考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷1（共280題）

考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷1（共9套）（共280題）考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設f(x，y)為連續(xù)函數，則，等于()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：由題設可知，積分區(qū)域D如圖1—4—6所示，則2、累次積分可以寫成()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：由累次積分可知，積分區(qū)域D為由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1—4—7所示。該圓的直角坐標方程為故用直角坐標表示區(qū)域D為可見A、B、C均不正確，故選D。3、，則積分域為()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。標準答案：C知識點解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故選C。4、設函數f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：因為曲線r=2在直角坐標系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據直角坐標和極坐標之間二重積分的轉化可得5、設有平面閉區(qū)域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，則=()A、B、C、D、0標準答案：A知識點解析：將閉區(qū)間D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=一x其分成兩部分D2和D3，如圖1-4—8所示，其中D2關于y軸對稱，D3關于x軸對稱，xy關于x和y均為奇函數，所以在D2和D3上，均有而cosxsiny是關于x的偶函數，關于y的奇函數，在D3積分不為零，在D2積分值為零，因此所以故選項A正確。6、設區(qū)域D由曲線圍成，則=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。標準答案：D知識點解析：區(qū)域D如圖1一4—9中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關于y軸對稱，可知在D1∪D2上關于x的奇函數積分為零，故；又由于D3，D4關于戈軸對稱，可知在D3∪D4上關于y的奇函數為零，故。因此故選D。7、設f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、D、xy+1。標準答案：C知識點解析：等式兩端積分得8、設f(x，y)連續(xù)，且其中D表示區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1，則=()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：于是因此應選C。9、設區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0,y≥0}f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a，b為常數，則=()A、abπ。B、C、(a+b)π。D、標準答案：D知識點解析：由根據輪換對稱性可得因此正確選項為D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知極坐標系下的累次積分其中a＞0為常數，則，在直角坐標系下可表示為_________。標準答案：知識點解析：先將I表示成，用D的極坐標表示因此可知區(qū)域如圖1—4—15所示：如果按照先y后x的積分次序，則有因此可得11、設平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=_________。標準答案：知識點解析：本題可以利用極坐標變換，，因此12、設D={(x，y)|x2+y2≤1}，則=_________。標準答案：知識點解析：利用函數奇偶性及輪換對稱性13、D是頂點分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則=_________。標準答案：知識點解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則利用換元法，令1+c=t，x∈[0，1]時，t∈[1，2]，則14、設f(x，y)連續(xù)，且，其中D是由所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=_________。標準答案：知識點解析：首先令，則A為常數，此時f(x，y)=x+Ay。15、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=_________。標準答案：知識點解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標表示為16、設D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=_________。標準答案：知識點解析：由題干可知，17、其中D由y軸，圍成。標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)18、計算二重積分，其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標準答案：積分區(qū)域D如圖1—4—17的陰影部分所示。知識點解析：暫無解析19、計算，其中D：x2+y2≤2x。標準答案：由于積分區(qū)域關于x軸對稱，3exsiny關于y為奇函數，故知識點解析：暫無解析20、計算二重積分，其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。標準答案：由題意，知識點解析：暫無解析21、計算二重積分其中標準答案：將極坐標轉化為直角坐標，可得積分區(qū)域如圖1—4—18所示。D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，知識點解析：暫無解析22、設D={(x，y)|(x一1)2+(y—1)2=2}，計算二重積分。標準答案：知識點解析：暫無解析23、求二重積分，其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標準答案：積分區(qū)域D如圖1一4—19所示，D的極坐標表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此知識點解析：暫無解析24、計算，其中D={(x，y)|0≤y≤min{x，1一x}}。標準答案：積分區(qū)域如圖l一4—20所示，在極坐標中知識點解析：暫無解析25、計算。標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。標準答案：D是正方形區(qū)域(如圖1_4—21)。因在D上被積函數分塊表示為于是要用分塊積分法，用y=x將D分成兩塊：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥z}。則有知識點解析：暫無解析27、計算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。標準答案：記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D}因此知識點解析：暫無解析28、設，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數。計算二重積分標準答案：令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤2，x≥0，y≥0}。則有知識點解析：暫無解析29、設二元函數計算二重積分標準答案：因為被積函數關于x，y均為偶函數，且積分區(qū)域關于x，y軸均對稱，所以．其中D1為D在第一象限內的部分。知識點解析：暫無解析30、計算二重積分，其中D由曲線與直線及圍成。標準答案：積分區(qū)域如圖1-4-22所示，D=D1∪D2，其中知識點解析：暫無解析31、求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖l-4-2)。標準答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}(如圖1—4—23所示)。知識點解析：暫無解析32、計算二重積分，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線所圍成。標準答案：引入極坐標(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為知識點解析：暫無解析33、計算積分標準答案：設二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析34、設區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分標準答案：積分區(qū)域D如圖1—4—24所示。