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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關系為()A. B.C. D.2.已知集合,,則=()A. B. C. D.3.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)4.已知復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.5.函數(shù),,則“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.7.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.68.某個命題與自然數(shù)有關,且已證得“假設時該命題成立,則時該命題也成立”.現(xiàn)已知當時,該命題不成立,那么()A.當時,該命題不成立 B.當時,該命題成立C.當時,該命題不成立 D.當時,該命題成立9.寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.10.等比數(shù)列的前項和為,若,,,,則()A. B. C. D.11.已知數(shù)列的前項和為,且,,,則的通項公式()A. B. C. D.12.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎設施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知過點的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點,點在線段上,過作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點,當∥軸,點的橫坐標是14.設第一象限內(nèi)的點(x,y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.15.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.16.設為正實數(shù),若則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設甲班三名同學答對的概率都是,乙班三名同學答對的概率分別是,,,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機變量的概率分布和數(shù)學期望.19.(12分)在直角坐標系中,是過定點且傾斜角為的直線;在極坐標系(以坐標原點為極點,以軸非負半軸為極軸,取相同單位長度)中,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標方程;(2)若曲線與直線相交于不同的兩點,求的取值范圍.20.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.21.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標為,,求的值.22.(10分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
可設,根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設,,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關系,從而得到的大小關系.【詳解】解:因為,即,又,設,根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程:設,通過條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于中檔題.2.C【解析】
計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,意在考查學生的計算能力.3.B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應用,有一定綜合性,屬于中檔題。4.A【解析】
把已知等式變形,再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,是基礎題.5.B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】設,若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關于軸對稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以,“的圖象關于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關鍵,考查推理能力,屬于中等題.6.B【解析】
先分別判斷命題真假,再由復合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當,或時,則不成立.則,,均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關鍵,屬于基礎題.7.C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當且僅當時取“=”號.
答案:C【點睛】本題考查基本不等式的應用,“1”的應用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ炞C等號能否成立,屬于基礎題.8.C【解析】
寫出命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立,則當時該命題也不成立”,由于當時,該命題不成立,則當時,該命題也不成立,故選:C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.9.B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.10.D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因為,所以有:是方程的二實根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點:等比數(shù)列.11.C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系等基礎知識;考查運算求解能力,邏輯推理能力,應用意識.12.D【解析】
根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個選項逐一進行分析排除,由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項,投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項,令代入回歸直線方程得億元,故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進行預測的方法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
通過設出A點坐標,可得C點坐標,通過∥軸,可得B點坐標,于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可設點,則,由于∥軸,故,代入,可得,即,由于在線段上,故,即,解得.14.【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當且僅當時取等號,則的最小值為.15.【解析】
設,,在中利用正弦定理得出關于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設,,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當即時,取得最小值.故答案為.【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應用,屬中檔題.16.【解析】
根據(jù),可得,進而,有,而,令,得到,再用導數(shù)法求解,【詳解】因為,所以,所以,所以,所以,令,,所以,當時,,當時,所以當時,取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和導數(shù)法求最值,還考查了運算求解的能力,屬于難題,三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)當時,將原不等式化簡后兩邊平方,由此解出不等式的解集.(2)對分成三種情況,利用零點分段法去絕對值,將表示為分段函數(shù)的形式,根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】(1)時,可得,即,化簡得:,所以不等式的解集為.(2)①當時,由函數(shù)單調(diào)性可得,解得;②當時,,所以符合題意;③當時,由函數(shù)單調(diào)性可得,,解得綜上,實數(shù)的取值范圍為【點睛】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立問題的求解,屬于中檔題.18.(1)(2)分布列見解析,期望為20【解析】
利用相互獨立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30,分別求出對應的概率,列出分布列并代入數(shù)學期望公式求解即可.【詳解】(1)由相互獨立事件概率公式可得,(2)由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30.,,,,所以,的概率分布列為0102030所以數(shù)學期望.【點睛】本題考查相互獨立事件概率公式和離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望;考查運算求解能力;確定隨機變量可能的取值,求出對應的概率是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.19.(1)(為參數(shù)),;(2)【解析】分析:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中表示之間的距離,而極坐標方程可化為,從而的直角方程為.(2)設,則,利用在圓上得到滿足的方程,最后利用韋達定理就可求出兩條線段的和.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).曲線的極坐標方程可化為.把,代入曲線的極坐標方程可得,即.(2)把直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))代入圓的方程可得:.∵曲線與直線相交于不同的兩點,∴,∴,又,∴.又,.∴,∵,∴,∴.∴的取值范圍是.點睛:(1)直線的參數(shù)方程有多種形式,其中一種為(為直線的傾斜角,是參數(shù)),這樣的參數(shù)方程中的參數(shù)有明確的幾何意義,它表示之間的距離.(2)直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關鍵是利用公式,而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關鍵是利用公式,后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.20.(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個不等式,再進行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,
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