2025年高考數(shù)學一輪專題復(fù)習-空間向量和立體幾何專題六（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習專題六知識點一錐體體積的有關(guān)計算,證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,已知面面角求其他量典例1、如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．

隨堂練習：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為PA的中點，過C，D，E三點的平面與PB交于點F，且PA=PD=AB=2.（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為，則在線段上是否存在點G，使得二面角的余弦值為若存在，求的值；若不存在，請說明理由.典例2、如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

隨堂練習：請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為，③∠ABC．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中點為F．（1）在線段AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．典例3、如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，且為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在，請指明點的位置；若不存在，請說明理由.

隨堂練習：如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點，別是邊BC，CD的中點，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．（1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；（2）當四棱錐P—MNDB體積最大時，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．知識點二證明線面平行,面面角的向量求法典例4、如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點.（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

隨堂練習：從①直線與平面ABCD所成的角為60°；②為銳角三角形且三棱錐的體積為2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并完成解答．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點．（1）求證：直線平面；（2）若，，______，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．典例5、如圖，PO是三棱錐的高，點D是PB的中點，.（1）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，證明另一個條件成立；條件①：平面；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（2）若，OB平分，，，在（1）的條件下，求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點.（1）證明：平面；（2）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①；②；③與平面所成的角為.若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.典例6、如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點F為的中點．（1）已知點G為線段的中點，求證：CF∥平面；（2）若，直線與平面所成的角為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇幾個作為已知，使四棱錐唯一確定，求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）二面角的余弦值．條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面．