因為區(qū)域D關于x軸對稱，函數是變量y的偶函數，函數是變量y的奇函數。則取D1=D∩{y≥0}，知識點解析：暫無解析35、計算二重積分，其中D是由直線x=2，y=2，x+y=1，y+y=3以及x軸與y所圍成的平面區(qū)域。標準答案：由題設知，積分區(qū)域是如圖1—4—25所示的六邊形區(qū)域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤)，≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤)，≤3一x}。于是知識點解析：暫無解析36、求下列積分。(I)設f(x)=∫1-xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；(Ⅱ)設函數f(x)在[0，1]連續(xù)且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標準答案：知識點解析：暫無解析37、已知函數f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分I=標準答案：將二重積分,轉化為累次積分可得首先考慮∫01xyfxy’’(x，y)dx，注意這里把變量y看作常數，故有∫01xyfxy’’(x，y)dx=y∫01xdfy’(x，y)=xyfy’(x,y)｜01一∫01yfy’(x,y)dx=yfy’(1,y)一∫01yfy’(x,y)dx。由f(1，y)=fy’(x，1)=0易知f’(1，y)=fy’(x，1)=0。所以∫01xyfxy’’(x,y)dx=一∫01yfy’(x，y)dx。因此對該積分交換積分次序可得，一∫01dyyfy’(x，y)dx=－∫01dx∫01yfy’(x，y)dy。再考慮積分∫01yfy’(x，y)dy，注意這里把變量x看作常數，故有∫01yfy’(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x,y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x)dy，因此=∫01dx∫01f(x,y)dy。知識點解析：暫無解析38、設函數f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，,求∫01dx∫01f(x)f(y)dy。標準答案：交換積分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a，b為常數，則=()A、abπB、C、(a+b)π．D、標準答案：D知識點解析：由根據輪換對稱性可得因此正確選項為D．2、設f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數，且φy’(x，y)≠0．已知(x0，y0)gf(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是()A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0．B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0．C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0．D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0．標準答案：D知識點解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0．當λ=0時，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但λ≠0時，由(2)及φy’(x0,y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0．因而A、B錯誤．若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0．3、設函f(x)連續(xù)，若其中區(qū)域Dw為圖4—1中陰影部分，則=()A、vf(u2)．B、C、vf(u)．D、標準答案：A知識點解析：題設圖像中所示區(qū)域用極坐標表示為0≤θ≤v．1≤r≤u．因此可知4、設函數f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx=().A、∫12dx∫14-xf(x,y)dy．B、∫12dx∫x4-xf(x,y)dyC、∫12dx∫14-yf(x,y)dy．D、∫12dx∫yyf(x,y)dy標準答案：C知識點解析：∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx的積分區(qū)域為兩部分(如圖4—8)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個積分區(qū)域為D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}．故二重積分可以表示為∫12dy∫14-yf(x,y)dx,故答案為C.5、=()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：結合二重積分的定義可得6、設其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則()A、I3＜I2＜I1．B、I1＜I2＜I3．C、I2＜I1＜I3．D、I3＜I1＜I2．標準答案：A知識點解析：在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有故應選A．7、已知則()A、fx’(0，0),fy’(0，0)都存在．B、fx’(0，0)不存在fy’(0，0)存在．C、fx’(0，0)不存在,fy’(0，0)不存在．D、fx’(0，0),fy’(0，0)都不存在．標準答案：B知識點解析：故fx’(0，0)不存在所以fy’(0，0)存在．故選B．8、設函數f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：因為曲線r=2在直角坐標系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據直角坐標和極坐標之間二重積分的轉化可得9、設S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1為S在第一象限中的部分，則有()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：經過分析可知，答案的四個選項右端均大于零，而S關于平面x=0和y=0是對稱的，因此A，B，D三項中的左端均為零，因此C一定為正確選項．事實上，有10、考慮二元函數f(x，y)的四條性質：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)，②f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數連續(xù)，③f(x，y)在點(x0，y0)處可微，④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數存在．則有()A、②→③→①．B、③→②→①．C、③→④→①．D、③→①→④．標準答案：A知識點解析：本題主要考查二元函數f(x，y)的連續(xù)性，可偏導性，可微性及偏導數的連續(xù)性之間的關系．由于f(x，y)的兩個偏導數連續(xù)是可微的充分條件，而f(x，y)可微是其連續(xù)的充分條件，因此正確選項為A．11、極限()A、不存在．B、等于1．C、等于0．D、等于2．標準答案：C知識點解析：由于0≤｜xyln(x2+y2)≤(x2+y2)ln(x2+y2)(當x2+y2＜1時)，令x2+y2=r，則12、設函數f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導數，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值的一個充分條件是()．A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0．B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0．C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0．D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0．標準答案：A知識點解析：由z=f(x)g(y)，得當f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時，B2一AC＜0，且A＞0，此時z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值．因此正確選項為A．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)13、已知極坐標系下的累次積分．