高中物理競(jìng)賽講義熱學(xué)2

二、氣體的性質(zhì)22024/8/22玻意耳—馬略特定律

Boyle-MarriotLaw(Boyle,1662;Mariott,1679):“對(duì)于一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時(shí)，其壓強(qiáng)P和體積V的乘積是一常數(shù)：PV=C”跟溫度T沒有關(guān)系實(shí)際氣體并不嚴(yán)格遵守這一定律，因?yàn)椴煌琓時(shí),C不一樣在溫度不太低時(shí)，壓強(qiáng)越低，符合得越好。1理想氣體狀態(tài)方程32024/8/22蓋·呂薩克定律:當(dāng)一定質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)保持不變時(shí)，其體積隨溫度作線性變化；查理定律:當(dāng)一定質(zhì)量氣體的體積保持不變時(shí)，其壓強(qiáng)隨溫度作線性變化。42024/8/22利用前面的公式,得到:52024/8/22阿伏伽德羅定律:在氣體壓強(qiáng)趨于0的情況下,相同溫度和相同壓強(qiáng)的1mol任何氣體的體積都是一樣的,在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)(T0=273.15K,p0=1atm)下,1mol氣體Vm=22.414升此時(shí):質(zhì)量為M.摩爾質(zhì)量為m,則摩爾數(shù)為M/m.在任何溫度T,壓強(qiáng)p,體積V下,有:62024/8/2272024/8/22理想氣體狀態(tài)方程是在“玻意耳—馬略特定律”、“阿伏伽德羅定律”及“理想氣體溫標(biāo)定義”的基礎(chǔ)上推得的，而這三者僅在氣體壓強(qiáng)趨于零的極限情況下才嚴(yán)格成立，也就是說，實(shí)際氣體的行為與理想氣體狀態(tài)方程是有偏離的。例1一容器儲(chǔ)有氧氣，壓強(qiáng)為p=1.0atm,溫度為27攝氏度，求1）單位體積的分子數(shù)2）氧氣密度3）氧分子質(zhì)量4）分子間平均距離5）分子平均平動(dòng)能例2質(zhì)量為50.0g、溫度為18.00C的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s的速率做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若容器突然停止，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為分子的熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，則平衡后氦氣的溫度和壓強(qiáng)各增大到多少？以單個(gè)分子為研究對(duì)象，能量守恒。一個(gè)分子運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能為：1/2mv2，內(nèi)能為：3/2kT1停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能為：，內(nèi)能為：能量守恒：狀態(tài)方程（V不變）112024/8/22可以說熱氣球是人類應(yīng)用最早的飛行器

例3熱氣球1783年6月4日，蒙戈菲爾兄弟在里昂安諾內(nèi)廣場(chǎng)做公開表演，一個(gè)圓周為110英尺的模擬氣球升起，飄然飛行了1.5英里．同年9月19日，在巴黎凡爾賽宮前，蒙戈菲爾兄弟為國王、王后、宮庭大臣及13萬巴黎市民進(jìn)行了熱氣球的升空表演．同年11月21日下午，蒙戈菲爾兄弟又在巴黎穆埃特堡進(jìn)行了世界上第一次載人空中航行，熱氣球飛行了二十五分鐘，在飛越半個(gè)巴黎之后降落在意大利廣場(chǎng)附近．這次飛行比萊特兄弟的飛機(jī)飛行整整早了120年．122024/8/22一球形熱氣球，總質(zhì)量(包括隔熱很好的球皮以及吊籃等裝置）為３００kg．經(jīng)加熱后，氣球膨脹到最大體積，其直徑為１８m．設(shè)球內(nèi)外氣體成分相同，球內(nèi)氣體壓強(qiáng)稍高于大氣壓，已知大氣溫度為２７攝氏度，壓強(qiáng)為１atm，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度為１.３kg/m3試問熱氣球剛能上升時(shí)，球內(nèi)空氣的溫度應(yīng)為多少？加熱到最大體積時(shí)候的狀態(tài)參量為標(biāo)況下：p1=1atm,T0=273K排開空氣的狀態(tài)：P1=1atm,V1=4/3p*r3,T1=300K氣球內(nèi)氣體的狀態(tài)：p2,V2,T2142024/8/22300K時(shí)，熱氣球排開的空氣質(zhì)量為：