隨堂練習：如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點，是棱上一點，且．（1）證明：平面；（2）從①三棱錐的體積為1；②與底面所成的角為60°；③異面直線與所成的角為30°這三個條件中選擇-一個作為已知，求二面角的余弦值．空間向量和立體幾何高考復(fù)習專題六答案典例1、答案：（1）證明見解析（2）存在，且與所成角的余弦值為解：證明：連接，設(shè)，因為，則，且為等腰直角三角形，因為，則，因為，由余弦定理可得，所以，，則，平面，平面，，，平面，平面，.（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由題意可得，因為，解得，此時，，，，所以，，因此，在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，且與所成角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）存在，.解:（1）證明：由題意得，AB//CD，又AB?平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.又CD?平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.（2）取AD的中點為O，連接PO，PA=PD，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，則AD·PO=4，又PO2+=4，∴PO=，AD=2.取BC的中點為H，以O(shè)A，OH，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，∴=(，2，－)，=(0，－2，0).假設(shè)存在點G，設(shè)，∴，則，∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，設(shè)平面GCD的法向量為，，可取，又平面的一個法向量，二面角G－CD－B為銳角，∴，解得λ=或λ=3（舍）.存在點G，使得二面角G－CD－B的余弦值為，此時.典例2、答案：（1）證明見解析（2）（3）存在，，理由見解析.解：（1）在正方形中，，又因為，，所以面，因為面，所以，因為，，，所以面，因為面，所以，因為，所以平面；（2）由已知可得，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，連接，可得，因為，所以，所以，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，由，則，令，則，所以，所以，（3）因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.存在，理由如下：假設(shè)在棱上是否存在一點滿足條件，設(shè)，，則，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以解得：，，所以在棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是且的長為.隨堂練習：答案：（1）存在，G是線段AB的中點，證明見解析；（2）詳見解析解:(1)在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．證明如下：如圖所示：設(shè)PC的中點為H，連結(jié)FH，因為，，，，所以所以四邊形AGHF為平行四邊形，則AF∥GH，又GH?平面PGC，AF?平面PGC，∴AF∥平面PGC．(2)選擇①AB⊥BC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，由題意知AB，AD，AP彼此兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，∵PA＝AB＝2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)，設(shè)平面FAC的一個法向量為(x，y，z)∴，取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)，平面ACD的一個法向量為(0，0，1)，設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，則cosθ，∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．選擇②FC與平面ABCD所成的角為：∵PA⊥平面ABCD，取BC中點E，連結(jié)AE，取AD的中點M，連結(jié)FM，CM，則FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，F(xiàn)C與平面ABCD所成角為∠FCM，∴，在Rt△FCM中，CM，又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，∵PA＝AB＝2，∴A(0，0，0)，B(，﹣1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，∴(0，1，1)，(，0，1)，設(shè)平面EAC的一個法向量為(x，y，z)則，取x，得(，﹣3，3)，平面ACD的一個法向量為：(0，0，1)，設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，則cosθ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．選擇③∠ABC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，取BC中點E，連結(jié)AE，∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC的中點，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，∵PA＝AB＝2，∴A(0，0，0)，B(，﹣1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，∴(0，1，1)，(，0，1)，設(shè)平面EAC的一個法向量為(x，y，z)，則，取x，得(，﹣3，3)，平面ACD的法向量(0，0，1)，設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，θ則cosθ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．典例3、答案：（1）證明見詳解；（2）；（3）存在，為中點.解：（1）平面，平面,又又平面，又平面,得證.（2）為中點，過作于，連，在中，為中點又平面，平面,為二面角的平面角，在直角梯形中，又在中，二面角的余弦值為.（3）的中點為為的中位線，，為平行四邊形，又平面,平面平面.隨堂練習：答案：（1）在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，證明見解析（2）符合題意的點存在且為線段的中點．解：（1）證明如下：∵點，分別是邊，的中點，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，∴當平面時，點到平面的距離的最大值為.假設(shè)符合題意的點存在．以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，又，又，且，平面，平面，平面，故平面的一個法向量為，設(shè)（），∵，，故，∴，，平面的一個法向量為，則，，即令，所以，則平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，即，解得：，故符合題意的點存在且為線段的中點．典例4、答案：（1）證明見解析；（2）解:（1）連接，交于，連接，底面是菱形，為中點，為中點，，平面，平面，平面；（2）選①：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，底面是菱形，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；選②：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，取中點，連接，底面是菱形，，，平面，為的中點，，平面，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）如圖所示，取的中點為，連接，，為中點，所以，所以且，因為為中點，四邊形為菱形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．選擇條件①：因為平面，所以直線與平面所成角為．因為，，所以，所以為正三角形．取中點為，連接，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示則，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量則，即，令，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．選條件②：由，解得，因為，所以．則其對角,取中點為，連接，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，以下步驟與選①一致.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）選擇條件①：平面PAC，證明條件②：成立.延長BO交AC于點Q，連結(jié)PQ，因為平面PAC，平面，平面PAC平面，則，∵是PB的中點，∴，連結(jié)OA，∵，∴，∵是三棱錐的高，∴平面ABC，、平面ABC，∴，，∴，∴，∴；選擇條件②：，證明條件①：平面成立.取AB的中點E，連結(jié)OE、PE、DE，則，∵PO是三棱錐的高，∴平面ABC，平面ABC，∴，又，平面POE，，∴平面POE，平面POE，∴，∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，又∵D是PB的中點，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，∵，平面，∴平面平面PAC，平面，∴平面PAC；（2）選擇條件①：由（1）得，取AB的中點E，連結(jié)OE，則，∵，，∴，，以點O為原點，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，∴，令，則，∴，設(shè)是平面的一個法向量，則，∴，令，則，∴，∴，由圖，平面與平面夾角為銳二面角，∴平面與平面夾角的余弦值為.選擇條件②：由（1）得，∵，，∴，以點O為原點，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，∴，令，則，∴，設(shè)是平面的一個法向量，則，∴令，則，∴，∴，平面與平面夾角為銳二面角，∴平面PAB與平面PAC夾角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）設(shè)AC,BD交于點O，因為是菱形，所以O(shè)為BD的中點.連結(jié)OF.因為為的中點，所以為的中位線，所以.因為面，面，所以平面.（2）過O作.以O(shè)為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.選條件①：.在菱形中，.因為，所以,.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.選條件②.在菱形中，，所以,所以.因為，所以,.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.選條件③：與平面所成的角為.因為平面，所以為與平面所成的角，即.在直角三角形中，由可得：.所以,.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.典例6、答案：（1）證明過程見詳解（2）（?。唬áⅲ?解：（1）取的中點，連接，，，；因為分別為的中點，所以，平面，平面，所以平面，又因為分別為的中點，四邊形為平行四邊形，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）選擇條件①和③（ⅰ）因為平面，所以即為直線與平面所成的角，由題意可知：，又，所以.因為平面平面，且平面平面，因為平面，所以，所以平面，平面，所以,則四邊形為矩形，因為，所以，設(shè)點到平面的距離為，由平面可