其中a＞0為常數，則I在直角坐標系下可表示為__________．標準答案：知識點解析：本題主要考查把極坐標系下的累次積分轉化為直角坐標系下的累次積分．如果按照先y后x的積分次序，則有14、設f(x，y)連續(xù)，且,x=1，y=2所圍區(qū)域，則f(x，y)=_________．標準答案：知識點解析：15、設連續(xù)函數z=f(x，y)滿足=______________.標準答案：2dx一dy知識點解析：根據以及函數z的連續(xù)性可知f(0，1)=1，從而已知的極限可以轉化為16、設函數z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy確定，則=_____________.標準答案：2—2ln2知識點解析：把點(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0．在(x+y)n=xy兩邊同時對x求偏導數，三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)17、設D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數．計算二重積分標準答案：知識點解析：暫無解析18、設區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1，戈≥0}，計算二重積分標準答案：積分區(qū)域D如圖4—19所示．因為區(qū)域D關于x軸對稱，函數是變量y的偶函數，函數是變量y的奇函數．則取D1=D∩{y≥0}，知識點解析：暫無解析19、已知函數f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分I=標準答案：將二重積分知識點解析：暫無解析20、設D={(x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若fxy’’與fyx’’在D上連續(xù)，證明標準答案：知識點解析：暫無解析21、設D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，計算二重積分標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}．標準答案：積分區(qū)域如圖4—20所示，在極坐標中知識點解析：暫無解析23、求二重積分其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域．標準答案：積分區(qū)域D如圖4—21，D的極坐標表示是：知識點解析：暫無解析24、計算標準答案：令知識點解析：暫無解析25、求下列積分．(1)設(2)設函數f(x)在[0，1]連續(xù)且標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．標準答案：記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)｜x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此知識點解析：暫無解析27、設二元函數計算二重積分標準答案：因為被積函數關于x，y均為偶函數，且積分區(qū)域關于x，y軸均對稱，所以其中D1為D在第一象限內的部分．知識點解析：暫無解析28、求二重積分，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y—1)2≤2，y≥x}．標準答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x1．由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識點解析：暫無解析29、設平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成．計算標準答案：知識點解析：暫無解析30、計算二重積分其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析31、計算二重積分其中D由曲線與直線及圍成.標準答案：積分區(qū)域如圖4—22所示D=D1∪D2，知識點解析：暫無解析32、已知函數f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導數f(1，1)=2是f(u，v)的極值，已知z=f(x+y)f(x，y)]．求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設函數f(x，y)可微，且對任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2．B、x1＞x2，y1＞y2．C、x1＜x2，y1＜y2．D、x1＜x2，y1＞y2．標準答案：D知識點解析：由則需對x和y分開考慮，則已知的兩個不等式分別表示函數f(x，y)關于變量戈是單調遞增的，關于變量y是單調遞減的．因此，當x1＜x2，y1＞y2時，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故選D．2、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dxB、∫eyedy∫01f(x,y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dxD、∫01dy∫eyef(x,y)dx標準答案：D知識點解析：交換積分次序得3、設f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy．B、2xy．C、D、xy+1．標準答案：C知識點解析：4、則積分域為()A、x2+y2≤a2．B、x2+y2≤a2(x≥0)．C、x2+y2≤ax．D、x2+y2≤ax(y≥0)．標準答案：C知識點解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故選C．5、設f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則()A、不一定存在．B、存在且等于f(0，0)．C、存在且等于πf(0，0)．D、存在且等于．標準答案：C知識點解析：由積分中值定理知6、設區(qū)域D由曲線=()A、π．B、2．C、一2．D、一π．標準答案：D知識點解析：區(qū)域D如圖4—7中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分．由于D1，D2關于y軸對稱，可知在D1∪D2上關于x的奇函數積分為零，故；又由于D3，D4關于x軸對稱，可知在D3∪D4上關于y的奇函數為零，故．因此，，故選D．7、設平面D由及兩條坐標軸圍成，則()A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．標準答案：C知識點解析：顯然在D上0＜x+y≤1，則ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有，故選C．8、設D為單位圓x2+y2≤1，，則()A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I3＜I2＜I1．D、I1＜I3＜I2．標準答案：D知識點解析：由于積分域D關于兩個坐標軸都對稱，而x3是x的奇函數，y3是y的奇函數，則由于在D內｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則從而有I1＜I3＜I2．故選D．9、設其中函數f可微，則=()A、2yf’(xy)．B、一2yf’(xy)．C、D、標準答案：A知識點解析：先根據函數求出必要偏導數的表達形式，將結果代入應該選A．10、設Dk是圓域D={(x，y)｜x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則()A、I1＞0．B、I2＞0．C、I3＞0．D、I4＞0．標準答案：B知識點解析：根據極坐標系下二重積分的計算可知二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=___________．標準答案：知識點解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標表示為12、積分∫02dx∫x2e-y2dy=__________．標準答案：知識點解析：如圖4一10積分區(qū)域，則13、交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=__________．標準答案：知識點解析：由累次積分的內外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖4一11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2．則有14、積分=__________．標準答案：1一sin1知識點解析：15、D是頂點分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則=_________．標準答案：知識點解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時，t∈[1，2]，則16、交換積分次序=__________．