考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷4（共231題）

考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷4（共9套）（共231題）考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)a～β(x→a)，則等于()．A、eB、e2C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為α～β，所以，選(D)2、函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(a)不對，如存在，但f(x)在x=1處不連續(xù)，所以也不可導(dǎo)；存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．所以選(D)．3、設(shè)，其中D：x2+y2≤a2，則a為()．A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)解得a=2，選(B)．4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為()．A、(ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程為λ2-2λ-3=0，特征值為λ1=-1，λ2=3，故方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為x(ax+b)e-x，選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：6、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識點解析：7、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識點解析：因為φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)3+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．8、設(shè)u=u(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且，若u(x，3x)=x，u’x(x，3x)=x3，則u"xy(x，3x)=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：u(x，3x)=x兩邊對x求導(dǎo)，得u’x(x，3x)+3u’y(x，3x)=1，再對x求導(dǎo)，得u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)+9u"yy(x，3x)=0．由，得10u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)=0，u’x(x，3x)=x3兩邊對x求導(dǎo)，得u"xx(x，3x)+3u"xy(x，3x)=3x2，解得u"xy(x，3x)=三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)9、設(shè)f(x)在[1，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)<0且=a>0，令an=∫1nf(x)dx．證明：{an}收斂且0≤≤f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f’(x)<0，所以f(x)單調(diào)減少．又因為an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}單調(diào)減少．因為an=[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1)且，所以存在X>0，當(dāng)x>X時，f(x)>0．由f(x)單調(diào)遞減得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)>0，所以存在．知識點解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、x=φ(y)是y=f(x)的反函數(shù)，f(x)可導(dǎo)，且，f(0)=3，求φ"(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在(-1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0．證明：12、對(-1，1)內(nèi)任一點x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意X∈(-1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0<θ(x)<1．因為f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f"(x)>0，則f(x)在(-1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知識點解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得，其中ξ介于0與x之間，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)其中g(shù)(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且g(0)=1．14、確定常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=g’(0)時，f(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析15、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為，所以f’(0)在x=0處連續(xù)。知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a<1．21、確定a，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；標(biāo)準(zhǔn)答案：直線y=ax與拋物線y=xv的交點為(0，0)，(a，a2)．當(dāng)01+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2-ax)dx=令，S1+S2取到最小值，此時最小值為當(dāng)a≤0時，S=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=因為，所以S(a)單調(diào)減少，故a=0時S1+S2取最小值，而，S1+S2最?。R點解析：暫無解析22、求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：旋轉(zhuǎn)體的體積為知識點解析：暫無解析23、設(shè)u=u(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得三個方程兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，知識點解析：暫無解析25、在t=0時，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時刻t>0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時刻t>0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時間[t，t+dt]內(nèi)有，且滿足初始條件m1(0)=150，解得；在時間[t，t+dt]內(nèi)有，且滿足初始條件m2(0)=150．知識點解析：暫無解析26、某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化．標(biāo)準(zhǔn)答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200+16w)，其中叫為體重，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、f(x)g(x)在x0處可導(dǎo)，則下列說法正確的是()．A、f(x)，g(x)在x0處都可導(dǎo)B、f(x)在x0處可導(dǎo)，g(x)在x0處不可導(dǎo)C、f(x)在x0處不可導(dǎo)，g(x)在x0處可導(dǎo)D、f(x)，g(x)在x0處都可能不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令顯然f(x)，g(x)在每點都不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，但f(x)g(x)≡-1在任何一點都可導(dǎo)，選(D)．