考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷1（共122題）

考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷1（共4套）（共122題）考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷第1套一、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)1、f(x，y)dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．12所示．知識點(diǎn)解析：暫無解析2、f(x，y)dy(t＞0)；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．13所示．當(dāng)x∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析3、極坐標(biāo)系下的累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr．標(biāo)準(zhǔn)答案：在直角坐標(biāo)系Oθr中畫出D′的草圖(如圖9．14)．原積分=f(rcosθ．rsinθ)rdrdθ．r2=sin2θ=sin(π一2θ)．于是π一2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原積分=f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、I=dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．15所示．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、I=ln(1+x2+y2)dy(R＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．16所示．知識點(diǎn)解析：暫無解析6、I=x3y2zdV，其中Ω是由x=1，x=2，y=0，y=x2，z=0及z=所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)區(qū)域Ω由平面x=1，x=2，y=0，z=0及拋物柱面y=x2與雙曲柱面z=圍成，易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影區(qū)域Dxy(或Dzx)．Dxy由x=1，x=2，y=0，y=x2圍成，Dxy={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x2}，見圖9．17一(a)．Dzx由x=1，x=2，z=0，z=圍成，即Dzx={(z，x)｜1≤x≤2，0≤z≤}，見圖9．17一(b)．于是Ω={(x，y，z)10≤z≤，(x，y)∈Dxy}，或Ω={(x，y，z)｜0≤y≤x2，(z，x)∈Dzx}．(Ⅱ)根據(jù)Ω的表示，宜選擇先對z(或y)積分后對xy(或zx)積分的順序．若先對z積分得知識點(diǎn)解析：暫無解析7、I=(lx2+my2+nz2)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤a2，l，m，n為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由變量的輪換對稱性，可得用球坐標(biāo)變換求知識點(diǎn)解析：暫無解析8、I=zdV，其中Ω：x2+y2+z2≤2，x2+y2≤z．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω是旋轉(zhuǎn)體(如圖9．18)，選用柱坐標(biāo)變換．先求交線．由選擇先z后r，θ的積分順序，Ω的柱坐標(biāo)表示：Ω：0≤θ≤2π，0≤r≤1，r2≤z≤于是知識點(diǎn)解析：暫無解析9、I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω關(guān)于yz平面與zx平面均對稱用球坐標(biāo)變換，球面x2+y2+z2=2az與錐面的球坐標(biāo)方程分別為ρ=2acosφ，φ=．Ω的球坐標(biāo)表示D：0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2acosφ，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析10、f(x，y，z)dy，變成由z到y(tǒng)再到x的順序．標(biāo)準(zhǔn)答案：這里每個二重積分都是矩形區(qū)域上二重積分的積分次序的交換．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、f(x，y，z)dz，改換成先y最后x的順序．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=f(x，y，z)dydz，其中D(x)：0≤y≤1，0≤z≤x2+y2．現(xiàn)改為先y后z的順序，將D(x)分成兩塊：0≤x≤x2，0≤y≤1；x2≤z≤1+x2，≤y≤1，如圖9．19．則知識點(diǎn)解析：暫無解析12、考慮柱坐標(biāo)系下的三重累次積分I=3dz．(Ⅰ)將I用直角坐標(biāo)(Oxyz)化為累次積分；(Ⅱ)將I用球坐標(biāo)化為累次積分；(Ⅲ)求I的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分區(qū)域Ω：(x，y)∈Dxy，其中Dxy={(x，y)｜x2+y2≤2}．于是I=3dz．(Ⅱ)Ω是由錐面z=(球坐標(biāo)方程是ρ=2)圍成．Ω的球坐標(biāo)表示是0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2，于是(Ⅲ)用球坐標(biāo)最為方便．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：I=，其中Ω：1≤z≤1+，(x，y)∈Dxy如圖9．20一(a)．它是由半球面：(z一1)2=1一x2一y2(z≥1)與平面z=1所圍成的y≥0部分．作球坐標(biāo)變換．z=1對應(yīng)ρ=，半球面對應(yīng)p=2cosφ．Ω的球坐標(biāo)表示(如圖9．20一(b))知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)L為拋物線y=x2上，從點(diǎn)A(－1，1)到B(1，1)的一段，求I=∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：L：y=x2，x∈[－1，1]．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求積分I=dy，其中C：y=1，x=4，y=逆時針一周．標(biāo)準(zhǔn)答案：(直接計(jì)算)知識點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算曲面積分I=(x+y+z)dS，其中∑為左半球：x2+y2+z2=R2，y≤0．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑關(guān)于xy平面，yz平面對稱(如圖9．22)投影到zx平面，由x2+y2+z2=R2，y≤0投影區(qū)域Dzx：x2+z2≤R2，于是I=dxdz=－R.πR2=－πR3．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算曲面積分，其中∑為圓柱面x2+y2=R2界于z=0及z=H之間的部分，r為曲面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(H＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：r2=x2+y2+z2．∑關(guān)于zx平面，yz平面均對稱，則I=4，如圖9．23．∑1：x2+y2=R2，x，y≥0，投影區(qū)域Dzx：0≤x≤R，0≤z≤H，知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)S為柱面x2+y2=a2(0≤z≤h)的外側(cè)，滿足x≥0的一半，求I=zdydz+xyzdzdx+ydxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：S如圖9．24，S垂直xy平面，于是ydxdy=0，I=zdydz+xyzdzdx．投影到y(tǒng)z平面直接計(jì)算較為方便．s表為x=(y，z)∈Dyz，其中Dyz：0≤z≤h，一a≤y≤a．代公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求曲面積分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S為x+y+z=π在第一卦限部分，取上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=xdydz+ydzdx+zdxdy+cosydydz+coszdzdx+cosxdxdyI1+I2．平面S的單位法向量N=(cosα，cosβ，cosγ)=(1，1，1)，由第一、二類曲面積分的關(guān)系，可得下面求I2．