標準答案：知識點解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖4—13所示，則有17、設D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=____________.標準答案：知識點解析：由題干可知，18、設f(u，v)是二元可微函數，=____________.標準答案：知識點解析：本題為二元復合函數求偏導，直接利用公式即可．利用求導公式可得19、設函數z=f(x，y)(xy≠0)滿足，則dz=___________．標準答案：(2x一y)dx一xdy知識點解析：利用變量替換，設，則有即f(x，y)=x2一xy，因此出=(2x一y)dx一xdy三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、設標準答案：由已知知識點解析：暫無解析21、求函數u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值．標準答案：可以利用拉格朗日乘數法求極值．兩個約束條件的情況下，作拉格朗日函數F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)．代入原函數，求得最大值為72，最小值為6．知識點解析：暫無解析22、設函數f(u)具有二階連續(xù)導數，函數z=f(exsiny)滿足方程，若f(0)=0，f’(0)=0，求函數f(u)的表達式．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數，其中φ具有二階導數且φ’≠一1．(1)求dz；(2)記標準答案：知識點解析：暫無解析24、設標準答案：先求而且f(x)是一元函數f(u)與二元函數u=xy的復合，u是中間變量；φ(xy)是一元函數φ(v)與二元函數v=x+y的復合，v是中間變量．由于方便，由復合函數求導法則得知識點解析：暫無解析25、求二重積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}．標準答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個區(qū)域D1和D2+D3(如圖4一16)知識點解析：暫無解析26、計算二重積分其中標準答案：將極坐標轉化為直角坐標，可得積分區(qū)域如圖4—17所示．知識點解析：暫無解析27、設函數f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy標準答案：知識點解析：暫無解析28、計算二重積分其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線所圍成．標準答案：引入極坐標(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為知識點解析：暫無解析29、計算積分標準答案：設二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析30、計算二重積分其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．標準答案：D是正方形區(qū)域(如圖4—18)．因在D上被積函數分塊表示知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、考慮二元函數f(x，y)的下面4條性質：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)．②f(x，y)在點(x0，y0)處兩個偏導數連續(xù)．③f(x，y)在點(x0，y0)處可微．④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數存在．若用“”表示可由性質P推出性質Q，則有()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：根據二元函數的連續(xù)、偏導數存在、可微、偏導數連續(xù)之間的關系，由于“偏導數連續(xù)必可微”，而“可微必連續(xù)”，故應選(A)．2、二元函數f(x，y)=在(0，0)處()A、連續(xù)，偏導數存在．B、連續(xù)，偏導數不存在．C、不連續(xù)，偏導數存在．D、不連續(xù)，偏導數不存在．標準答案：C知識點解析：由偏導數的定義知fx’(0，0)=同理fy’(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)處偏導數存在．又當(x，y)沿y=kx趨向(0，0)點時，k取不同值，該極限值也不同，所以極限不存在，即f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)．3、設函數f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中g(x，y)在點(0，0)的某鄰域內連續(xù)，且g(0，0)=0，則在點(0，0)處()A、fx’(0，0)與fy’(0，0)都不存在．B、fx’(0，0)與fy’(0，0)都存在，但都不為0．C、fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，但f(x，y)不可微．D、f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．標準答案：D知識點解析：即fx’(0，0)=0．同理fy’(0，0)=0，排除(A)，(B)．△f=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=|△x一△y|g(△x，△y)，△f-[fx(0，0)△x+fy’(0，0)△y]=|△x一△y|g(△x，△y)，可知f(x，y)在(0，0)點可微，故應選(D)．4、設u=u(x，y)為二元可微函數，且滿足，則當x≠0時，=()A、一1．B、C、1．D、標準答案：B知識點解析：暫無解析5、已知函數f(x，y)在點(0，0)的某個鄰域內連續(xù)，且，則()A、點(0，0)不是函數f(x，y)的極值點．B、點(0，0)是函數f(x，y)的極大值點．C、點(0，0)是函數f(x，y)的極小值點．D、根據條件無法判別點(0，0)是否為函數f(x，y)的極值點．標準答案：A知識點解析：又因為f(x，y)在點(0，0)的某個鄰域內連續(xù)，由極限與無窮小的關系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中當xy≠0時，顯然f(x，y)=xy+o(xy)，當xy＞0時，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＞0，當xy＜0時，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＜0，故由極值的定義知點(0，0)不是函數f(x，y)的極值點，應選(A)．6、設函數f(x)具有二階連續(xù)的導數，且f(x)＞0，f’(0)=0，則函數z=f(x)lnf(y)在點(0，0)處取得極大值的一個充分條件是()A、f(0)＞1，f"(0)＞0．B、f(0)＞1，f"(0)＜0．C、f(0)＜1，f"(0)＞0．D、f(0)＜1，f"(0)＜0．標準答案：B知識點解析：因為函數f(x)具有二階連續(xù)的導數，且在點(0，0)處取得極大值，所以(0，0)是z=f(x)lnf(y)的駐點．又因此在(0，0)處，A=f"(0)lnf(0)，B=0，C=f"(0)．由于函數z=f(x)lnf(y)在點(0，0)處取得極大值，故應有A＜0，C＜0，即f(0)＞1，f"(0)＜0，應選(B)．7、設u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上是C(2)類函數，且滿足則u(x，y)的()A、最大值點和最小值點必定都在D的內部．B、最大值點和最小值點必定都在D的邊界上．C、最大值點在D的內部，最小值點在D的邊界上．D、最小值點在D的內部，最大值點在D的邊界上．標準答案：B知識點解析：先考慮平面有界閉區(qū)域D的內部：由條件A+C=知A，C異號，又所以AC—B2＜0，因此由函數取極值的充分條件知u(x，y)在D的內部沒有極值點．因為u(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，必有最大值和最小值，而在D的內部沒有極值點，所以u(x，y)的最大值點和最小值點一定都在D的邊界上，故應選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)8、設函數f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，則標準答案：f2’．知識點解析：由復合函數的求導法則，9、設z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，則標準答案：2知識點解析：在給定方程的兩邊分別對x求偏導數，并注意到z是x，y的二元函數，三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、設函數f(x，y)=討論f(x，y)在(0，0)點的可微性．標準答案：極限值與k有關，由此可知f(x，y)在(0，0)點處不可微．知識點解析：暫無解析11、求z=x+(y-1)arcsin在(0，1)點的偏導數．