山東省日照市日照第一中學(xué)2022年高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．293．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣26．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變9．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．11．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．3012．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動.設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則____________．14．函數(shù)的定義域?yàn)開____________.15．設(shè)為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）16．若函數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件，質(zhì)檢員小張每天都會隨機(jī)地從中抽取50個零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨(dú)立．若零件的長度滿足，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．19．（12分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.21．（12分）聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.22．（10分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.2．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.3．D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.5．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時，直線，直線，此時兩條直線平行；當(dāng)時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當(dāng)時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.7．D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題9．D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．10．A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。11．C【解析】

由知，展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng)，解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.12．C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為1，則，，設(shè)，則，所以，且，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由于，，則．14．【解析】

由題意可得，，解不等式可求．【詳解】解：由題意可得，，解可得，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．15．>【解析】

根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實(shí)數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算，考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.16．【解析】

若函數(shù)恒成立，即，求導(dǎo)得，在三種情況下，分別討論函數(shù)單調(diào)性，求出每種情況時的，解關(guān)于的不等式，再取并集，即得。【詳解】由題意得,只要即可，，當(dāng)時，令解得，令，解得，單調(diào)遞減，令，解得，單調(diào)遞增，故在時，有最小值，，若恒成立，則，解得；當(dāng)時，恒成立;當(dāng)時，，單調(diào)遞增，,不合題意,舍去.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍，是?？碱}型。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），（2）【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯位相減求和即可.【詳解】解：（1）依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.（2）依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.18．（1）見解析（2）需要，見解析【解析】

（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】（1）,由于滿足二項(xiàng)分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.19．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，在四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，四邊形為正方形，，，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，由得：，令，則，，由得：，令，則，，，，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯點(diǎn)是求得法向量夾角余弦值后，未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角，造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.20．（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】

（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點(diǎn)（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，代入，，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點(diǎn)，故設(shè)由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點(diǎn).（2）由（1）知設(shè)由可得，，即存在常數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21．（1）見解析；（2）能夠滿足.【解析】

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格；（2）根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測2020年的糧食需求量，即可作出判斷.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對數(shù)據(jù)處理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由題意可知，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由（1）中表格可得，，，，.由上述計(jì)算結(jié)果可知，所