黑龍江省雙鴨山市建新中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

建新高中2024-2025學(xué)年高二上暑假驗(yàn)收（數(shù)學(xué)）一、單選題（每題5分，40分）1.已知某扇形的圓心角為80°，半徑為6cm，則該圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為A.480cm B.240cm C. D.【答案】C【解析】【分析】先把80°化為弧度，然后用弧長(zhǎng)公式求解即可【詳解】解：80°=×80=，又r=6cm，故弧長(zhǎng)l=αr=×6=(cm).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù),則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),再根據(jù)除法規(guī)則,分母實(shí)數(shù)化即可.【詳解】,則,虛部是.故選:A.3.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出是周期函數(shù)，且周期，再利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性求解.【詳解】由題，因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，所以，即，所以是周期函數(shù)，且周期，所以由周期性和對(duì)稱性可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有()個(gè)①圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形；

②圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形；③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)梯形；

④棱錐的側(cè)面為三角形．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用圓臺(tái)、圓錐、圓柱棱錐的側(cè)面展開圖，判斷命題的真假即可．【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形；正確；圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形；正確；圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)梯形；應(yīng)該是扇環(huán)，所以不正確棱錐的側(cè)面為三角形符合棱錐的定義，正確；故選．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，命題的真假的判斷，是基本知識(shí)的考查．5.已知向量，滿足，，且，則()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】用表示出向量的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得答案．【詳解】，，又，，，，．故選：D．6.已知AB是圓：的直徑，、是圓上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意設(shè)弦CD的中點(diǎn)為，然后利用平面向量的數(shù)量積從而求解.【詳解】由題意知，不妨設(shè)弦CD的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則為等邊三角形，所以可得，則，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，故D正確.故選：D.7.函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的值域即可求解.【詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除CD，當(dāng)時(shí)，，排除A，經(jīng)檢驗(yàn)，B選項(xiàng)符合題意.故選：B.8.已知四邊形為矩形，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連接，，得到四棱錐，M為的中點(diǎn)，在翻折過程中，下列四個(gè)命題正確的序號(hào)是（）①平面；②三棱錐的體積最大值為；③；④一定存在某個(gè)位置，使；A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①通過線面平行的判定定理判斷正確性；②求得三棱錐的體積最大值來判斷正確性；③結(jié)合①判斷正確性；④利用反證法判斷正確性.【詳解】①，設(shè)是的中點(diǎn)，折疊過程中是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.由于是的中點(diǎn)，所以.所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面，所以①正確.②，由于是的中點(diǎn)，所以.在折疊過程中，三角形的面積為定值，當(dāng)平面平面時(shí)，距離平面的距離最大.過作，交于，連接，則A1O⊥DE.當(dāng)平面平面時(shí)，由于平面平面，所以平面.，則，則.所以三棱錐體積的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.所以②正確.③，由①知，所以③正確.④，由于，所以.若，，則平面，則，根據(jù)折疊前后圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，與矛盾，所以④錯(cuò)誤.綜上所述，正確的為①②③.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行、幾何體體積、線線垂直等知識(shí).二、多選題（每題6分，18分）9.已知向量，.設(shè)函數(shù)，且函數(shù)圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則（）A.B.是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.使成立的的取值區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到.對(duì)于A：利用周期公式求出，得到.對(duì)于B：直接求出函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，即可判斷；對(duì)于C：直接求出的單減區(qū)間，即可判斷；對(duì)于D：直接解不等式，即可判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?函數(shù)所以.對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，所以，解得：，所以.故A正確；對(duì)于B：令，解得：，所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為.所以不是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：要求的單減區(qū)間，只需，解得：.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間為.故C正確；對(duì)于D：即為，解得：，所以，所以不等式的解集為.故D正確.故選：ACD10.已知直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（）A.若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線長(zhǎng)為B.若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C.若以為球心的球經(jīng)過點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D.經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4【答案】AD【解析】【分析】判斷P點(diǎn)軌跡與直四棱柱的交線，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解判斷A，判斷P點(diǎn)位置求出體積最大值判斷B，計(jì)算球與直四棱柱公共部分體積判斷C，利用，求得，得出四邊形面積判斷D.【詳解】如圖，對(duì)于A，可知的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長(zhǎng)為，故A正確．對(duì)于B，可知點(diǎn)在線段上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD11.（多選題）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論不正確的是（）A.的虛部為 B.C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得的虛部為，所以錯(cuò)誤；由，所以錯(cuò)誤；由共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，所以錯(cuò)誤；由，可得為純虛數(shù)，所以正確，故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的基本概念，以及熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.