新高考數(shù)學一輪復習第6章 第03講 等比數(shù)列及其前n項和 精練（教師版）

第03講等比數(shù)列及其前n項和(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習）通過測量知道，溫度每降低6℃，某電子元件的電子數(shù)目就減少一半．已知在零下34℃時，該電子元件的電子數(shù)目為3個，則在室溫26℃時，該元件的電子數(shù)目接近（

）A．860個 B．1730個 C．3072個 D．3900個【答案】C由題設(shè)知，該電子元件在不同溫度下的電子數(shù)目為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022·遼寧·撫順縣高級中學校高二階段練習）方程SKIPIF1<0的兩根的等比中項是（

）A．SKIPIF1<0和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1【答案】A由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知方程SKIPIF1<0的兩根之積為4，又因為SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0的兩根的等比中項是SKIPIF1<0．故選：A3．（2022·遼寧·大連市一0三中學高二期中）正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習（理））在適宜的環(huán)境中，一種細菌的一部分不斷分裂產(chǎn)生新的細菌，另一部分則死亡.為研究這種細菌的分裂情況，在培養(yǎng)皿中放入m個細菌，在1小時內(nèi)，有SKIPIF1<0的細菌分裂為原來的2倍，SKIPIF1<0的細菌死亡，此時記為第一小時的記錄數(shù)據(jù).若每隔一小時記錄一次細菌個數(shù)，則細菌數(shù)超過原來的10倍的記錄時間為第（

）A．6小時末 B．7小時末 C．8小時末 D．9小時末【答案】A設(shè)SKIPIF1<0表示第n小時末的細菌數(shù)，依題意有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等比數(shù)列，首項為SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.依題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以第6小時末記錄的細菌數(shù)超過原來的10倍,故選:A.5．（2022·全國·高二課時練習）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B因為SKIPIF1<0為各項為正的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：B6．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．（2022·福建龍巖·模擬預測）如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積約為（

