面;(2)若是正三角形,P為線段上的動(dòng)點(diǎn),求與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:在直三棱柱中,平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以,又在矩形中,,,即,所以,因?yàn)椋矫?,所以平面?2)解:取的中點(diǎn)為,連接,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,取的中點(diǎn),連接,同理可得平面,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè),,則,易知平面的法向量為,設(shè)與平面所成角為,設(shè),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以關(guān)于單調(diào)遞減,故,綜上可得角度3:已知線面角求其他參數(shù)(探索性問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·湖南·模擬預(yù)測(cè))如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn).(1)求證:當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),平面;(2)當(dāng)點(diǎn)位于線段的什么位置時(shí),與平面所成角的正弦值為,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)或時(shí),與平面所成角的正弦值為,理由見(jiàn)解析(1)連接,,∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn),四邊形為矩形,∴,,三點(diǎn)共線,則點(diǎn)為的中點(diǎn).∵點(diǎn),分別為和的中點(diǎn),∴.在直三棱柱中,,∴平面,又平面,∴.又,∴四邊形為正方形,∴.∵,∴平面.∵,∴平面.(2)以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè),設(shè),∴,即,∴.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,.由,得,令,得,又.設(shè)與平面所成角為,由題意得,求得或.故當(dāng)或時(shí),與平面所成角的正弦值為.例題2.(2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))如圖,已知三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直,且,,、、分別是、、的中點(diǎn).(1)求平面與平面夾角的余弦值;(2)點(diǎn)在線段上,若直線與平面所成角的正弦值為時(shí),求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(1)∵、分別是、的中點(diǎn),∴,又三棱柱中,,故.又平面,平面,所以平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,所以,,取向量為平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面的法向量為,則,可得,令,則,,則,所以.由圖示得平面與平面的夾角為銳角,所以,平面與平面的夾角的余弦值是;(2)設(shè),,點(diǎn),所以,,,設(shè)平面的法向量為,則,可得,取,則,設(shè)直線與平面所成的角為,則,整理可得,即.,因?yàn)?,解?則,即線段的長(zhǎng)為.例題3.(2022·江蘇蘇州·高一期末)如圖,四棱錐中,平面,與底而所成的角為,底面為直角梯形,(1)求證:平面平面:(2)在線段上是否存在點(diǎn),使與平面所成的角為?若存在,求出有的值:若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在,理由見(jiàn)解析;(1)平面,與平面所成的角為,,分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,,所以,,所以,,即,且,所以平面,平面,所以平面平面.(2)存在,理由如下,,,,,,設(shè),所以,,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又,且,所以平面,所以是平面PAB的一個(gè)法向量,所以,解得,或,當(dāng)時(shí),點(diǎn)與重合,不符合題意,舍去,所以當(dāng)時(shí),CE與平面PAD所成的角為,且.題型歸類練1.(2022·陜西省安康中學(xué)高二期末(理))已知梯形如圖甲所示,其中,,,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,沿將四邊形折起,使得平面平面,得到如圖乙所示的幾何體.(1)求證:平面;(2)若點(diǎn)在線段上,且與平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析;(2).(1)∵平面平面,平面平面平面,,∴平面;(2)(2)建系如圖:設(shè)平面的法向量,,,,,,則,設(shè),,,解得或(舍),,∴.2.(2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖,三棱柱所有的棱長(zhǎng)為2,,M是棱BC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面ABC;(Ⅱ)在線段B1C是否存在一點(diǎn)P,使直線BP與平面A1BC所成角的正弦值為?若存在,求出CP的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)存在,.解:(1)證明:,,是中點(diǎn),,又,,,平面,(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由(1)知平面A1BC的法向量為,,,,,,令,則,設(shè)直線BP與平面A1BC所成角為,則,解得或(舍),所以當(dāng)時(shí),滿足題意,此時(shí).3.(2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末)如圖所示的幾何體中,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,F(xiàn)為PA的中點(diǎn),,,四邊形PDCE為矩形,線段PC交DE于點(diǎn)N.(1)求證:平面DEF;(2)在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q,使得BQ與平面BCP所成角的大小為?若存在,求出FQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,.(1)因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形,則N為PC的中點(diǎn),連接FN,如圖,在中,F(xiàn),N分別為PA,PC的中點(diǎn),則有,而直線平面DEF,平面DEF,所以平面DEF.