標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設x=eucosv，y=eusinv，z=uv．試求標準答案：把x，y看成中間變量，u，v看成自變量，由復合函數的偏導數的求導法則，得知識點解析：暫無解析14、設z=[sin(xy)]xy，求dz．標準答案：由于z=[sin(xy)]xy=exyln[sin(xy)]，利用一階微分形式的不變性，得知識點解析：暫無解析15、設z=f(2x—y，ysinx)，其中f(u，v)具有二階連續(xù)偏導數，求標準答案：設z=f(u，v)，其中u=2x-y，v=ysinx．又f(u，v)具有二階連續(xù)偏導數，所以f12"=f21"，故知識點解析：暫無解析16、設z=xf(x，u，v)，u=ln(cosx)，v=xsiny，其中f可微，求標準答案：z=xf(x，ln(cosx)，xsiny)，知識點解析：暫無解析17、已知z=u(x，y)eax+by，且，試確定常數a，b，使得恒成立．標準答案：代入給定方程，得到．故a=1，b=1．知識點解析：暫無解析18、設變換求常數a．標準答案：令6+a—a2=0，得a=3，a=一2(舍去)．知識點解析：暫無解析19、由方程聽確定的函數z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的全微分dz=_________.標準答案：在給定方程的兩邊分別對x求偏導數，并注意到z是x,y的二元函數，得知識點解析：暫無解析20、設方程組確定函數u=u(x，y)，v=v(x，y)，求標準答案：對方程組中兩個等式分別對x求偏導數，得將上面等式中的看成未知數，整理得知識點解析：暫無解析21、設u=f(x，y，z)具有連續(xù)的一階偏導數，又y=y(x)，z=z(x)分別由exy一xy=2和所確定，求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設y=g(x，z)，而z是由方程f(x-z，xy)=0所確定的x，y的函數，求標準答案：設這是兩個方程組成的方程組，有三個未知數．由欲求的結果可知方程組確定y，z分別是x的一元函數．方程組的兩邊分別對x求導，得將上面等式中的看成未知數，整理得利用克拉默法則，有知識點解析：暫無解析23、設函數f(x)在(0，+∞)內具有二階連續(xù)導數，且與f(1)=f’(1)=1．求函數f(r)的表達式．標準答案：兩邊同乘r2，得r2f"(r)+2rf’(r)=0，即[r2f’(r)]’=0，于是，r2f’(r)=C．知識點解析：暫無解析24、設函數f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數，且滿足f(0，0)=1，fx’(0，0)=2，fy’(0，y)=一3以及fxx"(x，y)=y，fxy"(x，y)=x+y，求f(x，y)的表達式．標準答案：將fxx"(x，y)=y對變量x求不定積分，得fx’(x，y)=∫ydx+C1(y)=xy+C1(y)．同樣將fxy"(x，y)=x+y對變量y求不定積分，得fx’(x，y)=∫(x+y)dx=xy+比較兩個表達式，得由于fx’(0，0)=2，故C=2．即fx’(x，y)=將fy’(x，y)=兩邊對x求不定積分，得由于fy’(0，y)=-3，得C2’(y)=一3．故C2(y)=一3y+C3，于是再由f(0，0)=1的C3=1，所以f(x，y)=知識點解析：暫無解析25、求函數z=x4+y4一x2一2xy—y2的極值．標準答案：因此函數的駐點為(1，1)，(一1，一1)，(0，0)．在(1，1)處，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(1，1)是極小值點，z(1，1)=一2是函數的極小值．在(一1，一1)處，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(一1，一1)是極小值點，z(一1，一1)=一2是函數的極小值．在(0，0)處，A=一2，B=一2，C=一2，AC-B2=0，無法用函數取極值的充分條件判斷，需用函數極值的定義判斷．將函數改寫成z=x4+y4-(x+y)2，則易知：在點(0，0)的充分小的去心鄰域內，若點(x，y)位于y=一x上，則z=2x4＞0=f(0，0)；若點(x,y)位于x=0上，則z=y2(y2-1)＜0=f(0，0)．故(0，0)不是函數的極值點．總之，函數的極小值為一2，沒有極大值．知識點解析：暫無解析26、證明：函數z=(1+ey)cosx-yey有無窮多個極大值而無極小值．標準答案：令可得無窮多個駐點：(nπ，(一1)n一1)(n=0，±1，±2，…)．當n=2k(k為整數)時，對應的駐點為(2kπ，0)，此時A=一2＜0，B=0，C=一1，AC—B2=2＞0，故(2kπ，0)是極大值點，極大值為2．當n=2k+1(k為整數)時，對應的駐點為((2k+1)π，一2)，此時A=1+e-2，B=0，C=一e-2，AC一B2=一e-2.(1+e-2)＜0，故((2k+1)π，一2)不是極值點．綜上可知，函數z=(1+ey)cosx—yey有無窮多個極大值而無極小值．知識點解析：暫無解析27、求函數f(x，y)=x2+2y2在約束條件x2+y2=1下的最大值和最小值．標準答案：轉化為無條件極值．由約束條件可得x2=1—y2，一1≤y≤1，代入目標函數f(x，y)=x2+2y2中，得φ(y)=(1一y2)+2y2=1+y2，一1≤y≤1．由φ’(y)=2y=0得唯一駐點y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值為2，最小值為0．故函數f(x，y)=x2+2y2在約束條件x2+y2=1下的最大值和最小值分別為2，0．知識點解析：暫無解析28、求橢圓x2+4y2=4上一點，使其到直線2x+3y一6=0的距離最短．標準答案：設p(x，y)為橢圓x2+4y2=4上任意一點，則p到直線2x+3y一6=0的距離為求d的最小值點即求d2的最小值點．下面利用拉格朗日乘數法求d2的最小值點．由問題的實際意義最短距離存在，因此即為所求的極小值點．知識點解析：暫無解析29、給定橢球體在第一象限的部分．(1)求橢球體上任意點M0(x0，y0，z0)(x0＞0，y0＞0，z0＞0)處橢球面的切平面．(2)在何處的切平面與三個坐標面圍成的空間區(qū)域的體積最?。畼藴蚀鸢福汗试邳cM0(x0，y0，z0)處橢球面的切平面方程整理得(2)過點M0(x0，y0，z0)的切平面在三個坐標軸上的截距分別為所圍體積為上述前三個方程分別乘x，y，z再相加，將此代入第一個方程中，得同理，將λ的值分別代入第二個方程和第三個方程中，得故在點處的切平面與三個坐標面圍成的空間區(qū)域的體積最小，其最小值為知識點解析：暫無解析30、已知函數z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求z=f(x，y)在橢圓域D=上的最大值和最小值．標準答案：首先求出f(x，y)的表達式．由dz=2xdx一2ydy，可知z=f(x，y)=x2一y2+C．再由f(1，1)=2．得C=2，故z=f(x，y)=x2一y2+2．其次求區(qū)域D內部的可能極值點．由方程組可知在區(qū)域D內有一個駐點(0，0)．f(0，0)=2．最后求區(qū)域D的邊界上的可能極值點，轉化為無條件極值計算．在橢圓，z=x2一(4—4x2)+2=5x2一2，其中(一1≤x≤1)，其最大值為z|x=±=3，最小值為z|x=0=一2．再與f(0，0)=2比較，可知f(x，y)在橢圓域D上的最大值為3，最小值為一2．知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、二元函數f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：按可微性定義f(x，y)在(0，0)可微題中的C項即A=B=0的情形．故選C．2、已知fx(x0，y0)存在，則=()A、fx(x0，y0)．B、0．C、2fx(x0，y0)．D、(x0,y0)．標準答案：C知識點解析：故選C．3、設則f(x，y)在點(0，0)處()A、兩個偏導數都不存在．B、兩個偏導數存在但不可微．C、偏導數連續(xù)．D、可微但偏導數不連續(xù)．標準答案：B知識點解析：由偏導數定義，有故f(x，y)在(0，0)點不可微．應選B．4、已知為某二元函數u(x，y)的全微分，則a等于()A、0．B、2．C、1．D、一1．標準答案：B知識點解析：5、函數f(x，y)在(0，0)點可微的充分條件是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：由可知f(x，y)的兩個一階偏導數fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)點可微，故選D．6、設函數z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點．B、不是f(x，y)的極值點．C、是f(x，y)的極大值點．D、是f(x，y)的極小值點．標準答案：D知識點解析：為函數z=f(x，y)的一個極小值點．因此正確選項為D．7、設函數z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數，且F2’≠0，則=()A、x．B、z．C、一x．D、一z．標準答案：B知識點解析：即正確選項為B．8、設z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(x0，y0)處的全增量，則在點(x0，y0)處()A、△z=dz．