投影到xy平面上化為二重積分．S的投影區(qū)域?yàn)镈xy，如圖9．25，則有I2=[cosy.(一z′x)+cos(π一(x+y)).(一z′y)+cosx]dxdy=cos(x+y)dxdy，其中由z=π一(x+y)得z′x=－1，z′y=－1．由于Dxy關(guān)于y=x對稱，則有因此I2=2×2－(－2)=6．因此I=I1+I2=+6．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求曲線積分I=∫Cxydx+yzdy+xzdz，C為橢圓周：x2+y2=1，x+y+z=1，逆時針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：C的參數(shù)方程為t∈[0，2π]．I=[costsint(一sint)+sint(1一cost—sint)cost+cost(1一cost—sint)(sint一cost)]dt=cos3tdt=－π+(1－sin2t)dsint=－π．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求下列區(qū)域力的體積：(Ⅰ)Ω：x2+y2≤a2，z≥0，z≤mx(m＞0)；(Ⅱ)Ω：由y2=a2－az，x2+y2=ax，z=0(a＞0)圍成；(Ⅲ)Ω：由z=x2+y2，x+y+z=1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Dxy：x2+y2≤a2，x≥0，如圖9．26．Ω={x，y，z)｜0≤z≤mx，(x，y)∈Dxy}．(Ⅱ)Ω={(x，y，z)｜0≤z≤(a2一y2)，(x，y)∈Dxy}，(Ⅲ)由消去z得x2+y2+y=1，即于是Ω在Oxy平面上的投影區(qū)域(如圖9．27)是D=[(x，y)｜(x+，圍成Ω區(qū)域的上曲面是z=1一x一y，下曲面是z=x2+y2，因此Ω的體積知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)曲面S是上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0，a＞0)被柱面x2+y2=ax所割下部分，求S的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：S：z=(x，y)∈Dxy：，如圖9．28．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)曲面z=(x2+y2)，其面密度μ為常數(shù)，求該曲面在0≤z≤部分S的質(zhì)量與質(zhì)心．標(biāo)準(zhǔn)答案：質(zhì)量M=(x2+y2)，(x，y)∈Dxy：x2+y2≤3．又=y，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)質(zhì)點(diǎn)P沿以為直徑的下半圓周，從點(diǎn)A(1，2)運(yùn)動到B(3，4)的過程中，受變力F的作用，F(xiàn)的大小等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O之距離，方向垂直于線段，與y軸正向的夾角小于，求變力F對質(zhì)點(diǎn)P做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．29．(Ⅰ)先求作用于P(x，y)的力F：｜F｜=與={x，y}垂直的向量±{－y，x}，其中與y軸正向成銳角的是{一y，x}，于是F={一y，x}．(Ⅱ)F對P所做的功W=－ydx+xdy．(Ⅲ)寫出的參數(shù)方程：(x一2)2+(y一3)2=知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)有平面光滑曲線l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t∈[α，β]，以及空間光滑曲線L：x=x(t)，y=y(t)．z=f(x(t)，y(t))，t∈[α，β]，t=α，t=β分別是起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)．(Ⅰ)試說明l，L及曲面S：z=f(x，y)的關(guān)系；(Ⅱ)若P，Q，R連續(xù)，f(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求證：∫LP(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz=∫lP(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y))]dx+[Q(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y))]dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)l是L在xy平面上的投影曲線，定向相同．以l為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面與曲面S相交得曲線L．(Ⅱ)按線積分化定積分公式得三式相加即得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在區(qū)域Ω連續(xù)，Г：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是Ω中一條光滑曲線，起點(diǎn)A，終點(diǎn)B分別對應(yīng)參數(shù)tA與tB，又設(shè)在Ω上存在函數(shù)u(x，y，z)，使得du=Pdx+Qdy+Rdz(稱為Pdx+Qdy+Rdz在Ω的原函數(shù))．求證：I=標(biāo)準(zhǔn)答案：由du=Pdx+Qdy+Rdz由曲線積分化定積分公式再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，請用重積分方法證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：先將累次積分表成二重積分，則有其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如圖9．30，它與D′={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}關(guān)于y=x對稱．于是因此，知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)半徑為R的球面∑的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問R為何值時球面∑在定球面內(nèi)部的那部分面積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：可設(shè)∑的球心為(0，0，a)，∑的方程是x2+y2+(z一a)2=R2，與定球的交線為a2一z2=R2一(z—a)2，x2+y2=R2一(z—a)2，即∑在定球內(nèi)部那部分在Oxy平面上的投影區(qū)域?yàn)檫@部分球面的方程是z=a一(x，y)∈D．它的面積是現(xiàn)計(jì)算S′(R)=4πR－．因S(0)=S(2a)=0，所以R=時，∑在定球內(nèi)部的那部分面積最大．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求一段均勻圓柱面S：x2+y2=R2(0≤z≤h)對原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的引力．假設(shè)該圓柱面的面密度為1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)引力F={Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z}，由對稱性知，F(xiàn)x=0，F(xiàn)y=0．因此只需求F沿z軸的分量Fz．如圖9．31．(Ⅱ)在圓柱面上任一點(diǎn)(x，y，z)處取一小塊曲面元dS，記r={x，y，z}，r=｜r｜=，則曲面元對原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的引力dF=k.dS，它沿z軸的分量為dFz=kdS．(Ⅲ)圓柱面對原點(diǎn)單位質(zhì)點(diǎn)的引力的z分量Fz=dS．(Ⅳ)計(jì)算曲面積分．要投影到y(tǒng)z平面(或zx平面)來計(jì)算．圓柱面S在yz平面的投影區(qū)域?yàn)镈yz={(y，z)｜0≤z≤h，一R≤y≤R}，曲面S的方程為x=，記S1為前半圓柱面，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求，其中L：x2+y2=R2的正方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：將L表成參數(shù)方程的形式，即x=Rcosθ，y=Rsinθ(0≤0≤2π)，于是注意到右端積分存在且為一常數(shù)，所以=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷第2套一、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)D為兩個圓x2+y2≤1及(x－2)2+y2≤4的公共部分，則I=ydσ=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對y為奇函數(shù)I=0．