初中：分式綜合

分式作業(yè)

一.選擇題（共8小題）

1.下列各式中，屬于分式的是（）

A.a-3B.旦C.旦D.—^a+b)

兀n4

2.下列分式中，屬于最簡分式的是（）

AxB6cXD1-x

22

X2ax+lX-l

3.分式?-中，當x=-a時，下列結論正確的是（）

3x-l

A.分式的值為零

B,分式無意義

C.若工時，分式的值為零

3

D.若aW1時，分式的值為零

3

4.已知分式上當x=2時，分式的值為零；當x=-2時，分式沒有意義，則分式有意

2x+a

義時，〃+〃的值為（）

A.-2B.2C.6D.~6

5.已知分式巫也（?,b為常數(shù)）滿足下列表格中的信息：則下列結論中錯誤的是（）

x+a

X的取值-11cd

分式的值無意義10-1

A.a=\B.b=8C.c=—D.d=—

36

6.若把x,y的值同時擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）

A.(x-)2

B.且C.At?.D.xzi

x2x-^yy+2y-2

7.下列各式，從左到右變形正確的是（)

A.上2小Ba~~b_b-a

a+2aa+bb+a

D(a+1)2a+1

c2(x-l)-2

1-x2-1+x(a-1)2aT

8.關于分式^^—,有下列說法：①當x=-l,機=2時，分式有意義；②當x=3時,

x<s-4x+m

分式的值一定為0；③當x=l,機=3時，分式沒有意義；④當尤=3且巾#3時，分式的

值為0,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二.填空題（共5小題）

9.下列各式中曳、旦、」」、曳+1、且也、工」中分式有個.

52m2兀b35z

10.把分式號的分子、分母中系數(shù)化為整數(shù)，則分式變?yōu)開____.

0.5a-q

11.若包萼，則三曲的值為.

b2b

3

12.分式“、包tL、一比R_.、生生中，最簡分式的個數(shù)是_____個.

22

xy3a+bm+n6x

13.對于實數(shù)小6定義一種新運算“③”：“（8）〃=」^,例如，103==^=則

,212g

a-b1-3o0

方程xG）2=，_-1的解是.

x~4

三.解答題（共6小題）

14.計算：

9

（1）⑵皿+a+3a.

32

3y2xl-aa-2a+l

(3)13；(4)2n:n

x+1m2-9-m+3

(5)如4；(6)—----

2a2aa2-4a-2

(8)a2-4?(l--J—).

(7)-^—4^-;

a-bb-aa-3a-2

15.先化簡，再求值：(冬-一+二一，在-2,0,1,2四個數(shù)中選一個合適的代

x~2x+2X2-4

入求值.

16.閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知(八b、c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

解：設x=y二工二卜,則元=Z(a-b),y=k(b-c),z=k(C-Q),

a-bb-cc-a

.\x+y-^-z=k(a-b-^b-c+c-a)=2?0=0,/.x+y+z=0.

依照上述方法解答下列問題：

已知：工衛(wèi)其中x+y+zWO,求x4y-z的值.

xyzx+y+z

17.問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策

略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”：就是

通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只

要作出它們的差若M-N>0,則M>N；若M-N=O,則M=N；若M-NVO,

則M<N.

問題解決

如圖1,把邊長為a+b(a￥b)的大正方形分割成兩個邊長分別是心。的小正方形及兩

個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解：由圖可知：M=a2+h2,N=2ab.

.,.M-N=a1+b2-2ab—(a-b)2.

■:a豐b,：.(a-b)2>0.

：.M-N>0.

類比應用

(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為史也?元/千克和2辿元/千克(。、

2a+b

6是正數(shù)，且試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.

(2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長Mi、M的大小Sc).

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題)

1.下列各式中，屬于分式的是()

A.a-3B.旦C.3D.&(.a+h)

Kn4

【分析】根據(jù)分式的定義即可得出答案.

