拔高點(diǎn)突破02 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題（七大題型）（原卷版）

拔高點(diǎn)突破02極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型 3題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型 5題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型 6題型四：極值點(diǎn)偏移:商型 7題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型 9題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型 10題型七：拐點(diǎn)偏移問題 1103過關(guān)測試 12

1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏。2、對稱變換主要用來解決與兩個極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn).(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【典例1-2】（2024·安徽馬鞍山·一模）設(shè)函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【變式1-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若（為的導(dǎo)函數(shù)），方程有兩個不等實根、，求證：．【變式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，證明：．【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且，證明：.題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型【典例2-1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若方程有三個不相等的實數(shù)根，且，證明：.【典例2-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，方程有三個不相等的實數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.【變式2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，且存在，使得的圖象與有三個公共點(diǎn)；①求證：；②求證：．題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點(diǎn)，，且，求證：．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點(diǎn)，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.【變式3-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【變式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點(diǎn)為，，求證：．【變式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．【變式3-4】（2024·高三·重慶·期末）已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn).(1)求的最值；(2)證明：.題型四：極值點(diǎn)偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【典例4-2】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【變式4-1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【變式4-2】（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【變式4-3】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求證：.題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型【典例5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【典例5-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點(diǎn)（），求證：.【變式5-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型【典例6-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時，若函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時，若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個命題：①；②；③；請從①②③中任選一個進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【典例6-2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時，都有，求實數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實數(shù)滿足，求證：.【變式6-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.題型七：拐點(diǎn)偏移問題【典例7-1】已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若存在實數(shù)，滿足，求證：．【典例7-2】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對實數(shù)，令，正實數(shù)，滿足，求的最小值.【變式7-1】已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.【變式7-2】已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若正實數(shù)滿足，求證：.【變式7-3】已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．1．已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：.3．（2024·安徽淮北·一模）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有兩個不相等的零點(diǎn)，求證：.4．已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．5．已知函數(shù).(1)若的極小值為-4，求的值；(2)若有兩個不同的極值點(diǎn)，證明：.6．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.7．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.9．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個不相等的實數(shù)，且滿足，求證：.10．已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，若，，求證：.11．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個頂點(diǎn)