B、△z=fx(x0，y0)Ax+fy(x0，y0)△y．C、△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D、△z=dz+o(p)．標準答案：D知識點解析：由于z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(p)=dx+o(p)，故選D．9、設則f(x，y)在點(0，0)處()A、不連續(xù)．B、連續(xù)但兩個偏導數不存在．C、兩個偏導數存在但不可微．D、可微．標準答案：D知識點解析：由微分的定義可知f(x，y)在點(0，0)處可微，故選D．10、已知du(x，y)=(axy3+cosx(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy，則()A、a=2，b=一2．B、a=3，b=2．C、a=2，b=2．D、a=2，b=2．標準答案：C知識點解析：由du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy知以上兩式分別對y，x求偏導得即3axy2一2sin(x+2y)≡6xy2一bsin(x+2y)，得a=2，b=2，故選C．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數，則fx’(0，1，一1)=____________.標準答案：1知識點解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’．在等式x+y+z+xyz=0兩端對x求偏導可得1+zx’+yz+xyzx’=0．由x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0．故fe’(0，1，一1)=e0=1．12、設在點(0，0)處連續(xù)，則a=________．標準答案：0知識點解析：因為13、設=________．標準答案：知識點解析：由題意可知：14、設二元函數z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz｜=_________．標準答案：2edx+(e+2)dy知識點解析：由已知因此dz｜(1,0)=2edx+(e+2)dy．15、設z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=__________．標準答案：知識點解析：16、設函數f(u)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(1，1)處的全微分dz｜(1,1)=_________．標準答案：4(dx+dy)知識點解析：由題干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(0,0)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．17、設函數f(u)可微，且，則z=f(4x2一y2)在點(1，2)處的全微分dz｜(1,2)=___________．標準答案：4dx一2dy．知識點解析：直接利用微分的形式計算，因為18、設具有二階連續(xù)導數，則=_____________.標準答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識點解析：由題干可得：19、設z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二階連續(xù)導數，則=__________．標準答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識點解析：由題干可知，20、設平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分_____________.標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導數，且標準答案：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時對x求導數，得到如下等式因此，可得知識點解析：暫無解析22、設函數f(u)具有二階連續(xù)導數，而z=f(exsiny)滿足方程求f(u)．標準答案：由題意知識點解析：暫無解析23、設y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數，其中f和F分別具有一階連續(xù)導數和一階連續(xù)偏導數，求標準答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對x求導，得知識點解析：暫無解析24、設其中f具有二階連續(xù)偏導數，g具有二階連續(xù)導數，求.標準答案：根據復合函數的求導公式，有知識點解析：暫無解析25、已知函數z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值．標準答案：下面討論其在邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數為知識點解析：暫無解析26、設曲線L的方程為(1)求L的弧長；(2)設D是由曲線L，直線x=1，x=e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標．標準答案：(1)曲線的弧微分為知識點解析：暫無解析27、設z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0確定的函數，求z=z(x，y)的極值點和極值．標準答案：在方程x2—6xy+10y2一2yz—z2+18=10的兩端分別對x，y求偏導數，因此有知識點解析：暫無解析28、設函數f(u)在(0，+∞)內有二階導數，且(1)驗證(2)若f(1)=0,f’(1)=1，求函數f(u)的表達式．標準答案：f(u)=lnu+C2，由f(1)=0．可得C2=0，故f(u)=lnu．知識點解析：暫無解析29、求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖4—2)．標準答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}，((如圖4—15)知識點解析：暫無解析30、設z=f(xy，yg(x))，其中函數f具有二階連續(xù)偏導數，函數g(x)可導，且在z=1處取得極值標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。標準答案：B知識點解析：根據極坐標系下二重積分的計算可知2、設f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于。標準答案：C知識點解析：由積分中值定理知3、設函數f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，則等于()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：積分區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如圖1—4—3)。在直角坐標系下因此正確答案為D。4、設函數f(x，y)連續(xù)，則二次積分等于()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：由題設可知可轉化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故應選B。5、累次積分∫01dx∫01f(x,y)+∫11dy∫12(x，y)dy+∫02-ydyf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2-xf(x，y)dy。B、∫01dy∫02-yf(x，y)dx。C、∫01dx∫x2-xf(x，y)dy。D、∫01dy∫y2-yf(x，y)dx。標準答案：C知識點解析：原積分域為直線y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。6、設函數f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy+∫y4-yf(x，y)dx=()A、∫12dx∫14-xf(x，y)dy。B、∫12dx∫x4-xf(x，y)dy。C、∫12dy∫14-yf(x,y)dx。D、∫12dy∫y2f(x,y)dx。標準答案：c知識點解析：∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx的積分區(qū)域為兩部分(如圖1-4—4)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個積分區(qū)域為D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重積分可以表示為∫12dy∫14-yf(x,y)dx，故答案為C。7、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x,y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dx。B、∫eyedy∫01f(x,y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dx。