2、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令不存在，所以(a)不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)3、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：4、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：f(0)=f(0-0)=a，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=-2．5、設(shè)由方程xef(y)=ey確定y為x的函數(shù)，其中f(x)二階可導(dǎo)，且f’≠1，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：方程xef(y)=ey兩邊對x求導(dǎo)，得ef(y)+xef(y)f’(y)解得6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、∫max{x+2，x2}dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：12、設(shè)y=y(x)滿足，且有y(1)=1，則∫02y(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、設(shè)f"(0)=6，且標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)=0，f’(0)=0，知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f(a)<0，而存在且大于零．證明：f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：令=k>0，取ε0=＞0，因為=k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有｜f(x)-k｜≤，從而f(x)≥>0，特別地，f(X0)>0，因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析15、確定a，b，使得x-(a+bcosx)sinx當(dāng)x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：令y=x-(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x-(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，顯然y(0)=0，y"(0)=0，知識點解析：暫無解析16、f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．證明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"’(ξ)=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因為f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](-1，1)，使得f"’(ξ)=3．知識點解析：暫無解析17、證明：當(dāng)x>0時，(x2-1)lnx≥(x-1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，φ(1)=0．故x=1，為φ”(x)的極小值點，由其唯一性得其也為最小值點，而最小值為φ”(x)>0(x>0)故x=1為φ’(x)的極小值點，由其唯一性得其也為最小值點，而最小值為φ"(1)=2>0，故φ"(x)>0(x>0)．故x=1為φ(x)的極小值點，也為最小值點，而最小值為φ(1)=0，所以x>0時，φ(x)≥0，即(x2-1)lnx≥(x-1)2．知識點解析：暫無解析18、當(dāng)x>0時，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對任意的x∈[0，1]，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)-m≥0，f(x)-M≤0，從而知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[ta+(1-tb)]dt≤(b-a)[f(a)∫01tdt+f(b)∫01(1-t)dt]=知識點解析：暫無解析22、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x軸、y軸及x+y=6所圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，在L1：y=0(0≤z≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2．由=6x2-24x=0得x=4，因為f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值為-64，最大值為0．(2)在區(qū)域D內(nèi)，由得駐點為(2，1)，因為AC-B2＞0且A＜0，所以(2，1)為f(x，y)的極大點，極大值為f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值為m=f(4，2)-64，最大值為M=f(2，1)=4．知識點解析：暫無解析23、計算，其中D={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤x2)，D2={(x，y)｜-1≤x≤1，x2≤y≤2}，知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a>1)及x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為求：24、f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)-f(1)]，兩邊對a求導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析25、f(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、f(x)在[-1，1]上連續(xù)，則x=0是函數(shù)g(x)=的()．A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、連續(xù)點D、第二類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：顯然x=0為g(x)的間斷點，因為，所以x=0為g(x)的可去間斷點，選(A)2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’(0)=0，且=-1，則()．A、x=0為f(x)的極大點B、x=0為f(x)的極小點C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由極限保號，存在δ>0，當(dāng)0<｜x｜<δ時，<0，當(dāng)x→0時，｜x｜+x3>0，則當(dāng)0<｜x｜<δ時，f"(x)>0，從而0<｜x｜<δ在0<｜x｜<δ內(nèi)單調(diào)增加，則x=0為f(x)的極小點，應(yīng)選(B)3、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()．A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f’2+xf"12+xzf"22D、xzf"22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：=f’1+zf’2，=xf"12+f’2+xzf"22，選(C)4、設(shè)D：x2+y2≤16，則｜x2+y2-4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：｜x2+y2-4｜dxdy=∫02πdθ∫04｜r2-4｜rdr=2π∫04｜r2-4｜rdr=2π[∫02(4-r2)rdr+∫24(r2-4)rdr]=80π，選(B)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設(shè)a>0，且，則a=_______，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，4知識點解析：由得b=1，則，故a=4．