2025高考總復習專項復習-概率專題七

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--概率專題七知識點一寫出簡單離散型隨機變量分布列,求離散型隨機變量的均值,利用全概率公式求概率典例1、某工廠生產(chǎn)一種航天儀器零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為0.6，得到的不合格零件可以進行一次技術(shù)處理，技術(shù)處理費用為100元/件，技術(shù)處理后得到合格零件的概率為0.5，得到的不合格零件成為廢品．（1）求得到一件合格零件的概率；（2）合格零件以1500元/件的價格銷售，廢品以100元/件的價格被回收．零件的生產(chǎn)成本為800元/件，假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨立，記X為生產(chǎn)一件零件獲得的利潤，求X的分布列．

隨堂練習：第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會”．某媒體通過網(wǎng)絡隨機采訪了某市100名關(guān)注“北京冬奧會”的市民，其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）已知、、三個年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求a，b的值；（2）該媒體將年齡在內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進一步了解其關(guān)注項目．現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用分層抽樣的方式從參與采訪的100位關(guān)注者中抽取10人，并在這10人中隨機抽取3人進行電視訪談，求此3人中來自高關(guān)注人群的人數(shù)X的分布列與數(shù)學期望．典例2、小紅每天午餐都會選擇一種肉類，她常吃的肉類有豬肉、牛肉，羊肉三種，已知小紅當天午餐吃什么肉類且與前一天午餐吃什么肉類有關(guān)，在前一天午餐吃什么肉類的情況下，當天午餐吃什么肉類的概率如下表：前一天午餐當天午餐豬肉牛肉羊肉豬肉牛肉羊肉（1）已知小紅第一天午餐吃牛肉，則他第三天午餐吃什么肉類的可能性最大？（2）已知小紅午餐吃的肉類（100克）所含的能量如下表所示：100克肉類豬肉牛肉羊肉能量/千焦1654795828求小紅從第一天午餐吃牛肉開始，前三天午餐各吃的100克肉類所含的能量總數(shù)的分布列和期望．

隨堂練習：某學校有A，B，C三家餐廳，王同學每天晚餐時隨機地選擇其中一家餐廳用餐，已知他當天晚餐選擇去哪家餐廳只與前一天晚餐去的餐廳有關(guān)，在前一天晚餐去某家餐廳的情況下，當天晚餐選擇哪家餐廳的概率如下表：前一天當天ABCABC（1）已知王同學第一天晚餐去了A餐廳，則他第三天晚餐去哪家餐廳的可能性最大？餐廳ABC消費金額（元）151020（2）已知王同學在三家餐廳一天晚餐的消費金額如下表所示：求王同學從第一天晚餐去A餐廳開始，前三天的晚餐消費總金額的分布列和期望.典例3、某商家為了促銷，規(guī)定每位消費者均可免費參加一次抽獎活動，活動規(guī)則如下：在一不透明紙箱中有8張相同的卡片，其中4張卡片上印有“幸”字，另外4張卡片上印有“運”字．消費者從該紙箱中不放回地隨機抽取4張卡片，若抽到的4張卡片上都印有同一個字，則獲得一張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡片上印有同一個字，則獲得一張5元代金券；若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎勵．（1）求某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率；（2）記隨機變量X為某位消費者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）該商家規(guī)定，消費者若想再次參加該項抽獎活動，則每抽獎一次需支付3元．若你是消費者，是否愿意再次參加該項抽獎活動？請說明理由．隨堂練習：2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．（1）若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應該安排乙還是丙與甲進行比賽？（2）為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金6萬元，負隊獲獎金3萬元；若平局，兩隊各獲獎金3.6萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學期望的取值范圍．知識點二繪制散點圖,相關(guān)系數(shù)的意義及辨析,寫出簡單離散型隨機變量分布列,求離散型隨機變量的均值典例4、為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有10人.在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為平均車速超過的人與性別有關(guān)；平均車數(shù)超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列和數(shù)學期望參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1500．1000.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習：某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設(shè)備進行了技術(shù)改造，為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，整理如下：改造前：；改造后：.（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間是否有差異？技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運行天數(shù)合計超過不超過改造前改造后合計（2）工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費和保障維護費兩種，對生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護周期為天（即從開工運行到第天，）進行維護，生產(chǎn)設(shè)備在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生保障維護費，經(jīng)測算，正常維護費為萬元/次，保障維護費第一次為萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個生產(chǎn)周期（以天計）內(nèi)的維護方案：，.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及均值.（其中）典例5、中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭取2060年之前實現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標”），此舉展現(xiàn)了我國應對氣候變化的堅定決心，預示著中國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟社會運轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車?電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量（單位：萬臺）關(guān)于（年份）的線性回歸方程為，且銷量的方差為，年份的方差為.（1）求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動汽車銷量與年份的相關(guān)性強弱；（2）該機構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動汽車購買電動汽車總計男性39645女性301545總計692190依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與車主性別有關(guān)；（3）在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.①參考數(shù)據(jù)：；②參考公式：（i）線性回歸方程：，其中；（ii）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強.（iii），其中.附表：