【解答】解：A選項是多項式，是整式，故該選項不符合題意；

B選項的分母中不含字母，故3選項不符合題意；

C選項的分母中含有字母，故C選項符合題意；

D選項的分母中不含字母，故D選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了分式的定義，掌握一般地，如果A,8表示兩個整式，并且B中含

有字母，那么式子a叫做分式是解題的關鍵，注意TT是數(shù)字.

B

2.下列分式中，屬于最簡分式的是（）

A.工B.AC,-A_D.三

J2ax-1

【分析】利用最簡分式的定義：分子分母沒有公因式的分式為最簡分式，判斷即可.

【解答】解：A.原式=工，不符合題意；

X

B.原式=2，不符合題意；

a

C.原式為最簡分式，符合題意；

D.原式=-1,不符合題意.

故選：C.

【點評】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解本題的關鍵.

3.分式?-中，當x=-a時，下列結論正確的是（）

3x-l

A.分式的值為零

B.分式無意義

C.若a#-工時，分式的值為零

3

D.若。工工時，分式的值為零

3

【分析】當時，分式的分子是0即分式的值是0,但前提是只有在保證分式的分

母不為0時，分式才有意義.

【解答】解：由3X-1W0,得xW2，

3

故把*=-4代入分式-^^二中，當x=-a且-a#工時，即aW-1?時，分式的值為零.

3x-l33

故選：C.

【點評】本題主要考查分式的概念，分式的分母不能是0,分式才有意義.

4.已知分式上也，當x=2時，分式的值為零；當x=-2時，分式沒有意義，則分式有意

2x+a

義時，a+b的值為（）

A.-2B.2C.6D.-6

【分析】根據(jù)分式的值為0，即分子等于0,分母不等于0,從而求得匕的值；根據(jù)分式

沒有意義，即分母等于0,求得“的值，從而求得“+人的值.

【解答】解：?."=2時，分式的值為零，

：.2-h=0,

解得。=2.

：x=-2時，分式沒有意義，

A2X（-2）+。=0,

解得4=4.

工〃+/?=4+2=6.

故選：C.

【點評】考查了分式的值為零的條件，分式有意義的條件，注意：分式的值為0,則分子

等于0,分母不等于0；分式無意義，則分母等于0.

5.已知分式巫也（a,b為常數(shù)）滿足下列表格中的信息：則下列結論中錯誤的是（）

x+a

X的取值-11Cd

分式的值無意義10-1

A.a—\B.b=8C.c——D.d——

36

【分析】將表格數(shù)據(jù)依次代入已知分式中，進行計算即可判斷.

【解答】解：A.根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：

當x=-l時，分式無意義，

即x+a=0,

所以-1+4=0,

解得a—\.

所以4選項不符合題意；

B.當x=l時，分式的值為1,

即-6+b=i,

1+1

解得b—8,

所以B選項不符合題意；

C.當X=6■時，分式的值為0,

即-6c+8=0,

c+1

解得。=匹，

3

所以c選項不符合題意；

D.當x=d時，分式的值為-1,

即-6d+8=_1,

d+1

解得d=，,

5

所以。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了分式的值、分式有意義的條件，解決本題的關鍵是掌握分式相關知

識.

6.若把x,y的值同時擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）

2

A.（X-）B.且C.三2D.三2

2

xx+yy+2y-2

【分析】根據(jù)分式的基本性質逐一進行判斷即可.

【解答】解：A.把x,y的值同時擴大為原來的2倍，分式的值保持不變，符合題意；

B.把x,y的值同時擴大為原來的2倍，分式的值為原來的2倍，不符合題意；

C.把x,y的值同時擴大為原來的2倍，分式的值變?yōu)榻z2,不符合題意；

2y+2

。.把x,＞的值同時擴大為原來的2倍，分式的值變?yōu)榧t2,不符合題意.

2y-2

故選：A.

【點評】本題考查了分式的基本性質，解決本題的關鍵是掌握分式的基本性質.

7.下列各式，從左到右變形正確的是（）

A.小22

a+2a

B-4_b-a

a+bb+a

「2（1）

c.------------=----2--

l-x21+x

2

D.（a+1）=a+l

（a-1）2aT

【分析】根據(jù)分式的基本性質（分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式,

分式的值不變）判斷即可.