2、設(shè)D為y=x3及x=－1，y=1所圍成的區(qū)域，則I=xydσ=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：D如圖9．1所示．添加輔助線y=－x3(x≤0)，將D分解成D=D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對x，y均為奇函數(shù)xydσ=0+0=0．3、I==｜xy｜dxdy=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：區(qū)域如圖9．2所示，由對稱性與奇偶性I=4xydσ，其中D1：0≤y≤1一x，0≤x≤1．于是4、設(shè)D：0≤x≤1，0≤y≤1，則I=dσ=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：D關(guān)于直線y=x對稱與原式相加5、設(shè)I1=2x2y2dσ，則這三個積分的大小順序是_____________＜_____________＜_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：I3＜I1＜I2知識點(diǎn)解析：比較I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2+y2≤1)包含在正方形區(qū)域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比較I1與I3積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4+y4I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．6、設(shè)D為圓域x2+y2≤x，則I=dσ=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：D如圖9．3．用極坐標(biāo)變換，D的極坐標(biāo)表示：7、設(shè)L是正方形邊界：｜x｜+｜y｜=a(a＞0)，則I=∫Lxyds=_____________，J=∫L｜x｜ds=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：L如圖9．4，它關(guān)于x(或y)軸對稱，f(x，y)=xy對y(或x)為奇函數(shù)∫Lxyds=0．L關(guān)于直線y=x對稱(變量的輪換對稱性)J=∫L｜x｜ds=∫L｜y｜ds8、設(shè)∑為平面y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分，則曲面積分I=(x+y+z)dS=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：用∑的方程簡化被積表達(dá)式得其中xdS=0，因?yàn)椤脐P(guān)于yz平面對稱，被積函數(shù)x對x為奇函數(shù)．∑的一個單位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=因此I=5.∑的面積=125二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)9、求下列曲面積分：(Ⅰ)I=ydS，其中∑是平面x+y+z=1被圓柱面x2+y2=1截出的有限部分；(Ⅱ)I=zdS，其中∑是錐面z=在柱體x2+y2≤2x內(nèi)的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分曲面的表達(dá)式為z=1－x－y，∑在xy平面上的投影為圓D：x2+y2≤1，所以(Ⅱ)利用錐面的表示式z=，可知又錐面∑在Oxy平面的投影區(qū)域D：x2+y2≤2x，極坐標(biāo)表示是：，0≤r≤2cosθ，因此知識點(diǎn)解析：暫無解析10、求下列曲面積分：(Ⅰ)I=xyzdxdy+xzdydz+z2dzdx，其中x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外側(cè)(見圖9．60)；(Ⅱ)I=xydzdx，其中S是由曲線x=ey2(0≤y≤a)繞x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)面，取外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)本題實(shí)際上可以分三個積分計(jì)算，即I=I1+I2+I3．將∑在yz平面上的投影記為Dyz，則Dyz：0≤y≤h，－a≤z≤a．注意到∑的法線方向與x軸正方向夾銳角，則I2=dydz．此時已化成了二重積分，注意到Dyz關(guān)于y軸對稱，而被積函數(shù)為z的香函數(shù)。故I2=0．由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面積為零)，故I3=z2dzdx=0，而所以，I=I1+I2+I3=h2a3．(Ⅱ)曲面S的方程是：x=ey2+z2(y2+z2≤a2)，見圖9．61．S在yz平面上的投影區(qū)域Dyz易求，Dyz：y2+z2≤a2，x=0，又=2yey2+z2，S的法向量與x軸正向成鈍角，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求區(qū)域Ω的體積V．其中Ω：由z=xy，x2+y2=a2，z=0圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．62，注意曲面z=xy，第一、三象限時位于Oxy平面的上方，第二、四象限時位于Oxy平面的下方．區(qū)域Ω由曲面z=xy，柱面x2+y2=a2及xy平面所圍成．z=xy在Oxy平面的投影區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤a2}．因此Ω的體積知識點(diǎn)解析：區(qū)域Ω由曲面z=z(x，y)及它在Oxy平面上的投影區(qū)域D及以D的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面所圍成，則V=｜z(x，y)｜dxdy．關(guān)鍵是由所給條件得出曲頂?shù)那娣匠膛c底面的區(qū)域D．12、求區(qū)域Ω的體積V，其中Ω是半球面z=及旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=2az所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：先解方程組得兩曲面的交線為由立體的形狀可知，它在Oxy平面上的投影為圓域D={(x，y)｜x2+y2≤2a2｜，如圖9．63．因此Ω的體積為知識點(diǎn)解析：區(qū)域Ω是由上、下兩張曲面z=z2(x，y)≥z=z1(x，y)所圍成，這時關(guān)鍵要求出它在xy平面上的投影區(qū)域D．常用的方法是：由消去z得某方程F(x，y)=0，D就是xy平面上由曲線F(x，y)=0所圍的區(qū)域．13、求區(qū)域Ω的體積，其中Ω是由曲面z=y2(y≥0)，z=4y2(y≥0)，z=z，z=2x，z=4所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．64，Ω={(x，y，z｜(z，x)∈Dzx}，Dzx={(z，x)｜≤x≤z，0≤z≤4}．力的體積為或Ω也可表成(如圖9．65)：Ω={(x，y，z)｜≤x≤z，(y，z)∈Dyz)，Dyz={(y，z)｜，0≤z≤4}，于是知識點(diǎn)解析：這是側(cè)面是柱面的曲頂、曲底柱體區(qū)域．對這類問題要由所給條件確定出側(cè)面——柱面，然后再定上、下底曲面．確定了側(cè)面(柱面)也就確定了Ω的投影區(qū)域．14、求下列曲面的面積：(Ⅰ)半球面z=及旋轉(zhuǎn)拋物面2az=x2+y2所圍立體的表面S；(Ⅱ)錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)兩曲面的交線及在Oxy平面上的投影區(qū)域D．曲面S分成兩塊．對曲面S1：z=來說．它的面積對于曲面S2：z=它的面積因此，整個曲面的面積A=A1+A2=πa2．(Ⅱ)先解方程組消去z得x2+y2=2x．這就是兩曲面的交線在Oxy平面上的投影，也就是曲面S在Oxy平面上投影區(qū)域D的邊界曲線，因而D={(x，y)｜x2+y2≤2x}={(x，y)｜(x－1)2+y2≤1}．在錐面z=，因此曲面S的面積A=(D是半徑為1的圓，面積為π)知識點(diǎn)解析：在用公式dxdy求曲面S：z=f(x，y)((x，y)∈D)的面積時，關(guān)鍵之一是確定S在Oxy平面的投影區(qū)域D．因?yàn)轭}目中往往不是直接給出這個投影區(qū)域．若曲面是由垂直于Oxy平面的柱面所截，則它在Oxy平面上的投影區(qū)域就是柱面截下Oxy平面部分．若曲面是由兩張相交曲面組成，則需求它們的交線才可求得投影區(qū)域如題(Ⅰ)．對于題(1I)，求投影區(qū)域的方法本質(zhì)上與題(Ⅰ)相同．15、求八分之一球面x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0的邊界曲線的質(zhì)心，設(shè)曲線線密度ρ=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)邊界曲線在Oxy，Oyz，Ozx坐標(biāo)平面內(nèi)的弧段分別記為L1，L2，L3(見圖9．