隨堂練習：為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828典例6、隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬人，2021年考研人數(shù)是377萬人．某省統(tǒng)計了該省其中四所大學2022年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：大學A大學B大學C大學D大學2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）76542022年考研人數(shù)y（千人）0.2（1）已知y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求：y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設(shè)該省對選擇考研的大學生每人發(fā)放0.5萬元的補貼．①若該省大學2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計該省要發(fā)放補貼的總?cè)~：②若大學的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為，，該省對小浙、小江兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍．參考公式：，．

隨堂練習：某廠計劃購買臺機床，該種機床使用四年后即被淘汰，并且在使用過程中機床有一易損零件，若在購進機床同時額外購買這種易損零件作為備用件，此時每個只需元．在使用期間如果備件不足再購買，則每個要元．所以在購買前要決策購買數(shù)目．使得該廠購買機床時搭配的易損備用零件費用最?。疄榇藰I(yè)內(nèi)相關(guān)人員先搜集了臺以往這種機床在四年內(nèi)更換的易損零件數(shù)，并整理數(shù)據(jù)后得如下柱狀圖．以這臺機床更換的易損零件數(shù)的頻率代替每臺機床更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率．記表示臺機床四年內(nèi)實際共需更換的易損零件數(shù)，表示購買臺機床的同時備用的易損零件數(shù)目，為購買機床時備用件數(shù)發(fā)生的概率．（1）求時的最小值；（2）求的分布列及備用的易損零件數(shù)時的數(shù)學期望；（3）將購買的機床分配給名年齡不同（視技術(shù)水平不同）的人加工一批模具，因熟練程度不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟效益也不同．若用變量表示不同技工的年齡，變量為相應的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計經(jīng)驗，他們的每日工作效益滿足最小二乘法和關(guān)于的線性回歸方程，已知他們年齡的方差為，所對應的效益方差為.①試預測年齡為歲的技工使用該機床每日所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益；②試根據(jù)的值判斷使用該批機床的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強弱．附：下面三個計算回歸直線方程的斜率和截距及表示隨機變量與相關(guān)關(guān)系強弱的系數(shù)計算公式：，.人教A版數(shù)學--概率專題七答案典例1、答案：（1）（2）答案見解析解：（1）設(shè)事件A：“一次性成型即合格”，設(shè)事件B：“經(jīng)過技術(shù)處理后合格”，則，．所以得到一件合格零件的概率為．（2）若一件零件一次成型即合格，則．若一件零件經(jīng)過技術(shù)處理后合格，則．若一件零件成為廢品，則．所以可取，，，則，，，所以隨機變量的分布列為隨堂練習：答案：（1），（2）分布列見解析，1.8解：（1）由題意可知解得，．（2）利用分層抽樣從樣本中抽取10人，易知其中屬于高關(guān)注人群的有人，屬于次高關(guān)注人群的有人．則的所有可能取值為，，，，所以，，，所以的分布列為：X3210P所以．典例2、答案：（1）小紅第三午餐吃牛肉的可能性最大；（2）分布列見解析，期望為2978.677千焦.解：（1）用A，B，C分別表示豬肉，牛內(nèi)，羊肉三種肉類，用，，分別表示第n天午餐小紅A，B，C三種肉類的概率．因為小紅第一天午餐吃牛肉，所以第2天午餐小紅吃三種肉類的概率分別為，，．第3天午餐小紅吃三種肉類的概率分別為：，，，所以小紅第三午餐吃牛肉的可能性最大．（2）小紅從第一天午餐吃牛肉開始，前三天午餐的肉類安排有；BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9種，所含的能量總數(shù)用X表示，有4103，3244，3277，2385，2418，2451共6種可能，，，，，，．所以小紅從第一天午餐吃牛肉開始，前三天午餐各吃的100克肉類所含的能量總數(shù)X的分布列為X410332443277238524182451P0.150.090.270.010.420.06前三天午餐各吃的100克肉類所合的能量總數(shù)X的期望（千焦）所以小紅從第一天午餐吃牛肉開始，前三天午餐各吃的100克內(nèi)其所合的能量總數(shù)X的期望為：2978.677千焦．