D、∫01dy∫eyef(x,y)dx。標準答案：D知識點解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。8、設函數f(x)連續(xù)，若，其中區(qū)域Duv為圖1—4—1中陰影部分，則=()A、vf(u2)B、C、vf(u)D、標準答案：A知識點解析：題設圖象中所示區(qū)域用極坐標表示為0≤θ≤v，1≤r≤u。因此可知根據變限積分求導可得9、設f(x)為連續(xù)函數，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,則F’(2)等于()A、2f(2)。B、(2)。C、-f(2)。D、0。標準答案：B知識點解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，從而F’(2)=f(2)。故選B。10、設=()A、1B、C、D、e一1標準答案：B知識點解析：積分區(qū)域如圖1—4-5故應選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設函數f(u，v)具有二階連續(xù)偏導數z=f(x，xy)，則=_________。標準答案：xf22’’+f2’+xyf22’’知識點解析：由題干可知，12、設函數f(u，v)由關系式f[xg(y，y]=x+g(y)確定，其中函數g(y)可微，且g(y)≠0，則=_________。標準答案：知識點解析：令u=xg(y)，v=y，則，所以，13、二元函數f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為=_________。標準答案：知識點解析：由題干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。所以則A＞0。14、設且z(1，y)=siny，則z(x，y)=_________。標準答案：知識點解析：15、積分∫02dx∫x2e-y2dy=_________。標準答案：知識點解析：如圖1-4—10積分區(qū)域，則16、交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x，y)dx=_________。標準答案：∫12dx∫01-xf(x,y)dy知識點解析：由累次積分的內外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖1—4一11)：一1≤y≤0，1—y≤x≤2.則有交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=-∫-10dy∫1-y2f(x,y)dx=-∫12dx∫1-x0f(x,y)dy=∫12dx∫01-xf(x,y)dy17、積分=_________。標準答案：1一sin1知識點解析：積分區(qū)域D如圖1—4—12所示，18、交換積分次序=_________。標準答案：知識點解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1-4-13所示，則有19、設f(x)，g(x)是連續(xù)函數，=_________。標準答案：知識點解析：因為于是20、將∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化為極坐標下的二次積分為_________。標準答案：知識點解析：如圖1—4—14所示，則有三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、求曲線x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點到坐標原點的最長距離與最短距離。標準答案：構造函數L(x，y)=x2+y2+A(x3一xy+y3一1)，得唯一駐點x=1，y=1，即M1(1，1)。考慮邊界上的點，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數在三點的取值分別為，因此可知最長距離為，最短距離為1。知識點解析：暫無解析22、求函數u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。標準答案：可以利用拉格朗日乘數法求極值，兩個約束條件的情況下，作拉格朗日函數F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，目令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函數，求得最大值為72，最小值為6。知識點解析：暫無解析23、求|z|在約束條件下的最大值與最小值。標準答案：｜z｜的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。且令知識點解析：暫無解析24、求原點到曲面(x一y)2+z2=1的最短距離。標準答案：根據題意，求曲面上的點(x，y，z)到原點的距離在條件(x一y)2+z2=1下達到最小值，運用拉格朗日函數法。令F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，則有由(3)式，若λ=一1，代入(1)，(2)得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x—y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。若λ≠一1，由(3)解得z=0。由(1)，(2)得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到故所求的最短距離為知識點解析：暫無解析25、求二元函數zf(x，y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標準答案：先求在D內的駐點，即因此在D內只有駐點相應的函數值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值①在x軸上y=0，所以f(x，0)=0。②在y軸上x=0，所以f(0，y)=0。③在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2一24x=0得x=0(舍)，x=0所以y=6一x=2。于是得駐點,相應的函數值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4,2)=一64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64。知識點解析：暫無解析26、已知函數z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值。標準答案：根據題意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令得可能極值點為x=0，y=0且△=B2一AC=4＞0，所以點(0，0)不是極值點，也不可能是最值點。下面討論其邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數為得可能極值點x=0,y=2,A=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0,A=一1；x=一1，y=0，λ=一1。將其分別代入f(x，y)得f(0，±2)=一2f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域內的最大值為3，最小值為一2。知識點解析：暫無解析27、設平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計算標準答案：根據已知則有知識點解析：暫無解析28、計算其中D是由所圍成的平面區(qū)域。標準答案：x2一2x+y2=0→(x一1)2+y2=1；y=一x與x2+y2=4的交點為y=-x與x2—2x+y2=0的交點為(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4與x2一2x+y2=0的交點為(2，0)。知識點解析：暫無解析29、求二重積分，其中D={(x，y)|(x一1)2+(y—1)2≤2，)，≥x}。標準答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2,y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識點解析：暫無解析30、求二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}。標準答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個區(qū)域D1和D2+D3(如圖1--4—16)知識點解析：暫無解析考研數學二（多元函數微積分學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設其中函數f可微，則=()A、2yf’(xy)。B、一2yf’(xy)。C、D、標準答案：A知識點解析：先根據函數求出偏導數的表達形式，再將結果代入應該選A。