2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題一（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題一知識點(diǎn)一求點(diǎn)面距離,面面角的向量求法典例1、如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求點(diǎn)E到平面的距離；（3）求二面角的余弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，在長方體中，，，E、M、N分別是、、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)C到平面的距離；（3）設(shè)P為邊上的一點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時(shí)，求二面角的余弦值.典例2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，是的中點(diǎn)，，垂足為.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.典例3、如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角的余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值．隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.（1）從下列條件①?條件②中再選擇一個(gè)作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點(diǎn)；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點(diǎn).（2）若點(diǎn)M在棱PD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為何值時(shí)，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.知識點(diǎn)二線面垂直證明線線垂直,面面角的向量求法典例4、如圖，四邊形是菱形，，平面，，．（1）證明：．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.典例5、已知四棱錐中，，，，，，面面ABE，.（1）求證：（2）求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．典例6、如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.

隨堂練習(xí)：如圖，直三棱柱，.（1）證明：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題一答案典例1、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解:（1）由長方體性質(zhì)知：面，面，則，又，則為正方形，即，而，∴面，而面，∴.（2）由題設(shè)，，則，由，且E是棱AB的中點(diǎn)，則，即，若E到平面的距離為，則，可得.（3）構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，若是面的法向量，∴，令，則，又是面的一個(gè)法向量，∴，則銳二面角的余弦值.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解:（1）證明：連接，，如圖，因?yàn)镋、M分別是、的中點(diǎn)，所以且，又N是的中點(diǎn)，所以，結(jié)合長方體的性質(zhì)可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，，為長方體，E、M、N分別是、、的中點(diǎn)，所以，，，所以為等腰三角形，其底邊上的高為，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則，又，所以，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為；（3）連接，如圖，由平面可得即為直線與平面所成角，又，所以,分別以、、作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令則，得平面的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）1.解：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，易知為中點(diǎn)，在中，，分別為，中點(diǎn)，∴為的一條中位線，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離，∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，則點(diǎn)到平面的距離即為的長度，在中，，，故，又，故，則，∴，∴，∴，即點(diǎn)到平面的距離為.（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（2）可得，，，，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，∴，∴二面角的正弦值為1.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則平面，是等邊三角形，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，0，，點(diǎn)到平面的距離為.（2），，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，，，二面角的余弦值為.典例3、答案：（1）；（2）．解:（1），由于平面，從而即為三棱錐的高，故．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由平面得，又由于，故平面，所以．由于，所以．故．因?yàn)?，所以．?）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．設(shè)，因?yàn)椋?，由，得，又，從而．即時(shí)，．又因?yàn)?，所以．，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，即得：，令，則．所以是平面的一個(gè)法向量．又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，即，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量．從而，由圖知二面角為鈍角故二面角的余弦值為-．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：若選條件①，取AD的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因?yàn)?，所以平面∥平面，又因?yàn)槠矫妫浴纹矫鍼AB.若選條件②，取BC的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則∥，∥，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，因?yàn)?，所以平面∥平面PAB，又因?yàn)槠矫鍱FG，所以∥平面PAB.取AB中點(diǎn)為O，連接PO，CO，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫鍼AB，平面平面ABCD，平面平面所以平面ABCD，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，為AB中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)椋运倪呅蜲ADC為矩形，所以，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，所以，又因?yàn)镸在PD上，所以存在，使，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，設(shè)平面PAD的法向量，則，所以，取，則.所以.設(shè)直線CM與平面PAD所成角為，則，故，所以或，又因?yàn)椋?，?典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：連接．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．又平面，所以．因?yàn)?，所以平面．又，所以平面就是平面，因?yàn)槠矫妫裕?）設(shè)，相交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得．取的中點(diǎn)G，連接．易證平面平面，因?yàn)槭钦切?，所以，從而平面，即是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，，所以，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析;（2）.解：（1）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所?因?yàn)槭堑冗吶切?，所?，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，?（2）在中，，，，由余弦定理可得，，故.如圖，以，及過點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)椋?，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得，所以，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得.所以，故平面與平面夾角的余弦值為.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：過C作交AB于G，連接，∵面面ABE，且AB為交線，平面，∴面ABE，又平面，∴，∵，∴，即，即，∴，即，∵平面，∴面ABCD，又平面，∴；（2）過D作交AB于O，∴，∴面ABE，由（1）得，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，，得，，，∴，，，，，∴，，，，設(shè)面ADE，面BCE的法向量分別為，，∴，即，令，則，，即，令，則，∴，∴面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）．解：（1）證明：∵，，∴，，又，，∴，且四邊形為直角梯形，，則，∴，∴，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面AOP，∴．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，．易知平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，∵，，由，有，令，從而，，∴．設(shè)二面角的平面角為，則，即二面角的余弦值為．典例6、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）設(shè)，則中點(diǎn)為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)，設(shè)平面的法向量