66)．設(shè)曲線的質(zhì)心為直接按質(zhì)心計(jì)算公式知：其中L=L1∪L2∪L3，m=∫Lρds=∫Lds為曲線L的質(zhì)量．由于ρ=1，則質(zhì)量m=L的長度=3×πR．又因由對稱性知即質(zhì)心為知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求密度為1的均勻圓柱體x2+y2≤a2，｜z｜≤h對直線L：x=y=z的轉(zhuǎn)動慣量．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求圓柱體上任意點(diǎn)(x，y，z)到直線L的距離的平方再求圓柱體對L的轉(zhuǎn)動慣量知識點(diǎn)解析：這里不是求物體對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量，因此不能套用已有的公式，要學(xué)會求轉(zhuǎn)動慣量的方法．質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)對L的轉(zhuǎn)動慣量是md2，d是質(zhì)點(diǎn)到L的距離．因此，這里必須先求點(diǎn)(x，y，z)到直線L的距離．17、設(shè)位于點(diǎn)(0，1)的質(zhì)點(diǎn)A對于質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為(k＞0為常數(shù)，r=｜AM｜)．分別求下列運(yùn)動過程中A對質(zhì)點(diǎn)M的引力所作的功(如圖9．67)：(Ⅰ)質(zhì)點(diǎn)M沿曲線y=自b(2，0)運(yùn)動到O(0，0)；(Ⅱ)質(zhì)點(diǎn)M在圓x2+y2=22上由B點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動到B點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由曲線的參數(shù)方程計(jì)算曲線積分．半圓的參數(shù)方程θ∈[0，π]．(Ⅱ)求出了原函數(shù)，積分與路徑無關(guān)，沿閉路積分為零，即W=0．知識點(diǎn)解析：首先求出引力F：｜F｜=F與(－x，1－y)．求功就是求曲線積分W=(－xdx+(1－y)dy)．題(Ⅰ)與題(Ⅱ)分別給出兩種不同的路徑．18、設(shè)流速V=(x2+y2)j+(z－1)k，求下列情形流體穿過曲面∑的體積流量Q(如圖9．69)：(Ⅰ)∑為圓錐面x2+y2=z2(0≤z≤1)，取下側(cè)；(Ⅱ)∑為圓錐體(z2≥x2+y2，0≤z≤1)的底面，法向量朝上．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先，用曲面積分表示流量，即Q=(x2+y2)dzdx+(z－1)dxdy．直接投影到xy平面上代公式求Q．由∑的方程z=，∑在xy平面上的投影區(qū)域D：x2+y2≤1(z=0)(Ⅱ)圓錐體(z2≥x2+y2，0≤z≤1)的底面∑即x2+y2≤1，z=1，它垂直于zx平面，在∑上z－1=0，因此Q=(x2+y2)dzdx+(z－1)dxdy=0+0=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(u)連續(xù)，f(0)=1，區(qū)域Ω：t＞0，又設(shè)F(t)=f(x2+y2+z2)dV，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因此知識點(diǎn)解析：本題需要先將F(t)化為定積分，由于力由球面與錐面圍成，又被積函數(shù)只與ρ=有關(guān)，故應(yīng)選用球坐標(biāo)系．20、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且恒大于零，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：利用積分變量的改變，可得其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用對稱性(D關(guān)于y=x對稱)，可得知識點(diǎn)解析：有時把一元函數(shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的積分問題便可使問題得到解決．這里記D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，則定積分之積就可表為二重積分：然后利用二重積分的性質(zhì)便可得證．21、記Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，求dxdy；標(biāo)準(zhǔn)答案：首先用極坐標(biāo)變換求出I(R)=dxdy，然后求極限I(R)．作極坐標(biāo)變換X=rcosθ，y=rsinθ得因此，dxdy=π．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閑－x2在(－∞，+∞)可積，則e－x2dx．通過求e－x2dx再求極限的方法行不通，因?yàn)椤襡－x2dx積不出來(不是初等函數(shù))．但可以估計(jì)這個積分值．為了利用e－(x2+y2)dxdy，我們?nèi)园岩辉瘮?shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的重積分問題．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．顯然I(R)≤又=π，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算I=dxdy，其中D為曲線y=lnx與二直線y=0，y=(e+1)－x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=lnx與y=(e+1)一x的交點(diǎn)是(e，1)，D如圖9．5所示，在Oxy坐標(biāo)系中選擇先x后y的積分順序(D不必分塊)得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算I=x2e－y2dxdy，其中D是以O(shè)(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：D如圖9．6所示，D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)對x為偶函數(shù)．I=2x2e－y2dxdy，其中D1=D∩{x≥0}．選擇先x后y的積分順序知識點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算I=dσ，其中D：1≤x2+y2≤9，標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，則D：1≤r≤3，．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算I=｜sin(x－y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π；標(biāo)準(zhǔn)答案：(分塊積分法)D如圖9．7一(a)，被積函數(shù)分塊表示，要分塊積分，將D分成D=D1∪D2，以y一x=π為分界線(如圖9．7一(b))．在D1上，π≤y一x≤2π；在D2上，0≤y一x≤π，則I=－sin(y一x)dσ+sin(y一x)dσ在D2上邊界分段表示(如圖9．7一(c))，也要分塊積分知識點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算I=(x+y)2dxdy，其中D：｜x｜+｜y｜≤1；標(biāo)準(zhǔn)答案：D關(guān)于x，y軸均對稱，它在第一象限部分記為D1，如圖9．8．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算I=dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1；標(biāo)準(zhǔn)答案：極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤于是知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域(如圖9．10)：(x一作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，并由D關(guān)于x軸對稱，x軸上方部分為D1：0≤θ≤．0≤r≤acosθ．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析30、f(x，y)dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．11所示．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)空間區(qū)域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，則下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由Ω1在xy平面上方，關(guān)于yz平面與zx平面均對稱，Ω2是Ω1的第一象限部分，兩次利用對稱性，可以看出等式成立的充分條件是被積函數(shù)關(guān)于x與y為偶函數(shù)，即f(－x，y，z)=f(x，y，z)，f(x，－y，z)=f(x，y，z)．