6、若，則a=_______，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，-4知識點解析：7、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=1，f"(0)=e，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：e／2知識點解析：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，于是8、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)連續(xù)，則=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(u)du+xf(x)知識點解析：10、設(shè)z=，則dz=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)y"-3y’+ay=-5e-x的特解形式為Axe-x，則其通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：C1e-x+C2e4x+xe-x知識點解析：因為方程有特解Axe-x，所以-1為特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程為λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齊次方程y"-3y’+ay=0的通解為y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解為y=C1e-x+C2e4x+xe-x．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)a1=1，a2=2，3an+2-4an+1=0，n=1，2，…，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由3an+2-4an+1+an=0，得3(an+2-an+1)=an+1-an(n=1，2，…)．令bn=an+1-an，則bn+1／bn=1／3(n=1，2，…)，由b1=1，得bn=(n=1，2，…)，即解得an=1+，所以=5／2知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，討論f’(a)的存在性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=-g(a)f’-(a)=-g(a)；由=g(a)得f’+(a)=g(a)，當(dāng)g(a)=0時，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a處可導(dǎo)且f’(a)=0；當(dāng)g(a)≠0時，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，且滿足條件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f"(x)>g"(x)(x>a)．證明：當(dāng)x>a時，f(x)>g(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，顯然φ(a)=φ’(a)=0，φ"(x)>0(x>a)．由得φ’(x)>0(x>a)；再由得φ(x)>0(x>a)，即f(x)>g(x)．知識點解析：暫無解析17、證明不等式：xarctanx≥標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=xarctanx-，f(0)=0．令f’(x)=+arctanx-=arctanx=0，得x=0，因為f"(x)->0，所以x=0為f(x)的極小值點，也為最小值點，而f(0)=0，故對一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥知識點解析：暫無解析18、證明：當(dāng)x>0時，標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求∫013x2arcsinxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫xf(t)dt，則F(x)在[a，b]上三階連續(xù)可導(dǎo)，取x0=，由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+(a-x0)2+(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)，F(xiàn)(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+(b-x0)2+(b-x0)3，ξ2∈(x0，b)，兩式相減得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+F"’(ξ1)+F"’(ξ2)]，即∫abf(x)dx=(b-a)[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，因為f"(x)在[a，b]上連續(xù)，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f"(ξ)=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，從而∫abf(x)dx=(b-a)知識點解析：暫無解析24、設(shè)xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析25、計算(3xy+y2)dσ，其中D由y=x2，y=4x2及y=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、求滿足初始條件y"+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，則y"=，代入方程得+2xp2=0，解得=x2+C1，由y’(0)=1得C1=1，于是y’=，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、f(x)在x0處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，選(C)．2、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)<0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，其中ξ介于a與x之間．而，再由f(a)<0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點．又因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k>0)，所以f’(x)>0(x>a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點是唯一的，選(B)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)3、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點解析：4、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=_______，b=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：-1，1知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=-1，b=1．5、設(shè)y=y(x)由yexy+xcosx-1=0確定，求dy｜x=0=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2dx知識點解析：當(dāng)x=0時，y=1，將yexy+xcosx-1=0兩邊對x求導(dǎo)得將x=0，y=1代入上式得=-2，故dy｜x=0=-2dx．6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識點解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：4-π知識點解析：10、設(shè)f(x)滿足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)f(x)連續(xù)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、微分方程y’-xe-y+=0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：所以原方程的通解為三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)，求f(x)的間斷點并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的間斷點為x=kπ(k=0，±1，…)及x=kπ+(k=0，±1，…)．因為，所以x=0為f(x)的可去間斷點；因為，所以x=kπ(k=±1，±2，…)為f(x)的第二類間斷點；因為(k=0，±1，…)為f(x)的可去間斷點．