(2)因平面,平面,則,而,以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,直角梯形中,,,則,,設(shè)平面PBC的法向量為,則,令,得,假定存在點(diǎn)Q滿足條件,設(shè),整理得,則,因?yàn)橹本€BQ與平面BCP所成角的大小為,所以,解得,即點(diǎn)Q與E重合,所以在線段EF上存在一點(diǎn)Q,使得BQ與平面BCP所成角的大小為,且.4.(2022·廣東廣州·高二期末)如圖,四棱錐的底面為矩形,底面ABCD.過(guò)AD的平面分別與線段相交于點(diǎn)E,F(xiàn).(1)證明:;(2)若,試問(wèn)是否存在平面,使得直線PB與平面所成角的正弦值為?若存在,求出此時(shí)BE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在,理由見(jiàn)解析,(1)因?yàn)?,平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,平面平面,所?(2)存在,理由如下,分別以所在的直線為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,設(shè),所以,,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,,令則,所以,設(shè)直線PB與平面所成角,所以,解得,所以時(shí),為的中點(diǎn)時(shí),此時(shí)存在平面,使得直線PB與平面所成角的正弦值為,此時(shí),.5.(2022·江蘇泰州·高二期末)如圖,在正四棱錐P-ABCD中,AC,BD交于點(diǎn)O,,.(1)求二面角的大小;(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q,使得PQ與平面APB所成角的正弦值為?若存在,指出點(diǎn)Q的位置;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在,當(dāng)Q為AD上靠近A的四等分點(diǎn)時(shí),PQ與平面APB所成角的正弦值為(1)由題意得平面ABCD,且,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OP為x,y,z軸正方向建系,如圖所示所以,所以,設(shè)平面PAB的法向量,則,即,令,可得,所以,因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,又因?yàn)?,,平面PAC,所以平面,所以即為平面的法向量,所以,又,由圖象可得二面角為銳二面角,所以二面角的大小為(2)假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)Q,滿足題意,設(shè),因?yàn)椋?,解得,所以,則,因?yàn)槠矫鍼AB的法向量,設(shè)得PQ與平面APB所成角為所以,解得或(舍)所以在線段AD上存在一點(diǎn)Q,使得PQ與平面APB所成角的正弦值為,此時(shí),即Q為AD上靠近A的四等分點(diǎn),題型三:二面角角度1:求平面與平面所成角(定值問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·廣東·興寧市第一中學(xué)高一階段練習(xí))若在正方體中,點(diǎn)E是的中點(diǎn),則二面角的平面角的正切值為(
).A. B.2 C. D.【答案】B以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則,,,,設(shè)平面的法向量為,則,解得:,令,則,所以,平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,可以看出為銳角,則,則,故.故選:B例題2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在正方體中,點(diǎn)為的中點(diǎn),則平面與平面所成角的正弦值為(
)A. B. C. D.【答案】B以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則,,,∴,設(shè)平面A1ED的法向量為,則有令得:,∴.∵平面ABCD的法向量為,∴,則,故平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為.故選:B例題3.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,書(shū)中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,四面體為鱉臑,平面,,且,,則二面角的正弦值為_(kāi)_____.【答案】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:,,,設(shè)平面APC的法向量為,∴不妨設(shè),則,設(shè)平面PBC的法向量為,∴不妨設(shè),則,,設(shè)為,則,.故答案為:題型歸類練1.(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))在四棱錐中,平面,是矩形,且,,,則平面與平面的夾角為(
)A. B. C. D.【答案】A因?yàn)槠矫?,是矩形,所以兩兩垂直,故以為坐?biāo)原點(diǎn),為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,又,,,所以,因?yàn)槠矫?,所以平面的一個(gè)法向量為,而,設(shè)平面的法向量為,則,取,則平面的法向量,,所以,由圖可知平面與平面的夾角為銳角,所以平面與平面的夾角為,故選:A.2.(2022·重慶長(zhǎng)壽·高二期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,書(shū)中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如下圖,四面體P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且,則二面角A-PC-B的余弦值為_(kāi)_________.【答案】##依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:,,,,所以,,,.設(shè)平面APC的法向量為,∴不妨設(shè),則,設(shè)平面PBC的法向量為,∴不妨設(shè),則,,設(shè)為,則.故答案為:3.(2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試)在長(zhǎng)方體中,AB=2,AD=1,,點(diǎn)E為的中點(diǎn),則二面角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,令,得,易知平面的一個(gè)法向量為,而二面角為銳角,故故答案為:角度2:求平面與平面所成角(定值探索性問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·河南·信陽(yáng)高中高二期末(理))如圖1,在等邊中,點(diǎn),分別為邊,上的動(dòng)點(diǎn)且滿足,記.