隨堂練習：答案：（1）王同學第三天選擇A餐廳的可能性最大（2）分布列見解析，期望為43.8元解：（1）用，，分別表示第i天王同學選擇A，B，C餐廳的概率，因為王同學第一天去A，所以第2天王同學選擇A，B，C的概率分別為，，，第3天王同學選擇A，B，C的概率分別為，，，所以王同學第三天選擇A餐廳的可能性最大.（2）王同學從第一天選擇A餐廳開始，前三天的選擇有：AAA，AAB，AAC，ABA，ABB，ABC，ACA，ACB，ACC共9種，由題得，消費總金額X的所有可能取值為35，40，45，50，55，則：，，，，，所以王同學從第一天去A餐廳開始，前三天消費總金額X（元）的分布列為X3540455055P40.180.06所以消費總金額X（元）的期望為所以王同學從第一天晚餐去A餐廳開始，前三天的晚餐消費總金額X的期望為43.8元.典例3、答案：（1）（2）分布列見解析，（3）不愿意，理由見解析解：（1）記“某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字”為事件，則，所以某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率為；（2）依題意隨機變量的所有可能取值為、、；則，，，所以的分布列為：所以（3）記隨機變量為消費者在一次抽獎活動中的收益，則，所以，所以我不愿意再次參加該項抽獎活動；隨堂練習：答案：（1）安排乙（2）解：（1）第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：因為，所以，所以，業(yè)余隊第一場應該安排乙與甲進行比賽．（2）由已知萬元，或萬元由（1）知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應該安排乙與甲進行比賽．此時，業(yè)余隊獲勝的概率為：專業(yè)隊獲勝的概率為所以，非平局的概率為平局的概率為X的分布列為：X97.2X的期望為由，所以數(shù)學期望的取值范圍為（單位：萬元）典例4、答案：（1）有的把握（2）解：（1）平均車數(shù)超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)201030女性駕駛員人數(shù)51520合計252550，所以有的把握認為平均車速超過與性別有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，駕駛員為女性且車速不超過的車輛的概率為.的可能取值為，且，，，分布列為：0123.或.隨堂練習：答案：（1）列聯(lián)表答案見解析，技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異（2）分布列答案見解析，均值為萬元解：（1）列聯(lián)表為：技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運行天數(shù)合計超過不超過改造前改造后合計零假設(shè)：技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間無差異.，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗分析判斷不成立，即技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異；（2）由題知，生產(chǎn)周期內(nèi)有4個維護周期，一個維護周期為30天，一個維護周期內(nèi)，生產(chǎn)線需保障維護的概率為，設(shè)一個生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護的次數(shù)為，則，一個生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護費為萬元，保障維護費為萬元，一個生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護次時的生產(chǎn)維護費為萬元，設(shè)一個生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)維護費為，則的所有可能取值為，所以，的分布列為一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的均值為萬元.典例5、答案：（1），與線性相關(guān)較強（2）認為購買電動汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于（3）分布列答案見解析，數(shù)學期望：解：（1）相關(guān)系數(shù)為故與線性相關(guān)較強.（2）零假設(shè)為：購買電動汽車與車主性別相互獨立，即購買電動汽車與車主性別無關(guān).所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為購買電動汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于.（3）抽樣比，男性車主選取2人，女性車主選取5人，則的可能取值為故：,,故的分布列為：012隨堂練習：答案：（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析解:（1）本次實驗中，，故沒有99.9%