第01講 函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：函數(shù)的概念 4知識點2：函數(shù)的三要素 4知識點3：函數(shù)的表示法 5知識點4：分段函數(shù) 5解題方法總結 6題型一：函數(shù)的概念 7題型二：同一函數(shù)的判斷 9題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域 12題型四：抽象函數(shù)定義域 13題型五：函數(shù)定義域的綜合應用 15題型六：待定系數(shù)法求解析式 17題型七：換元法求解析式 19題型八：方程組消元法求解析式 21題型九：賦值法求解析式 23題型十：求值域的7個基本方法 26題型十一：數(shù)形結合求值域 33題型十二：值域與求參問題 36題型十三：判別式法求值域 39題型十四：三角換元法求值域 42題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題 44題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式 4604真題練習·命題洞見 4705課本典例·高考素材 4806易錯分析·答題模板 51易錯點：錯求抽象函數(shù)的定義域 51答題模板：求抽象函數(shù)的定義域 51

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域．（2）在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．（3）了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應用．2024年上海卷第2題，5分2024年I卷第8題，5分2023年北京卷第15題，5分2022年浙江卷第14題，5分2021年浙江卷第12題，5分高考對函數(shù)的概念及其表示的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質．復習目標：1、掌握函數(shù)的概念，了解構成函數(shù)的要素2、會求常見函數(shù)的定義域和值域3、掌握求函數(shù)解析式的方法

知識點1：函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．【診斷自測】下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】任作一條垂直于x軸的直線，移動直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個交點，結合選項可知D不滿足要求，因此D中圖象不表示函數(shù)關系．故選：D.知識點2：函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域．（2）如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．【診斷自測】下列四組函數(shù)：①；②；③；④；其中表示同一函數(shù)的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】①，兩個函數(shù)對應法則不一樣，不是同一函數(shù)；②，兩個函數(shù)定義域和對應法則一樣，是同一函數(shù)；③，兩個函數(shù)定義域和對應法則一樣，是同一函數(shù)；④，兩個函數(shù)定義域不一樣，不是同一函數(shù).故選：B.知識點3：函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．【診斷自測】已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，由于，則，可得，所以.故選：B.知識點4：分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【診斷自測】（2024·吉林·模擬預測）已知若，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【解析】當時，，則，解得：（舍去）；當時，，則，解得：.故選：B.解題方法總結1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．題型一：函數(shù)的概念【典例1-1】下列對應是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應，是函數(shù)；對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數(shù)；對于C選項，當時，不存在，不是函數(shù)；對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數(shù).故選：A【典例1-2】已知是定義在有限實數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則的值不可能是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由題意得到，問題相當于圓上由個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，我們可以通過代入和賦值的方法，當時，此時得到的圓心角為，然而此時或者時，都有個與之對應，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個只能對應一個，因此只有當時旋轉，此時滿足一個只會對應一個.故選.：C.【方法技巧】利用函數(shù)概念判斷：（1）A，B是非空的實數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個元素在數(shù)集B中只有一個元素與之對應，即“多對一”，不能“一對多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對應的元素.【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數(shù)的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的定義域不可能是（