將沿翻折到的位置并使得平面平面,連接,得到圖2,點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)當(dāng)平面時(shí),求的值;(2)試探究:隨著值的變化,二面角的大小是否改變?如果改變,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不改變,請(qǐng)求出二面角的正弦值大?。敬鸢浮?1)(2)不改變,(1)取的中點(diǎn)為,連接,,因?yàn)?,,所以NP∥BC,又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四點(diǎn)共面,又EN∥平面BMD,EN?平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即NEDP為平行四邊形,所以NP=DE,則DE=BC,即λ=.(2)取的中點(diǎn),連接MO,則MO⊥DE,因?yàn)槠矫鍹DE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,,,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,即.又平面的法向量,所以,即隨著值的變化,二面角的大小不變.且.所以二面角的正弦值為.例題2.(2022·云南·彌勒市一中高二階段練習(xí))如圖,在四棱錐中,,底面為直角梯形,,,,,,為棱上異于,的點(diǎn).(1)若為棱的中點(diǎn),求證:直線平面;(2)若存在點(diǎn)為棱上異于,的點(diǎn),使得直線與所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,如圖,為的中點(diǎn),,且,又,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面.平面.直線平面;(2)解:由題意知,,,,,即,又,,平面,平面,平面,,又,,,兩兩相互垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,設(shè),則,,在棱上,設(shè),即,,易知平面的法向量為,,設(shè)與平面所成角為,則,解得,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令,則,,則,,由題知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.題型歸類練1.(2022·貴州黔西·高二期末(理))如圖,在四棱錐中,,,,,,,都在平面的上方.(1)證明:平面平面;(2)若,且平面CDE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為,求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)2(1),又所以,,所以平面,又平面所以,平面平面.(2)因?yàn)椋Y(jié)合(1)問(wèn)易得兩兩互相垂直,所以建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)AD=t,則:,,所以,,設(shè)平面的法向量為由得令則又平面ABE所以取平面ABE的法向量為解得或(舍).即,所以四邊形ABCD的面積,由題知,,平面ABCD所以BE為四棱錐的高,所以四棱錐的體積為.故四棱錐的體積為2.2.(2022·江蘇常州·高二期末)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1為正方形,四邊形AA1C1C為菱形,且∠AA1C=60°,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn).(1)求證:AA1⊥CD;(2)棱B1C1(除兩端點(diǎn)外)上是否存在點(diǎn)M,使得二面角B-A1M-B1的余弦值為?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)或者為靠近端的八等分點(diǎn).(1)取棱的中點(diǎn)O,連接.因?yàn)樗倪呅问橇庑危?,又因?yàn)?,所以為等邊三角形,所以.因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻襉、D分別是的中點(diǎn),所以,又平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以?2)因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,且平面,所以平面.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則點(diǎn).設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則由及,得,不妨取得.假設(shè)棱上(除端點(diǎn)外)存在點(diǎn)M滿足題意,令得,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則由及,得,不妨取,得.由,解得或,所以存在點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)或者為靠近端的八等分點(diǎn).3.(2022·福建·莆田一中高二期末)如圖,在三棱錐中,.(1)證明:平面平面.(2)若點(diǎn)Q在棱上,且與平面所成角的正弦值為,求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:取的中點(diǎn),連接、.因?yàn)?,則,所以,即.又,平面,所以平面,而平面,所以平面平面.(2)解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則,則,,,.令,則.設(shè)平面的法向量為,則,?。O(shè)直線與平面所成的角為,則,解得或(舍去),故設(shè)平面的法向量為,所以,?。浂娼堑钠矫娼菫?,所以.4.(2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí))如圖1,在平面四邊形PDCB中,,,,.將沿BA翻折到的位置,使得平面平面ABCD,如圖2所示.(1)設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l,求證:BC⊥l;(2)點(diǎn)Q在線段SC上(點(diǎn)Q不與端點(diǎn)重合),平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為,求線段BQ的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).(1)依題意,,因?yàn)?,所以,由于平面平面ABCD,且交線為AB,平面ABCD,所以平面SAB,因?yàn)閘是平面SDC與平面SAB的交線,所以平面SAB,故.(2)由上可知,平面SAB,所以,由題意可知,,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB,AS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,,設(shè)是平面QBD的一個(gè)法向量,則,令,可得由于是平面CBD的一個(gè)法向量,依題意,二面角的余弦值為,所以,解得,此時(shí),,即線段BQ的長(zhǎng)為.