在本題的四個選項(xiàng)中，只有(C)的被積函數(shù)f(x，y，z)=z，關(guān)于x與y是偶函數(shù)，因?yàn)樗膫€結(jié)論中只有一個正確，因此應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)2、設(shè)D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則I=sin(xy)+4]dxdy=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點(diǎn)解析：連將區(qū)域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)兩個部分(見圖9．28)，它們分別關(guān)于y軸與x軸對稱．由于sin(xy)對x與y均為奇函數(shù)，因此又由于D的面積=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．3、設(shè)L為曲線常數(shù)a＞0，則I=∮L(xy+yz+zx)ds=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一πa3知識點(diǎn)解析：注意(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)，則xy+yz+zx=(x+y+z)2－(x2+y2+z2)，因此I=∮L(xy+yz+zx)ds=∮L(x+y+z)2ds－∮L(x2+y2+z2)ds．由L的方程，其中x+y+z=0，x2+y2+z2=a2，于是I=0－∮La2ds=a2.2πa=－πa3，其中L是球面x2+y2+z2=a2與平面x+y+z=0的交線，它是半徑為a的圓周．4、設(shè)S為球面x2+y2+z2=9，取外側(cè)，則zdxdy=__________；標(biāo)準(zhǔn)答案：36π知識點(diǎn)解析：S圍成的球體為Ω，則由高斯公式得π.33=36π．(球體的體積)5、設(shè)D為平面區(qū)域：x2+y2≤4，則dxdy=__________；標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識點(diǎn)解析：由二重積分的幾何意義知dxdy=柱體的體積－錐體的體積=π.22×2－．6、設(shè)Ω是球體：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2≤R2，則(x+y+z)dV=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：πR3(a+b+c)知識點(diǎn)解析：由球的質(zhì)心公式知則三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)7、計(jì)算ds，其中，L是圓周x2+y2=4x(見圖9．1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用直角坐標(biāo)系．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、計(jì)算積分9x2dx+(y－x)dy，其中L：(Ⅰ)是半徑為a，圓心在原點(diǎn)的上半圓周，起點(diǎn)A(a，0)，終點(diǎn)B(－a，0)(見圖9．2)；(Ⅱ)x軸上由A(a，0)到B(－a，0)的直線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：化成對x的定積分．(Ⅰ)上半圓周的表達(dá)式為：y=起點(diǎn)A對應(yīng)于x=a，終點(diǎn)B對應(yīng)于x=－a，則(Ⅱ)對于從A(a，0)到B(－a，0)的直線段，則知識點(diǎn)解析：暫無解析9、將f(x，y)dxdy化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．5，x2+y2=2ax與x2+y2=2ay，是兩個圓，其交點(diǎn)為O(0，0)，P(a，a)．因此，若先對y積分，就有若先對x求積分，則知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)D是由曲線=1(a＞0，b＞0)與x軸，y軸圍成的區(qū)域，求I=ydxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對x積分．區(qū)域D如圖9．6所示．D={(x，y)｜0≤y≤b，0≤x≤a(1－)2}，知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求I=xdV，，Ω由三個坐標(biāo)面及平面x+y+2z=2圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：因區(qū)域Ω可表成(9．9)的形式：Ω={(x，y，z)｜0≤z≤1－(x+y)，(x，y)∈Dxy}，Dxy={(x，y)｜x≥0，y≥0，x≤2－y}，見圖9．7．所以可用公式(9．10)求得I值，即知識點(diǎn)解析：暫無解析12、計(jì)算z2ds，其中∑是曲面z=(0≤z≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∑為錐面z=(0≤z≤1)，因此=dσ．若記∑在xOy，平面上的投影域?yàn)镈：z=0，x2+y2≤1，則知識點(diǎn)解析：暫無解析13、計(jì)算xyzdxdy，其中∑是x≥0，y≥0，x2+y2+z2=1的外側(cè)(見圖9．9)．標(biāo)準(zhǔn)答案：投影到xy平面．將積分曲面∑分成上下兩部分，分別記為∑1與∑2，則∑=∑1∪∑2．并且在∑1上法向量n與z軸正方向的夾角為銳角，故公式(9．14)中符號應(yīng)取“+”號；在∑2上法向量與x軸正方向的夾角為鈍角，故應(yīng)取“－”號．∑1，∑2在xOy平面上的投影域均為D：z=0，x≥0，y≥0，x2+y2≤1，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤x+y+z+}，求I=(x+y+z)dxdydz．標(biāo)準(zhǔn)答案：將Ω改寫成Ω={(x，y，z｜(x－≤1}，作平移變換：u=x－，則其中Ω′={(u，v，w)｜u2+v2+w2≤1}．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、在極坐標(biāo)變換下將f(x，y)dσ化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于兩個圓在極坐標(biāo)下的表達(dá)式分別為：r=2acosθ與r=2asinθ，交點(diǎn)P處的極坐標(biāo)是，于是連接OP將區(qū)域D分成兩部分(見圖9．16)，則或者先對θ積分，則f(rcosθ，rsinθ)dθ．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求積分I=dxdy，其中D由y=x與y=x4圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的圖形如圖9．17所示，雖然D的邊界不是圓弧，但被積函數(shù)是r=，選用極坐標(biāo)變換方便．在極坐標(biāo)變換下，D的邊界方程是θ=．從而D：0≤θ≤，0≤r≤于是知識點(diǎn)解析：暫無解析17、利用柱坐標(biāo)變換求三重積分：I=zdxdydz，Ω：x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω的邊界面分別是旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=z與球面x2+y2+z2=2，見圖9．18，兩曲面的交線是作柱坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，則邊界面的方程是：z=r2，z=．又Ω在xOy平面上投影區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：D={(r，θ)｜0≤r≤1，0≤θ≤2π}，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析18、將三重積分f(x，y，z)dV在三種坐標(biāo)系下化成累次積分，其中Ω是由x2+y2+z2≤R2，x2+y2≤z2，z≥0所圍成的區(qū)域(如圖9．22所示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：使用直角坐標(biāo)系．先求區(qū)域Ω在xOy平面上的投影域D，它是由球面與錐面的交線所確定，即x2+y2≤R2，z=0．若依照由z到y(tǒng)再到x的順序積分，則就本題積分域的特點(diǎn)先對z求積分是自然的．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、利用球坐標(biāo)變換求三重積分，I=dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2z．