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0xf(x-t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且=0，又f(2)=，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析17、設(shè)0＜a＜b，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx，則存在ξ∈(a，b)，使得，其中0＜a＜ξ＜b，則知識點解析：暫無解析18、求由方程x2+y2-xy=0確定的函數(shù)在x>0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當(dāng)x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤當(dāng)x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤f(1)+∫1nf(x)dx．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當(dāng)00kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1-k)∫0kf(x)dx-k∫k1f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因為00kf(x)dx-k∫01f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f"(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且∫abφ(x)dx=1．證明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因為φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，上述不等式兩邊再在區(qū)間[a，b]上積分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知識點解析：暫無解析22、設(shè)證明：f(x，y)在點(0，0)處可微，但在點(0，0)處不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以f(x，y)在點(0，0)處對x，y都可偏導(dǎo)，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．f(x，y)-f(0，0)-f’x(0，0)x-f’y(0，0)y=因為，所以f(x，y)在(0，0)處可微．當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，知識點解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲線y=f(x)，x=1及x軸(x≥0)所圍成的平面圖形為D．若D繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求：24、曲線y=f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xf’(x)-2f(x)==x+cx2．設(shè)平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則知識點解析：暫無解析25、曲線在原點處的切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：在原點處的切線方程為y=x，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)y=y(x)由確定，則y"(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：當(dāng)x=0時，由得y=1，應(yīng)選(A)2、函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)連續(xù)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：如f(x，y)=，在點(0，0)處可偏導(dǎo)，但不連續(xù)；又如f(x，y)=在(0，0)處連續(xù)，但對x不可偏導(dǎo)．選(D)3、設(shè)D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)為頂點的三角形區(qū)域，D1為區(qū)域D位于第一象限的部分，則(xy+cosxsiny)dσ等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令A(yù)(1，1)，B(0，1)，C(-1，-1)，D(-1，0)，E(-1，-1)，記△OAB、△OBC、△OCD、△ODE所在的區(qū)域分別記為D1，D2，D3，D4，選(A)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、當(dāng)x→0時，～ax2，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3／4知識點解析：5、設(shè)當(dāng)x→0時，ksin2x～，則k=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點解析：而當(dāng)x→0時，所以當(dāng)x→0時，，又ksin2x～kx2，所以k=1／2．6、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=-1處取得增量△x=0．05時，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因為△y的線性部分為dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=7、∫sin3xcosxdx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：cos4x-cos2x+C知識點解析：因為sin3xcosx=(sin4x+sin2x)，所以∫sin3xcosxdx=(∫sin4xdx+∫fsin2xdx)=cos4x-cos2x+C8、曲線y=x4(x≥0)與x軸圍成的區(qū)域面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)z==_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點解析：10、設(shè)f(x)連續(xù)，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-x知識點解析：由∫01[f(x)+xf(x)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，兩邊對x求導(dǎo)得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因為f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[0，1]時，由0≤≤sinnx≤xn，積分得0≤∫01dx≤∫01x2dx=而=0，由夾逼定理得知識點解析：暫無解析15、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、證明：當(dāng)x＞0時，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；f"(x)=>0(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln(1+x)(x＞0)．知識點解析：暫無解析17、求y=∫0x(1-t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=(1-x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=-arctanx+，因為y"(0)=1>0，y"(1)=<0，所以x=0為極小值點，極小值為y=0；x=1為極大值點，極大值為y(1)=∫01(1-t)arctantdt=∫01arctantdt-∫01tarctantdt知識點解析：暫無解析18、設(shè)0標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx-ax，由f’(x)=-a=0得x=由f"(x)=<0得x=為f(x)的最大點，由=-∞，f(0)=0得方程arctanxx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有唯一實根，位于內(nèi)．知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫-10｜t｜．etdt=-∫01td(et)=-tet｜-10+∫-10etdt=-e-1+1-e-1=1-2e-1．知識點解析：暫無解析23、求曲線y=cosx(-)與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：Vy=取[x，x+dx]，則dVy=2π｜x｜．