三、填空題（每題5分，15分）12.若銳角滿足，則角的度數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)先化為，平方后切化弦，進(jìn)行三角恒等變換即可求解.【詳解】原式可化為因?yàn)闉殇J角，所以.故答案為：13.已知，，___________.【答案】##05【解析】【分析】由題意縮小角的范圍，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式求得，再利用二倍角的正切公式求得答案.【詳解】由題意，，，則，，故，故，而，解得，故答案為：14.如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)等于1，，和分別是上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，在線段上，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則三棱錐的體積最小值為______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)镃1到平面BB1D1D（即三棱錐底面O1MH）的距離為定值，所以當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積最小，將平面BB1D1D單獨(dú)畫圖可得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B處時(shí)，△O1MH的面積有最小值，求出三棱錐的體積即可．【詳解】因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，邊長(zhǎng)為1，∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距離為O1C1=，∵OH=3HB1，點(diǎn)M是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積有最小值．將平面BB1D1D單獨(dú)畫圖可得，當(dāng)B點(diǎn)到O1H的距離最小時(shí)，△O1MH的面積有最小值．過點(diǎn)B做BF//O1H，可得直線BF上方的點(diǎn)到O1H的距離比直線BF上的點(diǎn)到O1H的距離小，而線段BD上除B點(diǎn)外的所有點(diǎn)都在直線BF下方，到O1H的距離比B點(diǎn)到O1H的距離大．即當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，△O1MH的面積取得最小值，且三棱錐的體積有最小值．連接O1B,則O1B=OB1==，∴B1到O1B的距離d===，∵OH=3HB1，∴H到直線O1B的距離為d=．∴===，∴===．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐的體積計(jì)算，動(dòng)態(tài)動(dòng)點(diǎn)的最值問題需要先確定點(diǎn)的位置，屬于較難題．四、解答題15.如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．（1）求證：AF∥平面SEC；（2）求證：平面ASB⊥平面CSB；（3）在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）存在，【解析】【分析】（1）取SC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，證明四邊形AFGE是平行四邊形，則AF∥EG，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）先證明AD⊥平面SEC，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（3）假設(shè)在棱SB上存在點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，連接MO，BE，由面面垂直的性質(zhì)可得SE⊥平面ABCD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥OM，SE⊥BE，再分別求出即可得出答案.【小問1詳解】證明：如圖，取SC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，∵F，G分別是SB，SC的中點(diǎn)，∴FG∥BC，，∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，∴AE∥BC，，∴FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，∴四邊形AFGE是平行四邊形，∴AF∥EG，又平面SEC，平面SEC，∴AF∥平面SEC；【小問2詳解】證明：∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，∴SE⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，，∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，∴AD⊥CE，又平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又平面SEC，∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，∴AF⊥SB，又平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB；【小問3詳解】解：假設(shè)在棱SB上存在點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，連接MO，BE，∵平面MAC，∴BD⊥OM，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，△SAD為正三角形，∴，∵側(cè)面SAD⊥底面ABCD，又側(cè)面底面ABCD＝AD，平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，又平面ABCD，∴SE⊥BE，∴，∴，∴，∴，∴，∴在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可；（2）把公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，結(jié)合換元法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，即在時(shí)有解，設(shè)，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，則關(guān)于的方程只有一解，只有一解，令，得關(guān)于方程有一正數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，方程解為，不合題意；②當(dāng)時(shí)，則恒成立，此方程有一正一負(fù)根，負(fù)根舍去，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，滿足的情況下，因?yàn)?，同?hào)，所以得滿足，只需,且，解得；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為17.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，PB=2，是棱上的兩點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面；（2）若再從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求平面與平面所成二面角的大小.①平面；②三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到平面平面.（2）若選①：記與交于點(diǎn)，連接，證得，證得，取棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；若選②：由（1）知平面，得到，取棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)?，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】解：若選條件①：記與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，由平面，平面平面，且平面，則，所以為的中點(diǎn)，從而，取棱的中點(diǎn)，連接，在菱形中，可得，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角為.若選條件②：記點(diǎn)到平面的距離為，由，解得，由（1）知平面，所以，即，取棱的中點(diǎn)，連接，在菱形中，可得，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角為.18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再代入已知得，然后由余弦定理可得；（2）利用二倍角公式得出，再由兩角差的正弦公式