式中r=9m為球半徑，

是壓強(qiáng)

=1atm、溫度T1=300K時(shí)的空氣密度，已知：下的空氣密度為

由狀態(tài)方程：代入，得152024/8/22因球皮，吊籃等裝載的質(zhì)量為300千克，故氣球內(nèi)熱空氣的質(zhì)量為：氣球內(nèi)熱空氣的壓強(qiáng)為

溫度記為，體積V即為熱氣球容積

摩爾質(zhì)量為M162024/8/22即則有172024/8/22

對(duì)于被熱氣球排開的質(zhì)量為的空氣，有即182024/8/22代入公式，得

為使熱氣球剛好能上升，球內(nèi)空氣應(yīng)加熱到３２７K.192024/8/22道爾頓分壓定律DaltonLaw

（J.Dalton，1801）：

“混合氣體的總壓強(qiáng)等于各組分氣體的分壓強(qiáng)之和”?；旌蠚怏w占據(jù)體積為V，其中的氣體1占據(jù)同樣體積V時(shí)壓強(qiáng)為p1，氣體2占據(jù)同樣體積V時(shí)壓強(qiáng)為p2，…混合氣體的壓強(qiáng)較低時(shí)，才比較準(zhǔn)確地成立。道爾頓分壓定律的混合氣體，它的各組分必具有理想氣體的性質(zhì)，因此各自都滿足理想氣體狀態(tài)方程.2混合理想氣體狀態(tài)方程

Equationofstateformixedidealgases202024/8/22對(duì)于單一組分：式中V,T是混合理想氣體的壓強(qiáng)及溫度，Mi、