cosxdx，知識點解析：暫無解析24、設(shè)z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對z-y-x+xez-y-x=0兩邊求微分，得dz-dy-dx+ez-y-xdx+zez-y-x(dz-dy-dx)=0，解得dz=知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)｜a≤x+y≤b}(0標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜0≤x≤a，a-x≤y≤b-x}，D2={(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b-x)，則f(x，y)dxdy=∫0ae-xdx∫a-xb-xdy+∫abe-xdx∫0b-xe-ydy=∫0ae-x(ex-a-ex-b)dx+∫abe-x(1-ex-b)dx=(a+1)(e-a-e-b)-(b-a)e-b．知識點解析：暫無解析26、求微分方程yy"=y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=P，則y"=，代入原方程得當(dāng)p=0時，y=1為原方程的解；當(dāng)p≠0時，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是，解得=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x=12處二階可導(dǎo)，則等于()．A、-f"(a)B、f’(a)C、2f"D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：，選(D)2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由，則存在δ>0，當(dāng)0<｜x-2｜<δ時，有，即當(dāng)x∈(2-δ，2)時，f’(x)<0；當(dāng)x∈(2，2+δ)時，f’(x)>0，于是x=2為f(x)的極小點，選(A)．3、對二元函數(shù)z=f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要條件是z=f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z=f(x，y)可微，則z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z=f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z=f(x，y)一定不可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為若函數(shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選(C)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)4、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4知識點解析：5、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f(x)≠0，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、若f(x)=2nx(1-x)n，記Mn==_______標(biāo)準(zhǔn)答案：2／e知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)7、確定常數(shù)a，b，C，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜x｜<1時，當(dāng)x>1時，y’=1；當(dāng)x<-1時，y’=-1；由得y在x=-1處不連續(xù)，故y’(-1)不存在；因為y’-(1)≠y’+(1)．所以y在x=1處不可導(dǎo)，知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且f｜f(4)(x)｜≤M(M>0)．證明：對此鄰域內(nèi)任一異于x0的點x，有其中x’為x關(guān)于x0的對稱點．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f’+(a)f’-(b)>0，且g(x)≠0(xE∈[a，b])，g"(x)≠0(a標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f’+(a)>0，f’-(b)>0，由f’+(a)>0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)>f(a)=0；由f’-(b)>0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)1)f(x2)<0，所以由零點定理，存在C∈(a，b)，使得f(c)=0．令，顯然h(x)在[a，b]上連續(xù)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ1)=0，令φ(x)=f(x)g(x)-f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在eξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，所以知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0<θ<1)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+，其中ξ介于x與x+h之間．由已知條件得知識點解析：暫無解析設(shè)平面曲線L上一點M處的曲率半徑為ρ，曲率中心為A，AM為L在點M處的法線，法線上的兩點P，Q分別位于L的兩側(cè)，其中P在AM上，Q在AM的延長線AN上，若P，Q滿足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，稱P，Q關(guān)于L對稱．設(shè)，P點的坐標(biāo)為14、求點M，使得L在M點處的法線經(jīng)過點P，并寫出法線的參數(shù)方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求點P關(guān)于L的對稱點Q的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f’(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[0，1]上取到最大值M和最小值m．對f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析17、求的最大項．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈(0，e)時，f’(x)>0；當(dāng)x∈(e，+∞)時，f’(x)<0，則x=e為f(x)的最大點，于是的最大項為因為，所以最大項為知識點解析：暫無解析設(shè)s(x)=∫0x｜cost｜dt18、證明：當(dāng)nx≤x<(n+1)π時，2n≤S(x)<2(n+1)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，∫0nπ≤｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)π｜cost｜dt∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n．∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，則2n≤S(x)＜2(n+1)．知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由nπ≤x＜(n+1)π，得，從而，根據(jù)夾逼定理得知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、某f家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為P1，P2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1=24-0．2p1，q2=10-0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)，問f家如何確定兩個市場的銷售價格，能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：p1=120-5q1，P2=200-20q2，收入函數(shù)為R=p1q1+p2q2，總利潤函數(shù)為L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-[85+40(q1+q2)]，得q1=8，q2=4，從而P1=80，p2=120，L(8，4)=605，由實際問題的意義知，當(dāng)p1=80，p2=120時，f家獲得的利潤最大，最大利潤為605．