）A． B．C． D．R【答案】B【解析】對于函數(shù)圖象上任一點逆時針旋轉可得，即也在函數(shù)圖象上，所以均在函數(shù)圖象上，都在定義域內，從而結合函數(shù)定義有，當時，有若定義域為，則不存在滿足題意的對應值，故B錯誤；故選：B.【變式1-2】將函數(shù)的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題設，在原點處的切線斜率，所以切線方程為，設切線傾斜角為，則，當繞著原點沿逆時針方向旋轉時，始終保持為函數(shù)圖象，則，故，顯然為銳角，所以，故的最大值為．故選：B【變式1-3】存在定義域為的函數(shù)，滿足對任意，使得下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因為有兩個不相等的根和，所以當時，；當，，與函數(shù)的定義不符，故A不成立；對于B，令，則，令，則，與函數(shù)定義不符，故B不成立；對于C，令，則，令，則，與函數(shù)定義不符，故C不成立；對于D，，，唯一確定，符合函數(shù)定義.故D成立，故選：D.題型二：同一函數(shù)的判斷【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯誤；對于B中，函數(shù)的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯誤；對于C中，函數(shù)的定義域為R，與的定義域為，所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯誤；對于D中，函數(shù)與的定義域均為R，可知兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.【典例2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【解析】對于A:定義域為，定義域為，A不能表示同一個函數(shù),A選項正確；對于B:與解析式不同，B不能表示同一個函數(shù)，B選項正確；對于C:解析式及定義域都相同，C選項是同一函數(shù)，C選項不正確；對于D:定義域為，定義域為，D不能表示同一個函數(shù)，D選項正確；故選:ABD.【方法技巧】當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．【變式2-1】（多選題）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】A.的定義域為，且，的定義域為，解析式不同，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；B.的定義域為R，定義域為R，且解析式相同，所以是同一函數(shù)，故正確；C.的定義域為R，的定義域為，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；D.，由得，所以的定義域為，由，得或，所以函數(shù)的定義域為或，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；故選：ACD【變式2-2】以下四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】B【解析】從定義域，對應關系，值域是否相同，逐項判斷即可．對于A：的值域為，的值域為，所以A錯誤；對于B：的定義域需滿足，即為，的定義域滿足，即為，且，所以和是同一個函數(shù)，B正確；對于C：的定義域為，的定義域為，所以C錯誤；對于D：的定義域滿足，即為，的定義域需滿足，即為，所以D錯誤，故選：B【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數(shù)，．（

）A．若，則B．若，則C．對于，若，則D．對于，若，則【答案】CD【解析】對A：若，則，，故A錯誤；對B：若，則，，，故B錯誤；對C：若，則，，又，故，故，即，即恒成立，故，故C正確；對D：若，則，，又，故恒成立，即，故，即恒成立，故，即，故D正確.故選：CD.題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】根據(jù)題意可得,解得故定義域為.故答案為：【典例3-2】已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為(A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設有，由得，故選A.【方法技巧】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．【變式3-1】函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由的解析式可得，解得；所以其定義域為.故答案為：【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預測）函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預測）函數(shù)的定義域是【答案】【解析】函數(shù)有意義的條件是，解得且，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.題型四：抽象函數(shù)定義域【典例4-1】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A.【典例4-2】已知的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為定義域為，所以的定義域為，解得，由分母不為，得，即，所以函數(shù)定義域為：.故選：.【方法技巧】1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域，則用換元法求解.2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再取交集．【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為，所以，所以的定義域為，要使有意義，需滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.【變式4-2】已知函數(shù)的定義域為，求的定義域.【答案】【解析】∵的定義域為，即，∴，故需，∴．∴的定義域為．故答案為：【變式4-3】（1）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．（2）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】（1）令，則，因為函數(shù)的定義域為，所以，所以函數(shù)的定義域為．（2）令，，則，．因為函數(shù)的定義域為，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為．