2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題十（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題十知識點一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根,求已知函數(shù)的極值點典例1、己知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若是函數(shù)的兩個零點，證明：；（2）當時，若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數(shù)m的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)（）（1）當時，有兩個實根，求取值范圍；（2）若方程有兩個實根，且，證明：典例2、已知函數(shù)，.（1）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程有且僅有兩個實根，①求實數(shù)的取值范圍；②證明：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）求a，b的值；（2）若方程有兩個實數(shù)根，

①證明：；②當時，是否成立？如果成立，請簡要說明理由．典例3、已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，①證明：；②方程有兩個實根，且，求證：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個不同的實數(shù)根.（i）求的取值范圍；（ii）若，求證：.(參考數(shù)據(jù)：)知識點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例4、設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處有極值且，當函數(shù)恰有三個零點時，求實數(shù)的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.典例5、已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若有3個互不相等的實根，求的取值范圍．典例6、已知函數(shù)，.（1）討論的零點個數(shù)；（2）若對，不等式恒成立，求a的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題十答案典例1、答案：（1）答案見解析（2）解：（1）由，得，令，解得或，當時，，和時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減；當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，，和時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減；綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因為函數(shù)在處有極值且所以，即，解得，當時，，，令，解得或，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)在處取極小值，即成立；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，如圖所示，函數(shù)有三個零點，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有三個交點，數(shù)形結(jié)合可知，，解得，所以的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析（2）解：（1）∵，∴，當時，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.當時，令，得：令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.由（1）知.當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點.所以當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點.所以當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當，即時，函數(shù)在區(qū)間上不存在零點；當，即時，函數(shù)在區(qū)間上存在零點.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.典例2、答案：（1）答案見解析（2）解：（1）函數(shù)的定義域為，且.當時，即當時，對任意的，，此時函數(shù)的增區(qū)間為；當時，即當時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，可得，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當時，，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見解析（2）解：（1），，時,令，即，，，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增；當時，，，在上單調(diào)遞增.（2），令，則有2個互不相等的實根，設(shè)，，則代表，兩個函數(shù)有2個交點如圖，設(shè)切點坐標為，，，則切線方程為：又切點在上，聯(lián)立①②，解得，切線斜率因此的取值范圍為典例3、答案：（1）答案見解析；（2）.解：（1）由已知可得，定義域為，.因為，解可得，.解可得，，所以在上單調(diào)遞減；解可得，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處有唯一極小值，也是最小值，.所以，當時，，恒成立，此時的零點個數(shù)為0；當時，，有唯一零點；當時，，此時有，且.由在上單調(diào)遞減，，，根據(jù)零點的存在定理可知，，即，使得；令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以.所以在上恒成立，又，，又在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點的存在定理可知，，即，使得.所以是的零點，所以的零點個數(shù)為2.綜上所述，當時，的零點個數(shù)為0；當時，有1個零點；當時，的零點個數(shù)為2.（2）由已知可得，.因為，，所以有令，對于，，則，則對恒成立，即對恒成立.令，則只需即可.，所以在上單調(diào)遞增.所以，所以，解得.隨堂練習(xí)：答案：（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）.解：（1），，，當時，對，恒成立，故在上單調(diào)遞增；當時，令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）等價于，即，所以，令，則方程有且只有一個實數(shù)根等價于函數(shù)只有個零點，令，因為為的一個零點，則僅有一個零點為或無零點.①若是僅有的一個零點，則，所以，此時，則，，所以存在，使得，與僅有一個零點矛盾，故.②若無零點，因為，當時，，則在R上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，與題意不符；當時，，對，，在R上無零點，符合題意；當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，若無零點，則，又，所以，即.綜上所述，關(guān)于x的方程有且僅有一個實根時，實數(shù)a的取值范圍為.典例4、答案：（1）見解析；（2）.解：（1）證明：因為是函數(shù)的兩個零點，且，所以，即有，，即有，則有，令,因為，所以，則，解得：，即，則，因為，所以，所以，即要證，設(shè)，則，則有，令，則，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，又，所以，即，則，故有；（2）當時，，令，又因為曲線與曲線都有唯一的公共點，即有唯一的解，因為，當，即時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，又趨于0時，趨于，趨于時，趨于，則只有唯一的解，滿足題意，當，即時，令，即得有兩個解：，，由韋達定理可得，故兩個解一個大于4，一個小于4，即，又因為，所以，則有，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值和一個極小值，且極大值點為，極小值點為，要使有唯一的解，只需大于極大值或小于極小值，即或，當時，即恒成立，又，即，則，令，求導(dǎo)可得，令，得，當時，，即單調(diào)遞增，當時，，即單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，要使恒成立，則有；當時，即恒成立，又，即，則，又在上單調(diào)遞減，故在上無最小值，又，則不存在使恒成立，綜上，實數(shù)的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）取值范圍是（2）證明見解析解：（1）的定義域為，，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是.（2）的定義域為，有兩個不相等的實數(shù)根，令，由（1）知在上遞增，則，則有兩個不相等的零點，，，.要證，只需證，即證，即證，，故只需證，不妨設(shè)，令，則只需證，只需證，令，，所以，即當時，成立.所以，即，所以.典例5、答案：（1）；（2）①；②證明見解析.解：（1）因為不等式對于恒成立，即對于恒成立所以，令，則，所以當時，遞增；當時，遞減；即在處取得極大值也為最大值，從而.（2）①方程，即，所以，令，則，因為單調(diào)遞增，所以，因為有且僅有兩個實根，所以有且僅有兩個實根，即有且僅有兩個實根，令，則，由（1）知：在上遞增，在上遞減，而在上值域為，上值域為，由有兩個零點，則，即，當時，，所以，由零點存在定理知：在上存在唯一零點，當時，令，則，故遞減，所以，即，故，令得：，即有，所以，由零點存在定理知：在上存在唯一零點，綜上，有且僅有兩個零點，所以.②因為有且僅有兩個實根，不妨設(shè)，所以，兩式相除得，令，解得，要證，即證，即證，即證，令，則對恒成立，所以，證得.隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）①證明見解析，②成立，理由見解析解：（1），因為函數(shù)在處的切線方程為，所以，，∴，或，（舍），所以，；（2）①證明：由（1）可知，，令，則，令，得，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，又，，，，且，，∴，使得，即，即，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，∵，∴，令，則，所以函數(shù)在上遞增，故，所以，即，∴；②解：成立，理由如下：當直線過，時割線方程為，得，當直線過，時割線方程為，得，∴.典例6、答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）①證明見解析；②證明見解析解：（1）函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解得，所以當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當時，①要證不等式成立，即證明成立.即證明成立.令當時，此時，當時，此時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以最小值為，恒成立，即恒成立得證.②由①得恒成立，即直線始終在曲線下方或有唯一切點，又結(jié)合（1）可知單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以當時取最小值，且當時，；當時，；當時，.所以方程有兩個實根，則，且.由直線與聯(lián)立解得交點的橫坐標，顯然因此，要證，只要證即可即證，即證即可又因為，所以只要證令恒成立所以在單調(diào)遞增，即所以得證，原命題得證.隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見解析；（2）(i)；(ii)證明