角度3:已知二面角求其他參數(shù)(最值探索性問(wèn)題)典型例題例題1.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))長(zhǎng)方體,,,點(diǎn)在長(zhǎng)方體的側(cè)面上運(yùn)動(dòng),,則二面角的平面角正切值的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B如圖以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)表示如下:B(1,1,0),D1(0,0,2),A(1,0,0),又即,,所以所以點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)的軌跡為由點(diǎn)C到BB1四等分點(diǎn)(靠近B點(diǎn))的一條線段,且點(diǎn)P由C點(diǎn)向BB1四等分點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,二面角B-AD-P逐漸增大當(dāng)點(diǎn)P位于C點(diǎn)處時(shí),二面角B-AD-P最小,最小值為0當(dāng)點(diǎn)P為與BB1四等分點(diǎn)處時(shí),二面角B-AD-P最大,此時(shí),即為二面角B-AD-P的平面角,所以二面角B-AD-P正切值的取值范圍為[0,].選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確故選:B.例題2.(2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末(理))如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,為棱不包括端點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng);(2)當(dāng)在棱不包括端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.【答案】(1)1;(2).(1)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,而E是AB的中點(diǎn),則,而平面,平面,,又,平面,因此,平面,而平面,即有,因,,平面,于是得平面,又平面,則,正方形中,,,,所以BD的長(zhǎng)是1.(2)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作,由(1)知,兩兩垂直,以點(diǎn)E為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,設(shè)平面的法向量,則,令,得,平面的法向量,設(shè)平面與平面ABC的夾角為,則,當(dāng)時(shí),,所以平面與平面ABC的夾角的余弦值的最大值是.題型歸類練1.(2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高一階段練習(xí))如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)A在平面上的投影是線段BC的中點(diǎn)E,AB=AD=AC,點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)若BC=2BD,點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),平面與平面所成的銳二面角最小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)G為BD中點(diǎn).(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在平面上的投影是點(diǎn)E,∴平面BCD,∴,∵AD=AC,點(diǎn)是的中點(diǎn),∴∵,平面,∴平面又∵平面,∴平面平面(2)∵AB=AD=AC,點(diǎn)A在平面上的投影是點(diǎn)E,∴EB=ED=EC,∴B,C,D在以E為圓心的圓上,∴∠BDC=90°∵BC=2BD,∴∠BCD=60°,在平面BCD中,過(guò)E作EH⊥BD,垂足為H,以EH為x軸,EF為y軸,EA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=4則,,設(shè),則,,,設(shè)平面AEG的法向量為由可得設(shè)平面ACD的法向量為由可得,設(shè)平面AEG與平面ACD所成銳二面角為,則,∴當(dāng)y=0時(shí),最大,此時(shí)銳二面角最小,故當(dāng)G為BD中點(diǎn)時(shí),平面AEG與平面ACD所成銳二面角最小.2.(2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)(理))如圖,在中,,,為的外心,平面,且.(1)求證:平面;并計(jì)算與平面之間的距離.(2)設(shè)平面平面,若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí),求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)(1)如圖,連接,交于點(diǎn),為的外心,所以,所以.故和都為等邊三角形,即四邊形為菱形,所以且.又平面、平面,所以平面.則到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,記為,由題意知:,所以,.又因?yàn)榧唇獾茫?(2)因?yàn)槠矫?,平面,平面平?,所以.如圖所示:以點(diǎn)為原點(diǎn)建系.則.設(shè),所以.設(shè)平面的法向量為.則所以直線與平面所成角的正弦值為:,即當(dāng)時(shí)直線與平面所成角取最大值.此時(shí),所以,設(shè)平面的法向量為.則令則.所以,即則二面角的正弦值.3.(2022·山東·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院二模)如圖,在平行六面體中,底面,.(1)證明:;(2)設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)(異于D,),當(dāng)為何值時(shí),平面與平面夾角的余弦值最大?【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:連接,因?yàn)樗?,在中,由余弦定理得,即,所以,即,因?yàn)榈酌?,所以,因?yàn)?,所以平面,所?(2)解:結(jié)合(1)可知,兩兩垂直,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S的方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,所以,即,因?yàn)辄c(diǎn)為線段上一點(diǎn)(異于D,),所以,設(shè),所以,,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,即,即故令,則,即由于兩兩垂直,且,所以平面,故平面的一個(gè)法
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