故答案為：；題型五：函數(shù)定義域的綜合應用【典例5-1】已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域為R，得，恒成立.當時，恒成立；當時，，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【典例5-2】若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，的定義域為，所以首先滿足恒成立，，再者滿足，變形得到，最終得到.故選：B.【方法技巧】對函數(shù)定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論．【變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，得恒成立，當時，恒成立；當時，，得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【變式5-2】若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得，在R上恒成立，當時，，成立；當時，，即，解得；綜上所述，.故答案為：.【變式5-3】當時，函數(shù)和有意義，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意知，當時，不等式組成立.對于，整理得，令，則，當時，單調遞增;時，單調遞減，所以，則，解得；對于，整理得，由于在上的最小值為2，所以，解得.綜上可得.故答案為：.題型六：待定系數(shù)法求解析式【典例6-1】一次函數(shù)在上單調遞增，且，則.【答案】【解析】設，則，，則.又在上單調遞增，即，所以，，則.故答案為：【典例6-2】已知二次函數(shù)滿足，，則不等式的解集為．【答案】．【解析】由二次函數(shù)滿足，設的表達式為（，為常數(shù)），則；，根據(jù)，得，解得，所以，令，則，解得，所以的解集為．故答案為：．【方法技巧】當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．【變式6-1】已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則的解析式為.【答案】或【解析】設()，則，則，解得，，或，，故或.故答案為：或.【變式6-2】已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.題型七：換元法求解析式【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數(shù)f(x)＝．【答案】x2－2(|x|≥2)【解析】配湊法.f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).【典例7-2】已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.【方法技巧】當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法．【變式7-1】設是定義在上的函數(shù)，且有唯一解或無解，且對任意，均有，請寫出一個符合條件的.【答案】或（答案不唯一）【解析】當時，，所以；或者，當時，，所以.故答案為：或（答案不唯一）.【變式7-2】若是定義域為上的單調函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A．4 B．C． D．【答案】B【解析】∵是定義域為上的單調函數(shù)，且，∴在上存在唯一一個實數(shù)使得，于是.令，得，即.畫出與的圖像如圖所示：由圖像可知，與的圖像在上只有1個交點，且是方程的解，所以，故.故選:B.【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設是定義在上的單調函數(shù)，若，則不等式的解集為.【答案】【解析】由，可得必為定值，設，即，由，解得，所以，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式7-4】設是定義在上的單調增函數(shù)，且滿足，若對于任意非零實數(shù)都有，則.【答案】2021【解析】令，則，令，則，解得或.而，則，故，因此.則，即.因此或，當時，，在上單調遞減，不滿足題意，舍去；當時，滿足題意.則.故答案為：題型八：方程組消元法求解析式【典例8-1】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：D【典例8-2】已知，那么．【答案】【解析】∵，，∴．聯(lián)立方程組，解得．故答案為：.【方法技巧】若已知成對出現(xiàn)，或，等類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構造另一個方程，消元的方法求出．【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數(shù)滿足，則．【答案】/-0.5【解析】由題意知：，，所以得：，解之得：，即，所以得：．故答案為：【變式8-2】已知滿足，則．【答案】【解析】因為，所以，聯(lián)立，解得.故答案為：.【變式8-3】（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)對定義域內的任意實數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由，得，即①，將換為，得②，由①+2②，得，故.故答案為：.題型九：賦值法求解析式【典例9-1】已知函數(shù)的定義域為R，且，，請寫出滿足條件的一個（答案不唯一）．【答案】1,（答案不唯一）【解析】令，則，又，所以，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不妨取偶函數(shù)，則，也可取，則，滿足題意.故答案為：,（答案不唯一）【典例9-2】已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的一個解析式為.【答案】（不唯一）【解析】由題意，，累乘可得，即，令，則，所以，故答案為：（不唯一）【方法技巧】若已知抽象函數(shù)表達式，則常用賦值法【變式9-1】已知函數(shù)滿足，則的解析式可以是（寫出滿足條件的一個解析式即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】設，由，代入可得，，解得，.故答案為：.（答案不唯一只要正確即可）【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足的函數(shù)的解析式．【答案】【解析】中，令，得；令得，故，則．