新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章 第02講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 精講（學(xué)生版）

第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算題型二：等差數(shù)列的判斷與證明題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)角度3：等差數(shù)列的最值問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，且SKIPIF1<0.注：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）②等差中項(xiàng)法：SKIPIF1<02.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)是SKIPIF1<0，公差是SKIPIF1<0，則其通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，可推廣為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0*)．(2)等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為公差，SKIPIF1<0為該數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．特別地，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(3)SKIPIF1<0也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與SKIPIF1<0首項(xiàng)相同，公差為SKIPIF1<0.(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…也成等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0.（5）若數(shù)列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均為等差數(shù)列且其前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<04.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0的形式．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式可變形為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，它是關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，表示為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù))．第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·四川成都·高一期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（文））下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（

）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，SKIPIF1<0，…3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神十三”的“長征二號”SKIPIF1<0遙十三運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達(dá)到離地面380千米的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時(shí)間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒4．（2022·北京·101中學(xué)三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是______．第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例題1．（2022·寧夏吳忠·高一期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)2022是否為數(shù)列SKIPIF1<0中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？例題3．（2022·北京二中高二學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式及其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分別為等差數(shù)列SKIPIF1<0的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式及其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.例題4．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的值．題型歸類練1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，前4項(xiàng)為1，3，5，7，則數(shù)列SKIPIF1<0前10項(xiàng)的和SKIPIF1<0（

）A．100 B．23 C．21 D．172．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））《九章算術(shù)》是我國秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．263．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)后，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)正數(shù)之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．104．（2022·吉林松原·高二階段練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0__________．5．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．題型二：等差數(shù)列的判斷與證明例題1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）對于數(shù)列SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列”的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件；C．充要條件； D．既非充分又非必要條件.例題2．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0（

）A．是公差為4的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值為（

）A．22 B．21C．24 D．23例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.例題5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．例題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；例題7．（2022·陜西·長安一中高二期末（理））設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且滿足SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)例題1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·江西·二模（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9例題3．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題6．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二開學(xué)考試）等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別記為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題1．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）.A．110 B．120 C．130 D．140例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.角度3：等差數(shù)列的最值問題例題1．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0取得最大值的SKIPIF1<0為__________．例題2．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，則其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0的最大值為____________.例題3．（2022·山東濰坊·高二期中）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為______．例題4．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0＝___時(shí)，SKIPIF1<0最小．例題5．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的最大正整數(shù)的SKIPIF1<0的值為________．例題6．（2022·北京市第一六一中學(xué)高二期中）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0(1)若數(shù)列{SKIPIF1<0}是等比數(shù)列，求SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0：(2)若數(shù)列{SKIPIF1<0}是等差數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值，并求SKIPIF1<0取得最小值時(shí)SKIPIF1<0的值.例題7．（2022·安徽省六安中學(xué)高二期末（理））設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0最大，并求SKIPIF1<0的最大值.題型歸類練1．（2022·山西運(yùn)城·高二期末）若等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，首項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0成立的最大正整數(shù)SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，若對于任意的自然數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最小值4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則SKIPIF1<0中最大的項(xiàng)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）兩等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0