知識點解析：暫無解析22、計算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計算，其中D是由y=x3，y=1，x=-1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則知識點解析：暫無解析24、利用變換x=arctant將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：的特征方程為λ2+2λ+1=0，特征值為λ1=λ2=-1，的通解為y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解為y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)-3∫0x(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(t-x)dt=-∫0xf(t-x)d(x-t)=-∫x0f(-u)du=∫0xf(u)du則有f’(x)+2f(x)-3∫0x(u)du=-3x+2，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．將f’(x)+2f(x)-3∫0xf(u)du=-3x+2兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得f"(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解為f(x)=C1ex+C2e-3x+1，將初始條件代入得f(x)=1．知識點解析：暫無解析26、高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足，已知體積減少的速度與側(cè)面積所成比例系數(shù)為0．9，問高度為130的雪堆全部融化需要多少時間(其中長度單位是cm，時間單位為h)?標(biāo)準(zhǔn)答案：得t=100，即經(jīng)過100小時全部融化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)=∫01-cosxsint2dt，g(x)=，則當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)x→0時，g(x)～所以f(x)是g(x)的高階無窮小，選(B)2、設(shè)f(x)=x3+ax2+bx．在x=1處有極小值-2，則()．A、a=1，b=2B、a=-1，b=-2C、a=0，b=-3D、a=0，b=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因為f(x)在x=1處有極小值-2，所以解得a=0，b=-3，選(C)二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識點解析：4、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xy+21nx=y4所確定，則曲線y=f(x)在(1，1)處的法線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-x+2知識點解析：xy+2lnx=y4兩邊對x求導(dǎo)得y+將x=1，y=1代入得故曲線yf(x)在點(1，1)處的法線為y-1=-(x-1)，即y=-x+2．5、y=ex在x=0處的曲率半徑為R=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：y’(0)=1，y"(0)=1，則曲線y=ex在x=0處的曲率為，則曲率半徑為R=26、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜2x+3｜+5ln｜x-3｜+C知識點解析：7、設(shè)f(x)∈C[1，+∞)，廣義積分．∫1+∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)=，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令∫1+∞f(x)dx=A，則由f(x)=，得8、設(shè)z=xy+，其中f可導(dǎo)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：z+xy知識點解析：9、(｜x｜+x2y)dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2／3知識點解析：其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x}，10、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2x-ex知識點解析：=2∫0xf(t)dt，則f(x)=+ex可化為f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’(x)-2f(x)=ex，解得f(x)=f[∫ex．e∫-2dxdx+C]e-∫-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因為f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e2x-ex．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=∫0tanrarctant2dt，g(x)=x-sinx，當(dāng)x→0時，比較這兩個無窮小的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為當(dāng)x→0時，g(x)=x-sinx=所以當(dāng)X→0時，f(x)=∫0tanrarctant2dt與g(x)=x-sinx是同階非等價的無窮?。R點解析：暫無解析13、設(shè)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：解得a=1b=-3知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0≤｜f(x)｜=｜x｜．≤｜x｜得=0=f(0)，故f(x)在x=0處連續(xù)．由得f’-(0)=1，再由得f’+(0)=0，因為f’-0(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)，所以知識點解析：這是含端點和含ξ的項的問題，且端點與含ξ的項不可分離，具體構(gòu)造輔助函數(shù)如下：把結(jié)論中的ξ換成x得，整理得f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)=0，還原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]’=0，輔助函數(shù)為F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)．16、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2-ln1=，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(t)=，求∫01t2f(t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01t2f(t)dt=因為f(1)=0，所以知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明：21、∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：令I(lǐng)=∫0πxf(sinx)dx，則I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，則I=∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx．知識點解析：暫無解析22、∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=4f(sinx)dx．知識點解析：暫無解析23、求擺線L：(a>0)的第一拱繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：V=π∫02πaf2(x)dx=π∫02πay2dx=π∫02πa3(1-cost)3dt=8π∫02πa3dt=32πa3∫0πsin6=32πa3I6=32πa3×=5π2a3知識點解析：暫無解析24、設(shè)z=f(t，et)dt，f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、計算I=ydxdy，其中D由曲線=1及x軸和y軸圍成，其中a>0，b>0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=1-，則x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt。