韶關市重點中學2024-2025學年高三年級第三次月考數學試題含解析

韶關市重點中學2024-2025學年高三年級第三次月考數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．馬林●梅森是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數）的素數，稱為梅森素數.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．3．已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．4．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④5．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．6．已知復數z滿足（i為虛數單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．638．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．9．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．10．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．11．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米12．在區(qū)間上隨機取一個實數，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.14．已知實數滿足，則的最大值為________.15．設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則________16．的展開式中的常數項為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）解關于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.18．（12分）已知函數,．（1）當x≥0時，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當x＜0時，研究函數F（x）=h（x）﹣g（x）的零點個數；（3）求證：（參考數據：ln1.1≈0.0953）．19．（12分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質，積極開展冰上體育鍛煉.現從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統(tǒng)計，請將下列列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）20．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內的動點在點右側，拋物線上第四象限內的動點，滿足，求直線的斜率范圍.21．（12分）已知函數.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設函數的極值點為，當變化時，點構成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是5，故選：C．本題主要考查程序框圖，屬于基礎題．2．C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.3．B【解析】

利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.4．C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據基本不等式求解出最大值；④根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.5．D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數對數，再比較大?。驹斀狻?，，又，∴，即，∴．故選：D.本題考查冪和對數的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數冪比較，或化為同底數對數比較，若是不同類型的數，可借助中間值如0，1等比較．6．D【解析】

根據復數z滿足，利用復數的除法求得，再根據復數的概念求解.【詳解】因為復數z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.本題主要考查復數的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7．B【解析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.8．D【解析】

直接根據幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據幾何概型：，故.故選：.本題考查了根據幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.9．B【解析】

利用某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比，本題是一道基礎題.10．B【解析】

根據斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側面展開圖是扇形根據扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:本題考查斜二測畫法的應用及組合體的表面積求法,難度較易.11．B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導線長度約為63(厘米).故選：B.本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.12．D【解析】

利用直線與圓相交求出實數的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉化為與邊有關的等式，結合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.14．【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標函數看作點與可行域的點所構成的直線的斜率，當直線過時，直線的斜率取得最大值，代入點A的坐標可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點，目標函數表示點與可行域的點所構成的直線的斜率，當直線過時，直線的斜率取得最大值，此時的最大值為.故答案為：.本題考查求目標函數的最值，關鍵在于明確目標函數的幾何意義，屬于中檔題.15．【解析】

由橢圓的標準方程，求出焦點的坐標，寫出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長，利用定義可得，進而求出?！驹斀狻坑芍?，焦點，所以直線：，代入得，即，設，，故由定義有，，所以。本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質、以及直線與橢圓位置關系中弦長的求法，注意直線過焦點，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運算。16．【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當的指數為零時，對應的值即為常數項.【詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數項為.

故答案為：.本題考查二項展開式中指定項系數的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數項對應的取值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分類討論求解絕對值不等式即可；（2）由（1）中所得函數，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當時，等價于，該不等式恒成立，當時，等價于，該不等式解集為，當時，等價于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因為，，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立.本題考查利用分類討論求解絕對值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.18．（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導數，討論a＞1和a≤1，判斷導數的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導數和二階導數，判斷F'（x）的單調性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的單調性和零點個數；（3）由（1）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令；由（2）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，令，結合條件，即可得證．【詳解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），則，①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞時，H'（x）→+∞，則?x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0進而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，所以當x∈（0，x0）時H（x）＜H（0）=0，即當x∈（0，x0）時，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，則F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時，F'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）無零點；②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，進而F（x）在遞減，在遞增，，且x→﹣∞時，，F（x）在上有一個零點，在無零點，故F（x）在（﹣∞，0）有一個零點．綜合①②，當a≤﹣1時無零點；當a＞﹣1時有一個零點．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令，則即；由（Ⅱ）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，令，則，所以；故有．本題考查導數的運用：求單調區(qū)間，考查函數零點存在定理的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．對于函數的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉化為兩個函數交點時，如果是一個常函數一個含自變量的函數，注意讓含有自變量的函數式子盡量簡單一些．19．（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據表格數據填寫列聯表，計算出的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運動的人數為.完善列聯表如下：擅長不擅長合計男性203050女性104050合計3070100，對照表格可知，，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.本小題主要考查根據頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查列聯表獨立性檢驗，屬于基礎題.20．（1）1；（2）【解析】

（1）根據點到焦點的距離為2，利用拋物線的定義得，再根據點在拋物線上有，列方程組求解，（2）設，根據，再由，求得，當，即時，直線斜率不存在；當時，，令，利用導數求解，【詳解】（1）因為點到焦點的距離為2，即點到準線的距離為2，得，又，解得，所以拋物線方程為（2）設，由由，則當，即時，直線斜率不存在；當時，令，所以在上分別遞減則本題主要考查拋物線定義及方程的應用，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題，21．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構造函數，求導可判斷出的單調性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構造函數，分、和三種情況，分別證明函數在上有唯一的零點，即可證明結論成立.【詳解】（1）由