故答案為：．【變式9-3】對，函數(shù)都滿足：①；②；③；則．【答案】【解析】由題意，，在中，，，，解:由題意,有,,∵,∴,∴有,∵,∴,∴當,即,∵,∴,∴，.故答案為:.【變式9-4】設偶函數(shù)f(x)滿足：，且當時時，，則．【答案】【解析】利用初始值和遞推關系，逐漸求得，，，，，最后求得再利用偶函數(shù)的性質得出所求.，，,,,,∵f(x)是偶函數(shù)，．故答案為：．題型十：求值域的7個基本方法【典例10-1】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【解析】（1）因為，故的值域為；（2）令，則，而，則，故，即的值域為；（3），因為，故，所以的值域為;（4）令，則，當時，取到最大值5，無最小值，故的值域為；（5）因為，令,故，由于，故，即函數(shù)的值域為；（6），當時，；當時，；當時，，故的值域為；（7）因為恒成立，故,則由可得，當時，，適合題意；當時，由于，故恒有實數(shù)根，故，解得且，故的值域為；（8），因為，故，當且僅當，即時等號成立，故，即函數(shù)值域為；【典例10-2】求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因為，所以．故值域為．（2）因為，且，所以，所以，故函數(shù)的值域為．（3）令，則，且，所以（）．故函數(shù)的值域．（4），其中，，當時，．又因為，所以．故函數(shù)的值域為．（5）因為，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，即取得最小值8．故函數(shù)的值域為．【方法技巧】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域．（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內便于分析．（7）單調性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當ac>0時可利用單調性法．【變式10-1】求下列函數(shù)的值域．（1）求函數(shù)的值域．（2）求函數(shù)的值域．（3）求函數(shù)，的值域．【解析】(1).當時，y取最小值，所以函數(shù)值域是．（2）由函數(shù)解析式得.①當時，①式是關于x的方程有實根．所以，解得.又當時，存在使解析式成立，所以函數(shù)值域為．（3）令，因為，所以，所以，所以，所以．所以該函數(shù)值域為．【變式10-2】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，則，，所以，所以的值域為.（2），由反比例函數(shù)性質可知，在上單調遞增，所以，即，所以的值域為.（3）,令，則，由對勾函數(shù)性質可知，在上單調遞增，所以，由反比例函數(shù)性質可知，在單調遞減，所以，即的值域為.【變式10-3】求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【解析】（1）分式函數(shù)，定義域為，故，所有，故值域為；（2）函數(shù)中，分母，則，故值域為；（3）函數(shù)中，令得，易見函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時是遞減的，故時，故值域為；（4），故值域為且；（5），而，，，，即，故值域為；（6）函數(shù)，定義域為，令，所以，所以，對稱軸方程為，所以時，函數(shù)，故值域為；（7）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負性知，，故函數(shù)的值域為；（8）函數(shù)，定義域為，，故，即值域為；（9）函數(shù)，定義域為，故，所有，故值域為；（10）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時，，故值域為.題型十一：數(shù)形結合求值域【典例11-1】函數(shù)的值域為【答案】【解析】表示點與點連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點與點連線的斜率，由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，則設過的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，即的值域為.故答案為：.【典例11-2】函數(shù)的值域為.【答案】【解析】原式為，即可看作是動點到定點的距離之和，設關于軸的對稱點為，連接交軸于，此時最小，且最小值為，故函數(shù)的值域為，故答案為：【方法技巧】根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何圖形模型．【變式11-1】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】設函數(shù)，令，則點位于一個單位圓x軸的上半部分，如圖所示．將函數(shù)改寫為，則表示定點與點所連直線的斜率．當直線與上半單位圓相切時，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函數(shù)的值域為．【變式11-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】，由，解得，令，即，將函數(shù)的值域轉化為與有交點時的t的取值范圍，在同一坐標系中作函數(shù)與的圖象如圖所示：由圖象知：當直線與半圓相切時，t最小，此時，解得，由圖象知，當直線過點時，t最大，此時，所以，即的值域是，故答案為：【變式11-3】函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由題設，所以所求值域化為求軸上點到與距離差的范圍，如下圖示，由圖知：，即，當三點共線且在之間時，左側等號成立；當三點共線且在之間時，右側等號成立，顯然不存在此情況；所以，即，所以函數(shù)值域為.故答案為：【變式11-4】函數(shù)的值域為.【答案】【解析】設，則有，，其幾何意義為半圓上一動點到定點的連線的斜率．如圖：,則，設過點A的直線為，整理為，由點到直線的距離公式可得，化簡得或（舍），所以，故答案為:題型十二：值域與求參問題【典例12-1】若函數(shù)的值域為，則的值為.【答案】【解析】設，可得，由題意可知，關于的方程在上有解，若，可得，則；若，則，即，由題意可知，關于的二次方程的兩根為、，由韋達定理可得，解得.綜上所述，.故答案為：.