上海市魯迅中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．42．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．3．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減5．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．6．已知集合，，則A． B． C． D．7．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．8．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）9．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．510．已知，則，不可能滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．12．已知集合，集合，則A． B．或C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足，則的最小值為________.14．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）15．的展開式中的常數(shù)項為__________.16．如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則這段曲線的函數(shù)解析式為______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個零點.（1）求實數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.20．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達式，并證明你的結(jié)論．21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】可以是共4個，選D.2．B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.3．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．4．C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形，且俯視圖應(yīng)為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。6．C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.7．D【解析】

根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，根據(jù)點在橢圓上，點的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標(biāo)為，則，易知點坐標(biāo)，將點坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據(jù)題意求得點的坐標(biāo)，屬中檔題.8．B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故選B．9．C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.10．C【解析】

根據(jù)即可得出，，根據(jù)，，即可判斷出結(jié)果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題11．D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.12．C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．5【解析】

先作出可行域，再做直線，平移，找到使直線在y軸上截距最小的點，代入即得?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，如圖，令，則，作出直線，平移直線，由圖可得，當(dāng)直線經(jīng)過C點時，直線在y軸上的截距最小，由，可得，因此的最小值為.故答案為：4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，是基礎(chǔ)題。14．①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．15．31【解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數(shù)項為：，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導(dǎo)數(shù)，考查計算能力.16．，【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值，可得，，結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期，可得出，再將點代入函數(shù)解析式，求出的值，即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知，，，，，從題圖中可以看出，從時是函數(shù)的半個周期，則，.又，，得，取，所以，．故答案為：，．【點睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則即，取，得，又平面的一個法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力,難度一般.18．（1）的普通方程為．的直角坐標(biāo)方程為（2）（-1，0）或（2，3）【解析】

（1）對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程，對整理并兩邊乘以，結(jié)合，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程。（2）由（1）得：曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓，設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題可得：，利用兩點距離公式列方程即可求解?！驹斀狻拷猓海?）由消去參數(shù)，得．即直線的普通方程為．因為又，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）由知，曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點P到上的點的最短距離為|PQ|即，整理得，解得所以點P的坐標(biāo)為（-1，0）或（2，3）【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點距離公式，考查了方程思想及計算能力，屬于中檔題。19．（1）（2）證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時,取最小值,由函數(shù)只有一個零點,觀察可知則有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)（）,求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得，由,可知,因為時,為增函數(shù)，即可得證得結(jié)論.【詳解】（1）（）.因為，所以，令得，，且，，在上；在上；所以函數(shù)在時，取最小值，當(dāng)最小值為0時，函數(shù)只有一個零點，易得，所以，解得.（2）由（1）得，函數(shù)，設(shè)（），則，設(shè)（），則，，所以為減函數(shù)，所以，即，所以，即，又，所以，又當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，即.【點睛】本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.20．,；，證明見解析【解析】

對函數(shù)進行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化求得的表達式,對函數(shù)再進行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化求得的表達式;根據(jù)中，的表達式進行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，成立，②假設(shè)時，猜想成立即當(dāng)時，當(dāng)時，猜想成立由①②對成立【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.21．（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可證明結(jié)論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，故.（2）由題知，，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；②當(dāng)時，，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無極大值.（3）不妨令，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當(dāng)時，，由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.當(dāng)時，設(shè)，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時的最小值是1.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函