）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C根據(jù)題意可得，“數(shù)字塔”中第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0個數(shù)均為SKIPIF1<0的形式，該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積SKIPIF1<0根據(jù)指數(shù)運算可知，則SKIPIF1<0按原位置排列即構(gòu)成楊輝三角，可得SKIPIF1<0為二項式系數(shù)，則第SKIPIF1<0行數(shù)字的和為二項式系數(shù)之和等于SKIPIF1<0∴前10層的所有數(shù)字之和SKIPIF1<0該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：C．8．（2022·安徽·合肥市第十一中學高二期末）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：因為數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.二、多選題9．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列【答案】AD由數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，設(shè)公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是常數(shù)，故A正確；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B錯誤；若數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C錯誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD10．（2022·吉林·長春十一高高二期末）已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】AC解：A、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故本選項正確；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則無法判定SKIPIF1<0的正負，所以SKIPIF1<0的正負也無法判定，故本選項錯誤；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故本選項正確；SKIPIF1<0、若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故本選項錯誤.故選：AC.11．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)SKIPIF1<0是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，SKIPIF1<0是其前n項的積，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值【答案】BD由題意知，SKIPIF1<0：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯誤；SKIPIF1<0：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0：因為SKIPIF1<0是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯誤；SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值，故SKIPIF1<0正確.故選：SKIPIF1<0三、填空題12．（2022·湖北十堰·高二階段練習）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項為__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二開學考試）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，且a2＋a5＝2，{an}的前n項和為Sn.(1)求{an}的通項公式；(2)若Sm，a9，a15成等比數(shù)列，求m的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)6(1)因為a5＋a2＝2，d＝2所以2a1＋5d＝2a1＋10＝2，所以a1＝－4所以an＝2n－6(2)由（1）知Sm＝SKIPIF1<0＝m2－5m，a9＝12，a15＝24，因為Sm，a9，a15是等比數(shù)列，所以(a9)2＝Sma15，即SKIPIF1<0，整理得m2－5m－6＝0，解得m＝6，m＝－1為m∈N*，所以m＝6.14．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，正三角形ABC的邊長為20cm，取BC邊的中點E，作正三角形BDE；取DE邊的中點G，作正三角形DFG……如此繼續(xù)下去，可得到一列三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…，求前20個正三角形的面積和.【答案】SKIPIF1<0.設(shè)第n個三角形邊長為a，則第n+1個三角形邊長為SKIPIF1<0，設(shè)第n個三角形面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這些三角形面積成等比數(shù)列，且公比SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0，所以前20個正三角形的面積和為：SKIPIF1<0．B能力提升1．（2022·河南·模擬預測（文））設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，并滿足條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．數(shù)列SKIPIF1<0存在最大值 D．SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的最大值【答案】D因為SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的每一項都大于SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0開始后面所有的項的值都小于SKIPIF1<0且大于SKIPIF1<0.對于A：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正確；對于B：SKIPIF1<0，故B不正確；對于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列SKIPIF1<0中每一項都為正值，所以SKIPIF1<0無最大值，所以數(shù)列SKIPIF1<0無最大值，故C不正確；對于D：因為在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的每一項都大于SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0開始后面所有的項的值都小于SKIPIF1<0且大于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的最大值，故D正確.故選：D.2．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習）以下有四個命題：①一個等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若存在SKIPIF1<0，則對于任意自然數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；②一個等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；③一個等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；④一個等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若存在自然數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0則對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個 C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個【答案】D對于①，由SKIPIF1<0知：公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0自第SKIPIF1<0項起，數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對于任意自然數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，①正確；對于②，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知：公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0各項符號相同，即對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，②正確；對于③，若等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③錯誤；對于④，由SKIPIF1<0知：公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0為擺動數(shù)列，奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同，且奇數(shù)項與偶數(shù)項異號，SKIPIF1<0對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，④正確；綜上所述：正確的命題的個數(shù)為SKIPIF1<0個.故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習）等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則r的值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故選B.4．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若數(shù)列SKIPIF1<0為擺動數(shù)列（從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項），則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為_________.【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0①，得SKIPIF1<0②，①－②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不合題意，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，若數(shù)列SKIPIF1<0為擺動數(shù)列，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·江蘇省蘇州實驗中學高二階段練習）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段SKIPIF1<0記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間SKIPIF1<0分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于SKIPIF1<0則需要操作的次數(shù)n的最小值為____．(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)【答案】6設(shè)SKIPIF1<0為第n次操作去掉的區(qū)間長度和，SKIPIF1<0，第1次操作后剩下兩個長度為SKIPIF1<0的閉區(qū)間，則第2次操作去掉的區(qū)間長度和SKIPIF1<0，第2次操作后剩下4個長度為SKIPIF1<0的閉區(qū)間，則第3次操作去掉的區(qū)間長度和SKIPIF1<0，如此下去，第SKIPIF1<0次操作后剩下SKIPIF1<0個長度為SKIPIF1<0的閉區(qū)間，則第n次操作去掉的區(qū)間長度和SKIPIF1<0，顯然，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，首項SKIPIF1<0，公式SKIPIF1<0，其前n項和SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以需要操作的次數(shù)n的最小值為6.故答案為：66．（2022·浙江·高二階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)判斷數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)不存在，證明見解析.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)記SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，不妨假設(shè)存在SKIPIF1<0三項成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0對SKIPIF1<0是遞增的，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其左邊為負數(shù)，右邊為正數(shù)，矛盾，所以數(shù)列SKIPIF1<0中不存在成等差數(shù)列的三項．C綜合素養(yǎng)1．（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）1883年，德國數(shù)學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間SKIPIF1<0平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷SKIPIF1<0步構(gòu)造后，SKIPIF1<0不屬于剩下的閉區(qū)間，則SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ASKIPIF1<0不屬于剩下的閉區(qū)間，SKIPIF1<0屬于去掉的開區(qū)間經(jīng)歷第SKIPIF1<0步，剩下的最后一個區(qū)間為SKIPIF1<0，經(jīng)歷第SKIPIF1<0步，剩下的最后一個區(qū)間為SKIPIF1<0，……，經(jīng)歷第SKIPIF1<0步，剩下的最后一個區(qū)間為SKIPIF1<0，去掉的最后開區(qū)間為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選:A2．(多選）（2022·全國·高三階段練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為SKIPIF1<0，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為SKIPIF1<0，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個數(shù)為SKIPIF1<0B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的SKIPIF1<0倍C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC設(shè)該等比數(shù)列為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯誤；因為SKIPIF1<0，故B正確；SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故C正確；而SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，D錯誤.故選：BC．3．(多選）（2022·全國·高三專題練習）我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉在所著的《律學新說》一書中提出了“十二平均率”的音樂理論，該理論后被意大利傳教士利瑪竇帶到西方，對西方的音樂產(chǎn)生了深遠的影響.以鋼琴為首的眾多鍵盤樂器就是基于“十二平均率”的理論指導設(shè)計的.圖中鋼琴上的每12個琴鍵（7個白鍵5個黑鍵）構(gòu)成一個“八度”，每個“八度”各音階的音高都是前一個“八度”對應音階的兩倍，如圖中所示的琴鍵的音高SKIPIF1<0（SKIPIF1<0稱為“中央C”）.將每個“八度”（如SKIPIF1<0