【典例12-2】若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，即值域為，滿足題意；若，設，則需的值域包含，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：C.【方法技巧】值域與求參問題通常采用分類討論，數(shù)形結合，轉化化歸等方法解決.【變式12-1】已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得在，上單調遞減，因為函數(shù)的值域為，，所以，，，，，，，，，結合可得：，，，．故選：．【變式12-2】定義若函數(shù)，則的最大值為；若在區(qū)間上的值域為，則的最大值為．【答案】【解析】當時，解得或，所以，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當時，有最大值，所以；當時，解得或或；當時，或，由圖象可知：當，時，的值域為，此時的最大值為；當時，的值域為，此時，由上可知，的最大值為，故答案為：；.【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】當時，，此時，當且時，，此時，且，所以不滿足；當且時，，由對勾函數(shù)單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當且時，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.題型十三：判別式法求值域【典例13-1】函數(shù)，的值域為．【答案】【解析】因為，整理得，可知關于x的方程有正根，若，則，解得，符合題意；若，則，可得或，解得或且，則或或；綜上所述：或，即函數(shù)，的值域為.故答案為：.【典例13-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】由題知函數(shù)的定義域為，所以，將整理得，所以，當時，；當時，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是故答案為：【方法技巧】判別式法：把函數(shù)解析式化為關于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以.又因為，所以，解得.故答案為：.【變式13-2】已知，函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的值為.【答案】1【解析】，，兩邊平方得：，即，再平方得：，化簡得：，當，即時，，此時最大值為，不符題意.所以.因為方程有解，所以，即，化簡得：，因為，所以，又因為的最大值為，所以，所以.故答案為：.【變式13-3】函數(shù)的值域是.【答案】【解析】，因為所以函數(shù)的定義域為令，整理得方程：當時，方程無解；當時，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域為.故答案為：題型十四：三角換元法求值域【典例14-1】求函數(shù)的值域.【解析】，可設，則.設，則，從而.（其中，），，，，且..故函數(shù)的值域為.【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意且，所以函數(shù)的定義域為.設，，則，，其幾何含義表示點與的斜率，為圓弧上一動點，如圖，當為圓弧為右端點時，斜率最小，最小值為，當與圓弧相切時，直線的斜率存在且最大，設，即，則圓心到直線的距離，即，如圖，顯然，所以.所以函數(shù)的值域為.故選：C.【方法技巧】充分利用三角函數(shù)的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法．【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預測）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】.令

且θ∈[0，π]∴=，表示兩點（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點在單位圓的上半部分.如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率，，化簡得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域為.故答案為：題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題【典例15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】D【解析】由題意知．故選：D．【典例15-2】已知函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C． D．2或3【答案】B【解析】當時，則，解得：或（舍去）當時，則，解得：（舍去）綜上所述：故選：B.【方法技巧】根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先明確自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選擇相應的解析式代入解決.【變式15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【答案】A【解析】當時，，解得，當時，，得，所以的值是2或．故選：【變式15-2】（2024·全國·模擬預測）設，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【答案】A【解析】因為的定義域為，則，解得，若，則，可得，不合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：.所以.故選：A.【變式15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為由于，則．故選：B題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式【典例16-1】已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，若，則，即，解得，所以若，則，即，解得，所以，綜上，不等式的解為.故選：D【典例16-2】（2024·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，由得，兩邊取以e為底的對數(shù)得：，當時，由得，解得，綜上或.故選：A.【方法技巧】已知函數(shù)值或函數(shù)的范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但是一定