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω是球體：x2+y2+(z－1)2≤1，在球坐標(biāo)變換：x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ下，Ω={(θ，φ，ρ)｜0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2cosφ)，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求I=dxdy，其中D為y=，y=x及x=0所圍成區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖9．23．被積函數(shù)只含y，先對x積分，雖然積分區(qū)域要分塊，但計(jì)算較簡單．若先對y積分，則求積分dy要費(fèi)點(diǎn)功夫．選擇先對x積分，將D分塊：D={(x，y)｜0≤y≤于是知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求I=dxdy．其中D是由拋物線y2=x，直線x=0，y=1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：dy的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故dy積不出來，因此選先x后y的順序．積分區(qū)域D如圖9．24，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求I=xydy，其中Ω由z=xy，z=0，x+y=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω的圖形不好畫(可不必畫出)，但易求出Ω在xOy平面上的投影區(qū)域D(見圖9．25)，D的邊界線是：x+y=1，x=0，y=0．因而易寫出Ω的不等式表示Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D}．于是選擇先一(先z)后二(后x，y)的積分順序：I=x2y2dxdy．再將二重積分化為定積分(先x后y或先y后x均可)知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求I=y2dV，其中Ω由=1(0≤y≤b)及y=0圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω由右半橢球面及zx平面圍成的右半橢球體(如圖9．26所示)．它在zx平面的投影區(qū)域Dzx是：≤1，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈Dzx}．另一方面，過Y軸上任意點(diǎn)y∈[0，b]作垂直y軸的平面與Ω相交成區(qū)域D(y)，則D(y)：，0≤y≤b，它的面積S(y)=πac，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈D(y)}．由于被積函數(shù)僅與y有關(guān)，而D(y)面積已知，我們選擇先二后一(先zx后y)的積分順序得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求I=∫L｜x｜ds，其中L為｜x｜+｜y｜=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：L為正方形的邊界如圖9．29．因?yàn)長關(guān)于x，y軸均對稱，被積函數(shù)｜x｜關(guān)于y與x均為偶函數(shù)，于是I=4∫L1｜x｜ds=4，其中L1是L在第一象限部分．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算曲面積分I=(ax+by+cz+γ)2ds，其中∑是球面：x2+y2+z2=R2．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=(ax+by+cz+γ)2dS=[(ax)2+(by)2+(cx)2+2+2abxy+2aczx+2bcyz+2aγy+2bγy+2cγz]dS．根據(jù)積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性可知又由坐標(biāo)的輪換對稱性知因此知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求I=dxdy，其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分段表示為｜y－x2｜=(x，y)∈D，因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，記D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)D由拋物線y=x2，y=4x2及直線y=1所圍成．用先x后y的順序?qū)=f(x，y)dxdy化成累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖9．30所示，將D分成x≥0與x≤0兩部分，用分塊積分法得知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求I=xydxdy，D由曲線x2+y2=2x+2y－1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域：(x－1)2+(y－1)2≤1，見圖9．31．作平移變換：u=x－1，v=y－1，則I=dudv=0+π=π．其中D′={(u，v)｜u2+v2≤1}．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、計(jì)算三重積分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω是兩個球體x2+y2+z2≤4與x2+y2+z2≤4z(x2+y2+(z－2)2≤4)的公共部分，兩球面的交線是圖9．32是Ω在yz平面上的截面圖．這里適宜用球坐標(biāo)變換的情形．這時要用錐面z=(以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，通過兩球的交線)將Ω分成Ω=Ω1∪Ω2，其中Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，z≥}，Ω2={x，y，z)x2+y2+z2≤4z，z≤}，見截面圖9．33，用球坐標(biāo)表示Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π，Ω2：0≤ρ≤4cosφ，，0≤θ≤2π，其中球面x2+y2+z2=4z的球坐標(biāo)方程是ρ=4cosφ，錐面z=的方程是φ=．因此知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求I=dydz，其中∑為下半球面z=的上側(cè)，a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意∑上x2+y2+z2=a2，則I=xdydz．∑在xy平面上的投影區(qū)域Dxy：x2+y2≤a2，且于是知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是上半橢球面+z2=1(z≥0)取上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求S在xy平面上的投影區(qū)域D：≤1．于是這里，D關(guān)于x，y軸均對稱，對x是奇函數(shù)，對y也是奇函數(shù)，就有現(xiàn)歸結(jié)為求其中D1=D∩{x≥0，y≥0}．用極坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，則于是由對稱性(將x，y互換，同時a，b也互換，D不變)dxdy．因此I=abπ－π(2－a2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯誤的是A、若f(x，y)在D連續(xù)，對D的任何子區(qū)域D0均有f(x，y)dσ=0，則f(x，y)=0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可積，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D連續(xù)，f2(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：直接指出其中某命題不正確．因?yàn)楦淖冇邢迋€點(diǎn)的函數(shù)值不改變函數(shù)的可積性及相應(yīng)的積分值，因此命題(B)不正確．設(shè)(x0，y0)是D中某點(diǎn)，令f(x，y)=則在區(qū)域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此選(B)．或直接證明其中三個是正確的．命題(A)是正確的．用反證法、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及二重積分的不等式性質(zhì)可得證．若f(x，y)在D不恒為零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨設(shè)(x0，y0)＞0，由連續(xù)性有界閉區(qū)域D0D，且當(dāng)(x，y)∈D0時f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命題(D)是正確的．