i是第i種組分氣體的質(zhì)量及摩爾質(zhì)量。應(yīng)用DaltonLaw對(duì)所有組分求和：

—混合理想氣體狀態(tài)方程混合理想氣體狀態(tài)方程推導(dǎo):212024/8/22其它推論:若定義混合氣體的平均摩爾質(zhì)量：則可由“混合理想氣體狀態(tài)方程”得到：因此，可以說：混合理想氣體好似摩爾質(zhì)量為的單一化學(xué)成分的理想氣體。222024/8/22定義各組分的體積百分比：設(shè)想混合氣體中所含的某種組分單獨(dú)處在與混合氣體相同的壓強(qiáng)及溫度的狀態(tài)下，其體積占混合氣體體積的百分比?；旌侠硐霘怏w體積為V，總質(zhì)量為M，Vi表示第i種組所占的體積，有:若第i種組分的體積百分比為Vi/V，依其定義，必有:例4空氣是由76%的氮?dú)狻?3%的氧氣、1%的氬氣組成（其余氣體很少，忽略不計(jì)），求空氣的平均相對(duì)分子質(zhì)量及在標(biāo)況下的密度例5由摩爾質(zhì)量為m的氣體組成密度均勻大氣層包圍半徑為r，質(zhì)量為M的行星。求行星表面上大氣溫度。大氣層厚度為h《r。例6在圓筒活塞下盛有20g氦氣，將它從狀態(tài)1（p1=4.1atm,V1=32L）緩慢地過渡到狀態(tài)2（p2=15.5atm,V2=9L）。如果壓強(qiáng)與體積關(guān)系圖像是一條直線，求在這個(gè)過程中達(dá)到的最高溫度。例7用不導(dǎo)熱材料制成圓筒容器，不導(dǎo)熱隔板將容器分為兩部分，其體積為V1和V2。第1部分內(nèi)有溫度T1和壓強(qiáng)p1的氣體，第2部分內(nèi)有同種氣體，但溫度T2和壓強(qiáng)p2。如果拿走隔板，則在容器內(nèi)氣體達(dá)到恒定時(shí)的溫度為多少？例8在圓筒容器內(nèi)的活塞下有溫度t=20°C的飽和水蒸氣。當(dāng)保持恒溫緩慢推進(jìn)活塞時(shí)，容器里釋放熱量Q=84KJ。求這時(shí)作用在活塞上的外力做多少功。例9絕熱圓筒容器立在桌上，借助導(dǎo)熱的輕活塞A和不導(dǎo)熱的重活塞B將容器分成長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.4m的兩室，每室內(nèi)有1mol理想的單原子氣體。開始系統(tǒng)處于熱平衡，緩慢加熱氣體，使它吸收熱量Q=200J。當(dāng)活塞A和容器壁之間的摩擦力為多大時(shí)，該活塞將保持不動(dòng)？活塞B可以無摩擦地運(yùn)動(dòng)。例10據(jù)說在克尼菲勛爵檔案館里發(fā)現(xiàn)一張有關(guān)理想氣體循環(huán)過程圖，由于年代久遠(yuǎn)，畫已褪色且p（壓強(qiáng)）和V（體積）坐標(biāo)軸消失，僅保留兩軸交點(diǎn)O。從對(duì)畫的說明中可知，在A點(diǎn)氣體溫度最高，從V軸正方向看去沿逆時(shí)針向p軸正方向轉(zhuǎn)角最小。試作圖重建p和V軸的位置。例11在輕活塞下的容器內(nèi)充氦氣，活塞距容器底的高度為H，容器和活塞絕熱，活塞能無摩擦地移動(dòng)。從活塞上方某一高度無初速度地釋放彈性小球，為了在系統(tǒng)穩(wěn)定平衡（球落在活塞上）時(shí)活塞位置不變，這個(gè)高度h是多少？例12面包圈形的容器里放置兩個(gè)面積為S的薄活塞，用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接如圖所示.最初容器內(nèi)封閉了壓強(qiáng)為P0，溫度為T的氣體，彈簧不伸長(zhǎng)，彈簧部分封閉的體積占全部容器體積的a。為了使它的體積擴(kuò)大為兩倍，應(yīng)該對(duì)有彈簧部分間隔加熱到溫度為多少？容器其余部分溫度不變，摩擦不計(jì)。例13容器內(nèi)充滿氦和氧的混合氣，把混合氣的溫度從T1=300K加熱到T2=400K，這樣，有一半氦原子離開容器而剩余氣體壓強(qiáng)如前。求此過程混合氣體密度變化了多少？氧的摩爾質(zhì)量32g/mol，氦的摩爾質(zhì)量4g/mol332024/8/22[例]

把編號(hào)為a,b,c,d的四個(gè)小球往A、B兩小盒中隨意放置，如圖2.5.1所示，共有十六種放法。在每種方法中，不僅哪個(gè)盒中有幾個(gè)球，而且是有哪幾個(gè)球（球的編號(hào)如何）都是明確的，我們稱：每一種放法對(duì)應(yīng)著球在盒中放置的一種配容(考慮個(gè)體區(qū)別），如果并不需要區(qū)別哪個(gè)球在哪個(gè)盒里，即，只問四個(gè)球在A、B兩盒中球數(shù)的分布，見下頁圖，只有五種可能的分布（假設(shè)離子相同）。顯然，一種球數(shù)分布可能包括著不同樣的配容，而且，不同的球數(shù)分布各自包括的配容的個(gè)數(shù)可能也不相同，以球在兩盒中平均分布包含的配容數(shù)最多。推廣:N個(gè)有編號(hào)的小球在兩盒中放置的情形，那要有2N種配容，有N+1種分布，絕大多數(shù)配容是對(duì)應(yīng)著球在兩盒中基本平均地分布。微觀配容與宏觀分布342024/8/22}}}352024/8/22配容序號(hào)容器A容器B分布情況與序號(hào)一種分布對(duì)應(yīng)配容數(shù)1a,b,c,d空4-0i4!/(4!×0!)2a,b,cd3-1ii3a,b,dc4!/(3!×1