2、設可微函數f(x，y)在點(x0，y0)取得極小值，則下列結論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導數大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導數等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導數小于零。D、f(x0，y)在y=yo0處的導數不存在。標準答案：B知識點解析：因可微函數f(x，y)在點(x0，y0)取得極小值，故有fx’(x0，y0)=0,fy’(x0，y0)=0。又由。可知B正確。3、設函數f(x，y)可微，且對任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標準答案：D知識點解析：由，需對x和y分開考慮，則已知的兩個不等式分別表示函數f(x，y)關于變量x是單調遞增的，關于變量y是單調遞減的。因此，當x1＜x2，y1＞y1時，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y3)，故選D。4、設函數f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導數，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值的一個充分條件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。標準答案：A知識點解析：由z=f(x)g(y)，得當f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時，B2一AC＜0，且A＞0，此時x=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值。因此正確選項為A。5、設函數z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點。B、不是f(x，y)的極值點。C、是f(x，y)的極大值點。D、是f(x，y)的極小值點。標準答案：D知識點解析：根據dz=xdx+ydy可得，則又在(0，0)處根據二元函數極值點的判斷方法可知，(0，0)為函數z=f(x，y)的一個極小值點。因此正確選項為D。6、設f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數，且φy’(x，y)≠0。已知(x0,y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是()A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0。B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0。C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0。D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。標準答案：D知識點解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0當λ=0時，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但μ≠0時，由(2)及φy’(x0，y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0因而A,B錯誤。若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。7、=()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：結合二重積分的定義可得8、設其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則()A、I3＞I2＞I1。B、I1＞I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。標準答案：A知識點解析：在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有9、設平面D由及兩條坐標軸圍成則()A、I1＞I2＞I3。B、I3＞I1＞I2。C、I1＞I3＞I2。D、I3＞I2＞I1。標準答案：C知識點解析：故選C。10、設D為單位圓則()A、I1＞I2＞I3。B、I3＞I1＞I2。C、I3＞I2＞I1。D、I1＞I3＞I2。標準答案：D知識點解析：由于積分域D關于兩個坐標軸都對稱，而x3是x的奇函數，y3是y的奇函數，則積分區(qū)域關于y=x對稱，從而由輪換對稱性可知由于在D內｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則從而有I2＜I3＜I2。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設函數z=z(z，y)由方程z=e2x-3y+2y確定，則=__________。標準答案：2知識點解析：偏導數法。在z=e2x-3z+2y的兩邊分別對x，y求偏導，z為x，y的函數。12、設函數，則dz|(1,1)=__________。標準答案：(1+21n2)dx一(1+2ln2)dy知識點解析：13、設=__________。標準答案：知識點解析：設則z=uv，所以14、設函數z=f(x，y)(xy≠0)滿足，則dz=__________。標準答案：(2x—y)dx一xdy知識點解析：利用變量替換，設，則有即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx一xdy。15、設函數z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy確定，則=__________。標準答案：2—2ln2知識點解析：把點(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)z=xy兩邊同時對x求偏導數，有將x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得16、設z=z(x，y)是由方程確定的隱函數，則在點(0，一1，1)的全微分dz=__________。標準答案：2dx+dy知識點解析：方程兩邊微分，有將x=0，y=一1，z=1代入上式，得即有dz=2dx+dy。17、設，則df(x，y，z)|(1.1,1)=__________。標準答案：dx一dy知識點解析：由．有兩邊分別對x,y、z求偏導，得代入點(1，1，1)，得fx’=1，fy’=—1,fz’=0．故df(1,1,1)=dx一dy。18、設，且f(u)及g(u)具有二階連續(xù)導數，則=__________。標準答案：0知識點解析：由復合函數求導法則19、設具有二階連續(xù)導數，則=__________。標準答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識點解析：由題干可得：20、設z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二階連續(xù)導數，則=_________。標準答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識點解析：由題干可知，三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、已知函數f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導數,f(1，1)=2是f(u，v)的極值，已知z=f[(x+y),f(x，y)]。求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設z=f[xy，yg(x)]，其中函數f具有二階連續(xù)偏導數，函數g(x)可導，且在x=1處取得極值g(1)=1，求標準答案：(I)對方程兩端同時求導得2xdx+2ydy一dz=φ’(x+y+z).(dx+dy+dz)，(Ⅱ)由第(I)問可知，所以知識點解析：暫無解析23、設z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數，其中φ具有二階導數且φ’≠一1。記設對任意的x和y，有用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足的常數a和b。標準答案：知識點解析：暫無解析24、設函數u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數，且滿足等式確定a，b的值，使等式通過變換ξ=x+ay，η=x+by可化簡為標準答案：根據已知知識點解析：暫無解析25、設函數f(u)具有二階連續(xù)導數，而z=f(exsiny)滿足方程，求f(u)。標準答案：由題意知識點解析：暫無解析26、設函數f(u)在(0，+∞)內具有二階導數，且滿足等式(I)驗證(II)若f(1)=0,f’(1)=1，求函數f(u)的表達式。標準答案：知識點解析：暫無解析27、求的極值。標準答案：先求函數的駐點，fx’(x，y)=e一x=0,fy’(x，y)=一y=0，解得函數f(x，y)的駐點為(e，0)。又A=fxx’’(e，0)=一1，B=fxy’’(e，0)=0，C=fyy’’(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0。故f(x，