利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)達(dá)到最小值及重積分的不等式性質(zhì)可得證．這是因?yàn)閒(x，y)≥f(x，y)=f(x0，y00)＞0，其中(x0，y0)是D中某點(diǎn)．于是由二重積分的不等式性質(zhì)得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面積．命題(C)是正確的．若f(x，y)≠0在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假設(shè)f2(x，y)在D連續(xù)f2(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此選(B)．2、比較積分值的大?。篒1=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，則I1，I2，I3之間的大小順序?yàn)锳、I1＜I2＜I3．B、I3＜I2＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I1＜I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：在區(qū)域D上，≤t≤1時，lnt≤sint≤t，從而有(x，y)∈D時，ln3(x+y)≤sin3(x+y)≤(x+y)3，則(x+y)3dσ．因此選(C)．3、比較積分值的大?。篔i=e－(x2+y2)dxdy，i=1，2，3，其中D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜x｜≤R，｜y｜≤R}．則J1，J2，J3之間的大小順序?yàn)锳、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：D1，D2是以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為R，R的圓，D3是正方形，顯然有D1D2．因此(C)成立．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)f(x，y，z)在ΩR={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}連續(xù)，又f(0，0，0)≠0，則R→0時，f(x，y，z)dV是R的__________階無窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：三階知識點(diǎn)解析：本題就是確定n=?使得=A≠0．由積分中值定理知，(x0，y0，z0)∈ΩR，使得f(x，y，z)dV=f(x0，y0，z0).πR3，則因此R→0時，f(x，y，z)dV是R的三階無窮?。?、設(shè)L為｜x｜+｜y｜=1，取逆時針方向，則曲線積分=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：由于曲線L關(guān)于x軸與y軸均對稱(見圖9．29)，且被積函數(shù)P=Q=關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，則I=∫LPdx+Qdy=0．三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)6、計(jì)算曲面積分x2zcosγdS，其中曲面∑是球面x2+y2+z2=a2的下半部分，γ是∑向上的法向量與z軸正向的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)兩類曲面積分的關(guān)系，知x2zdxdy．又根據(jù)∑的表達(dá)式：z=，以及γ為銳角，因此其中D為∑在xOy平面上的投影，實(shí)際上D為圓：x2+y2≤a2．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)Ω為曲面x2+y2=az與z=2a－所圍成的空間區(qū)域(如圖9．35)，求它的體積，其中a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：用柱形長條區(qū)域的體積公式——求一個二重積分．由消去z，得投影柱面x2+y2=a2，于是，Ω在xy平面上投影區(qū)域D：x2+y2≤Ω={(x，y，z)｜，(x，y)∈D}，因此，Ω的體積為知識點(diǎn)解析：暫無解析8、求柱面x2+y2=ax含于球面x2+y2+z2=2內(nèi)的曲面面積S．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性只需考慮第一卦限部分．將柱面方程表成y為x的函數(shù)是方便的：y=dzdx，D是這部分柱面在Ozx平面的投影區(qū)域，求出D的關(guān)鍵是求柱面與球面的交線在Ozx平面的投影曲線．見圖9．37．柱面與球面的交線為它在Ozx平面上的投影曲線為拋物線z2=a2－ax，它與Ox軸，Oz軸圍成區(qū)域D，則所求曲面面積為知識點(diǎn)解析：暫無解析9、記Il為物體對l軸的轉(zhuǎn)動慣量，為對平行于l軸并通過物體質(zhì)心的軸l的轉(zhuǎn)動慣量，d為兩軸間的距離，M為物體的質(zhì)量，證明：Il=+Md2．標(biāo)準(zhǔn)答案：取l軸為Oz軸，按右手系建立直角坐標(biāo)系(如圖9．39)．設(shè)物體占有空間區(qū)域Ω，物體的質(zhì)心坐標(biāo)為()，則由已知條件有其中ρ為物體的體密度．物體對的轉(zhuǎn)動慣量為即Il=+Md2．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)一均勻物體由兩曲面x2+y2=az．z=2a－(a＞0)所圍成，求此物體質(zhì)心．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)質(zhì)量分布的均勻性以及圖形關(guān)于z軸的對稱性可知，質(zhì)心的坐標(biāo)為(0，0，z*)，由質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算公式得其中Ω是該物體占據(jù)的空間區(qū)域，ρ是物體的體密度，它為常數(shù)．已經(jīng)求得πa3．用先二后一的順序求三重積分：因此z*=a，所求質(zhì)心為(0，0，a)．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求I=(x+y+z)2dxdydz，其中Ω：x2+y2≤1，｜z｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=(x2+y2+z2)dxdydz+2(xy+xz+yz)dxdydz=(x2+y2+z2)dV=2(x2+y2+z2)dV，這里Ω對三個坐標(biāo)面均對稱，xydV=0(被積函數(shù)對x為奇函數(shù)，Ω關(guān)于yz平面對稱；或被積函數(shù)對y為奇函數(shù)，Ω關(guān)于zx平面對稱)．類似理由得最后作柱坐標(biāo)變換得知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)S與S0分別為球面(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2與x2+y2+z2=R2，又f(x，y，z)在S上連續(xù)，求證：f(x，y，z)ds=f(x+a，y+b，z+c)ds．標(biāo)準(zhǔn)答案：我們將證f(x，y，z)ds的二重積分表示即是f(x+a，y+b，z+c)ds的二重積分表示．球面S的方程可寫成：并分別記為S1與S2．它們在xy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy：(x－a)2+(y－b)2≤R2，且對二重積分作平移變換：u=x－a，v=y－b，可得其中D′uv：u2+v2≤R2，將u，v換成x，y，上述二重積分也是f(x+a，y+b，z+c)dS的二重積分表示．因此結(jié)論成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求I=(x2+y2+z2)dS，其中(Ⅰ)S：x2+y2+z2=2Rx；(Ⅱ)S：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)S的方程可改寫成(x－R)2+y2+z2=R2，是以(R，0，0)為心，R為半徑的球面，其面積為4πR2．于是I=2R2dS=0+8πR4=8πR4．(Ⅱ)I=2[(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2]dS+2[a(x－a)+b(y－b)+c(z－c)]dS+(a2+b2+C2)dS=R2dS+0+(a2+b2+c2)dS=4πR4+(a2+b2+c2)4πR2．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)L為平面上分段光滑的定向曲線，P(x，y)，Q(x，y)連續(xù)．(Ⅰ)L關(guān)于y軸對稱(圖9．40)，則其中L1是L在右半平面部分．(Ⅱ)L關(guān)于x軸對稱(圖9．41)，則其中L1是L在上半平面部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記L=L1∪L2，L1，L2分別是L在右半平面與左半平面部分，則記L1的參數(shù)方程為x=x(t)，y=y(t)，t從a到b，則L2是：x=－x(t)，y=y(t)，t從b到a，于是Q(x(t)，y(t))y′(t)dt，則有其余類似．