于是知識點解析：暫無解析26、求微分方程cosy-cosxsin2y=siny通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由cosy-cosxsin2y=siny得-cosxsin2y=siny．令u=siny，則-u=cosx．u2，令u-1=z，則+z=-cosx，解得z=[∫(-cos)e∫dxdx+C]e-∫dx=[-∫excosxdx+C]e-x知識點解析：暫無解析27、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k>0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時后體積為原來的1／8，求全部融化需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的半徑為r，則有，于是有=-kt+C0，由r(0)=r0，r(3)=，得C0=r0，k=，于是，令r=0得t=6，即6小時雪堆可以全部融化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)=，則f(x)()．A、無間斷點B、有間斷點x=1C、有間斷點x=-1D、有間斷點x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)｜x｜<1時，f(x)=1+x；當(dāng)｜x｜>1時，f(x)=0；當(dāng)x=-1時，f(x)=0；當(dāng)x=1時，f(x)=1．于是f(x)=顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點，選(B)2、設(shè)f(x)連續(xù)，且=-2，則()．A、f(x)在x=0處不可導(dǎo)B、f(x)在x=0處可導(dǎo)且f’(0)≠0C、f(x)在x=0處取極小值D、f(x)在x=0處取極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由=-2得f(0)=1，由極限的保號性，存在δ>0，當(dāng)0<｜x｜<δ時，<0，即f(x)<1=f(0)，故x=0為f(x)的極大點，應(yīng)選(D)3、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)>0，則存在δ>0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)>f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為f’(0)=>0，所以由極限的保號性，存在δ>0，當(dāng)0<｜x｜<δ時，>0，當(dāng)x∈(-δ，0)時，f(x)f(0)，應(yīng)選(D)4、設(shè)f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為，根據(jù)極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，有＜0，而x2+1-xsiny>x2-x+1=＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(0，0)處取極大值，選(A)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)f(x)=，且f’(0)存在，則a=_______，b=_______，c=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：2，-2，2知識點解析：f(0+0)==a，f(0)=2，f(0-0)=c，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，從而a=2，c=2，即f(x)=因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，即f’+(0)=f’-(0)，故b=-2．7、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：9、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、計算=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：改變積分次序得11、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4+x2+3x+2，則Q(x)=_______，該微分方程的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-12x2-34x-19，C1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))知識點解析：顯然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程為λ2+λ-12=0，特征值為λ1=-4，λ2=3．因為x2+3x+2為特征方程y"+y’-12y=Q(x)的一個特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解為y=C1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)a1=1，an+1+=0，證明：數(shù)列{an}收斂，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：先證明{an}單調(diào)減少．a(chǎn)2=0，a2＜a1；設(shè)ak+1＜ak，ak+2=，由ak+1＜ak得1-ak+1＞1-ak，從而，即ak+2＜ak+1，由歸納法得數(shù)列{an}單調(diào)減少．現(xiàn)證明an≥a1=1≥，設(shè)ak≥，則1-ak≤1+，從而，即ak+1≥，由歸納法，對一切n，有an≥由極限存在準(zhǔn)則，數(shù)列{an}收斂，設(shè)=A，對an+1+=0兩邊求極限得A+=0，解得知識點解析：暫無解析15、舉例說明函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù)可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為不存在，而f’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，但f’(x)在x=0處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)b>a>0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)=lnt，由微分中值定理得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)=其中Sξ∈(a，b)．因為0，從而知識點解析：暫無解析17、求曲線y=的斜漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得曲線y=的斜漸近線y=2x-11．知識點解析：暫無解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、∫arcsincarccosxdx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)φ(x)=∫abln(x2+t)dt，求φ’(x)，其中a>0，b>0．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)=∫abln(x2+t)d(x2+t)=φ’(x)=2xln(x2+b)-2xln(x2+a)=知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=求∫02πf(x-π)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)=∫-ππf(x)dx知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，f(1)=x2f(x)dx．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：等式z=f(x-y+g(x-y-z))兩邊對x求偏導(dǎo)得等式z=f(x-y+g(x-y-z))兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析24、計算(x+y)2dxdy，其中D：ay≤x2+y2≤2ay(a>0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、求微分方程xy"+3y’=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x2+x4，當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()．A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為，所以正確答案選(B)．2、設(shè)f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2