【解答】解：42前面是加號不是乘號，不可以約分，原變形錯誤，故本選項不符合題

意；

B、原式=-上生，原變形錯誤，故本選項不符合題意；

b+a

C、原式=,24二）=:g_,原變形正確，故本選項符合題意；

-（x+1）（x-l）1+X

。、從左邊到右邊不正確，原變形錯誤，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了分式的基本性質.解題的關鍵是掌握分式的基本性質的運用，注意:

分式的分子和分母都乘以同一個不等于0的整式，分式的值不變.

8.關于分式一二W—,有下列說法：①當x=-l,根=2時，分式有意義；②當x=3時,

2

x-4x+m

分式的值一定為0;③當x=l,〃?=3時，分式沒有意義；④當x=3且機W3時，分式的

值為0,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)分式的值為0以及分式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：①當x=-1,機=2時，

.?./-4"機會0,所以分式有意義，①正確

②當x=3時，

7-4x+機有可能為0,故分式可能無意義，故②錯誤；

③當x=l,〃?=3時，

/-4x+nz=0,故③正確；

④當x=3且m/3時，

-4x+nt=9-12+,〃=-3+/"W0,

Vx-3=0,

二原式=0,故④正確；

故選：C.

【點評】本題考查分式的值為。的條件，解題的關鍵是熟練運用分式有意義的條件，本

題屬于基礎題型.

二.填空題（共5小題）

9.下列各式中曳、旦、二」、包+i、且士殳、工」中分式有3個.

52m2兀b35z

【分析】直接利用分式的定義分析進而得出答案.

【解答】解：包、口、」一、包+1、生之、工」中分式為：旦、A+1,工-工共

521n2兀b35z2mb5z

3個.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了分式的定義，正確把握定義是解題關鍵.

10.把分式‘2a+：的分子、分母中系數(shù)化為整數(shù)，則分式變?yōu)開紅且

0.5a-y5a-5

【分析】根據(jù)分式的基本性質即可求出答案.

【解答】解：原式=I。?2a+：)

10(0.5a--)

_2-a-+-1--01

5a-5

故答案為：2atl0

5a-5

【點評】本題考查分式的基本性質，解題的關鍵是熟練運用分式的基本性質，本題考查

屬于基礎題型.

II.若曳誓，則三也的值為2.5.

b2b

【分析】生也=旦+上=旦+1；因為包=3,直接代入計算.

bbbbb2

【解答】解：?.?里=3

b2

...a+b=_g_+i=6+i=2.5.

bb2

故答案為25

【點評】解答本題不僅要會通分，還要將曳當做一個整體看待.

b

3

12.分式一、囪1L、.-誓K、上鯉中，最簡分式的個數(shù)是2個.

xy3a+bm+n6x

【分析】根據(jù)最簡分式的概念判斷即可.

【解答】解：囪1L、.?+n是最簡分式,

3a+bDm2,+n2

故答案為：2.

【點評】本題考查的是最簡分式的概念，一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡

分式.

13.對于實數(shù)小〃定義一種新運算“隹"：a?b=—^,例如，1(8)3=_工=-1.則

a-b,21-3。208

方程x<8)2=—L-1的解是x=5.

x-4

【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，求出分式方程的解即可.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義，化簡得：1,

x-4x-4

去分母得：l=2-x+4,

解得：x=5,

經檢驗，x=5是分式方程的解，

故答案為：x=5.

【點評】此題考查了解分式方程以及實數(shù)的運算，解分式方程時，一定要檢驗.弄清題

中的新定義是解本題的關鍵.

三.解答題(共6小題)

14.計算：

⑴1上；

x+1

(2)-22-

m2-9m+3

【分析】(1)先通分，然后分母不變，分子相加減即可；

(2)先把除法轉化為乘法，然后約分即可.

【解答】解：(1)1上L

x+1

—x+1-x+l

x+1

=2:

x+1

⑵2n.n

m2-9-m+3

=2n「m+3

(m+3)(m-3)n

=2

m-3

【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式減法和除法的運算法則.