(Ⅱ)類似可得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)分塊光滑定向曲面S關(guān)于xy平面對稱，S在xy平面上方部分記為S1(方程為z=z(x，y)，(x，y)∈Dxy)，下方部分記為S2，又設(shè)R(x，y，z)在S連續(xù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：R(x，y，z)dxdy．注意，由S1的方程可得S2的方程：z=－z(x，y)((x，y)∈Dxy)．不妨設(shè)S1的法向量與z軸正向成銳角，于是S2的法向量與z軸正向成鈍角．將曲面積分化為二重積分得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算∮L(x2+y2)ds，其中L為x2+y2+z2=1與x+y+z=1的交線．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于積分弧段關(guān)于x，y，z是對稱的，所以由坐標(biāo)的輪換對稱性(坐標(biāo)軸名稱互換時，曲線L的方程不變)得這樣，所要計(jì)算的就是L的長度．L為球面與平面的交線，所以它是圓，現(xiàn)求它的半徑r．原點(diǎn)O到平面x+y+z=1的距離是d=，因此L的半徑為r=，于是∮L(x2+y2)ds=知識點(diǎn)解析：暫無解析17、交換累次積分的積分順序：I=f(x，y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：對x積分，就是從區(qū)域D的左側(cè)邊界x=y2到右側(cè)邊界x=y+2．兩邊界線的交點(diǎn)為(1，－1)與(4，2)，于是由(9．8)式得知識點(diǎn)解析：將累次積分表為f(x，y)dσ，累次積分的表示式表明：積分區(qū)域D由兩部分構(gòu)成，當(dāng)0≤x≤1時，區(qū)域D的下側(cè)邊界為y=，上側(cè)邊界為y=；當(dāng)1≤x≤4時，D的下側(cè)邊界為y=x－2，上側(cè)邊界為y=，即D={(x，y)｜0≤x≤1，}∪{(x，y)｜1≤x≤4，x－2≤y≤}．其圖形為圖9．42所示，改變積分順序，先對x求積分，就要把區(qū)域D的邊界表成y的函數(shù)，即D的左側(cè)邊界為x=y2，右側(cè)邊界為x=y+2，最后再求出x=y2與x=y+2的兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=－1和y=2，即可將區(qū)域D表為D：{(x，y)｜－1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不難寫出新的累次積分．18、將極坐標(biāo)變換后的二重積分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次積分交換積分順序：I=F(r，θ)dr，其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．標(biāo)準(zhǔn)答案：r=2acosθ是圓周x2+y2=2ax，即(x－a)2+y2=a2，因此D的圖形如圖9．43所示．為了先θ后r的積分順序，將D分成兩塊，如圖9．43虛線所示，D=D1∪D2，且因此(*)知識點(diǎn)解析：在直角坐標(biāo)系中畫出D的圖形，然后交換積分順序確定積分限．或在Oθr直角坐標(biāo)系中畫出D′的圖形，然后交換積分順序．19、計(jì)算累次積分：I=ydy．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分限知：0≤x≤1時1≤y≤x+1；1≤x≤2時x≤y≤x+1；2≤x≤3時x≤y≤3，于是積分區(qū)域D如圖9．45所示，因此D可表示為D={(x，y)｜x≤y≤3，y－1≤x≤y}，則原式==4．知識點(diǎn)解析：本題實(shí)質(zhì)上是二重積分的計(jì)算，而且已經(jīng)化成了累次積分，但由于這里項(xiàng)數(shù)較多，計(jì)算起來較復(fù)雜，所以不宜先對y積分，必須先確定積分區(qū)域D，然后再交換積分順序．20、交換累次積分的積分順序：I=f(x，y，z)dz，改換成先x最后y的順序．標(biāo)準(zhǔn)答案：據(jù)以上分析，把該累次積分看成是三重積分按先一(z)后二的順序化成的，則I=f(x，y，z)dz，其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1－x}，如圖9．46．交換x與y的順序得I=f(x，y，z)dz．再把它看成三重積分按先二后一(y)的順序化成的，則I=f(x，y，z)dzdx，其中Dzx={(z，x)｜0≤x≤1－y，，0≤z≤x+y}，如圖9．47．(對z、x積分時y是參數(shù)，z、x變動時y是不變的)，交換x與z的積分順序(先對x積分要分塊積分)得知識點(diǎn)解析：這是對已化成累次積分的三重積分f(x，y，z)dV交換積分順序的問題．這時可不必畫出Ω的圖形(一般也很難畫)，只要把它看成是一次定積分加一次二重積分化成的，對其中的二重積分交換積分順序，因而有時需分兩步走，其中的每一步均是二重積分交換積分順序問題．如本題：第一步，交換x與y的次序；第二步，交換x與z的次序，就會得到以x，z，y的順序的累次積分．這種順序交換可如同二重積分一樣進(jìn)行，關(guān)鍵步驟是畫出二重積分區(qū)域的圖形．有了圖形，積分限就容易寫出了．21、求I=dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：希望通過交換積分順序，比較容易地算出這個累次積分．把它看成是三重積分dV按先一后二的順序化成的．于是I=dz．其中Dxy={(x，y)，)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如圖9．48．對外層積分按先x后y的順序得其中D如圖9．49，按先y后z的順序配限得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、將極坐標(biāo)系中的累次積分轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系中的累次積分或相反：(Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr寫成直角坐標(biāo)系下先對y后對x積分的累次積分；(Ⅱ)計(jì)算e－x2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)D的極坐標(biāo)表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，則D為左半圓域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+(y－，x≤0．用先對y后對x積分．D：，于是原式=(Ⅱ)積分區(qū)域D為扇形{(x，y)｜0≤y≤R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜R≤y≤R，0≤x≤所以原式=(1－e－R2)．知識點(diǎn)解析：題(Ⅰ)是極坐標(biāo)變換下的累次積分，先寫成f(x，y)dxdy，確定積分區(qū)域D，再化成累次積分．題(Ⅱ)中無論是先對x，還是先對y積分都很難進(jìn)行，這是因?yàn)閑－x2，e－y2的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以必須改用其他坐標(biāo)系．又由于被積函數(shù)屬f(x2+y2)的形式，因此選用極坐標(biāo)系較方便．23、計(jì)算(a＞0)，其中D是由圓心在點(diǎn)(a，a)、半徑為a且與坐標(biāo)軸相切的圓周的較短一段弧和坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于圓的方程為：(x－a)2+(y－a)2=a2，區(qū)域D的邊界所涉及的圓弧為y=a－所以知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算二重積分｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因如圖9．50，用直線y=－x+2，y=－x將D分成D1，D2與D3．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算下列二重積分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲線r=sin2θ(0≤θ≤)圍成的區(qū)域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲線y=，x2+(y－1)2=1與y軸圍成的在右上方的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分域D見圖9．51．D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)選用極坐標(biāo)系，所涉及兩個圓的極坐標(biāo)方程為r=1與r=2sinθ，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(1，)，見圖9．52，于是積分域D的極坐標(biāo)表示為D={