15.計算:

(1)a+b+a-b；

2a2a

【分析】(1)直接利用分式的加法的法則進行求解即可;

(2)先通分，再進行加減運算即可.

【解答】解：(1)且生

2a2a

_a+b+a-b

2a

=2a

27

=1;

=______4_______a+2____

(a-2)(a+2)(a-2)(a+2)

=4-a-2

(a-2)(a+2)

=-(a-2)

(a-2)(a+2)

=-1

a+2

【點評】本題主要考查分式的加減，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

16.計算：

(1)33

a-bb-a

(2)-*12.).

a-3a-2

【分析】(1)先通分，再進行減法運算即可；

(2)先通分，把能分解的進行分解，再約分即可.

【解答】解：(1)-

a-bb-a

—a_b

a-ba-b

=a-b

a-b

=1；

(2)a2-4.(].

a-3a-2

(a-2)(a+2)a3

a-3a~2

=〃+2.

【點評】本題主要考查分式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

16.閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知(“、b、c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb~cc-a

解：設」—上了二2=k，則元=Z(a-b),y=k(b-c),z=k(C-Q),

a-bb-cc-a

/?x+y^-z=k(〃-b+b-c+c-a)=k,0=0,/.x+y+z=O.

依照上述方法解答下列問題：

已知：。上區(qū)工工，其中x+y+zro,求X丁Z的值.

xyzx+y+z

【分析】根據(jù)提示，先設比值為％,再利用等式列出三元一次方程組，即可求出k的值是

2,然后把x+y=2z代入所求代數(shù)式.

【解答】解：設工生=3±2=2士工=4，

xyz

'y+z=kx(1)

則：，x+z=ky(2)，

.x+y=kz(3)

(1)+(2)+(3)得：2x+2y+2z=k(x+y+z),

Vx+y+z^O,

:?k=2,

，原式=2z-z=三=工

2z+z3z3

17.化簡：

2,

(1)abe；

ab

⑵生工；

3y2x3

,,3u2,2

(3)-^—-4--5ab.

2c24cd

2

(4)a+3+_g,3.L.

2

1-aa-2a+l

【分析】(1)直接進行約分即可；

(2)根據(jù)分式的乘法的法則進行求解即可；

(3)把除法轉為乘法，再約分即可；

(4)把能分解的進行分解，除法轉為乘法，再約分即可.

2,

【解答】解：(1)曳■竺=叼

ab

⑵生工=2；

3y2x33x2

⑶ab?二-5a2b2

2c24cd

ab34cd

Q2r-2,2

2c-bab

=-2bd.

5ac

(4)a+3/a2+3a

2

l-aa-2a+l

—_a+3_.(l~~a)2

1-aa(a+3)

=l-a

a

【點評】本題主要考查分式的乘除法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用.

18.先化簡，再求值：(&--乙)+-A，在-2,0,1,2四個數(shù)中選一個合適的代

2

x-2x+2X-4

入求值.

【分析】先算括號內的減法，同時把除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出即可.

【解答】解：原式=3x(x+2)-x(x-2)?(x+2)(x-2)

(x+2)(x-2)x

=2x+8,

當x=l時,原式=2+8=10.

【點評】本題考查了分式的混合運算和求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解

此題的關鍵.

19.問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策

略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”：就是

通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只

要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N；若M-N=O,則M=N；若M-N<0,

則M<N.

問題解決

如圖1,把邊長為a+b(a#6)的大正方形分割成兩個邊長分別是“、6的小正方形及兩

個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解：由圖可知:M—c^+b1,N—2ab.

.".M-N=(^+b2-2ab=(a-b)2.

?：aWb,：.Ca-b)2>0.

：.M-N>0.

：.M>N.

類比應用

(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為三也元/千克和純元/千克(心

2a+b

6是正數(shù)，且試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.

(2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長Mi、M的大小(/?><?).

aba+b

b+3c

a-c

ab

圖1圖2圖3

聯(lián)系拓廣

小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示

(其中b>a>c>0),售貨員分別可按圖5、圖