最值問(wèn)題-決勝2018中考數(shù)學(xué)壓軸題

《中考?jí)狠S題全揭秘》三年經(jīng)典中考?jí)狠S題

專題23最值問(wèn)題

一、選擇題

1.（2017四川省樂(lè)山市，第9題，3分）已知二次函數(shù)了=/一2機(jī)工（〃?為常數(shù)），當(dāng)-10W2時(shí)，函數(shù)

值y的最小值為-2,則〃?的值是（）

A.-B.V2C.-或&D.一?；蜓?/p>

222

【答案】D.

【分析】將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，分，”<-1、加>2和-三種情況，根據(jù).y的最小值為-2,結(jié)

合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【解析】y=x2-2mx=（x-ni）2-m2,①若w<-l,當(dāng)x=-1時(shí)，產(chǎn)l+2w=-2,解得：m=--1;

3

②若加>2,當(dāng)r=2時(shí)，y=4-4m=-2,解得：m=-<2（舍為

③若-1W??W2,當(dāng)廣加時(shí)，產(chǎn)-m2=-2,解得：《=&或m=-7I<-1（舍），:."1的值為-；或正，

故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值：最值問(wèn)題：分類討論；綜合題.

2.（2017四川省瀘州市，第10題，3分）己知m"是關(guān)于x的一元二次方程f—2zx+/一27+4=0的

兩實(shí)數(shù)根，則（m+2）（〃+2）的最小值是（）

A.7B.11C.12D.16

【答案】D.

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可知：in+n=2t,mn-r—2f+4,則（機(jī)+2）打+2=mn+2（m+H）+4

=『-2/+4+2x2f+4,此題還需考慮有實(shí)數(shù)根時(shí)r的取值范圍，所以利用根的判別式求出f的取值范圍，

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)綜合考慮求最小值則可.

【解析】；△=（2D2-4（產(chǎn)-2f+4）20,.1解2,又,；m+"=2f,mn=t2-2t+4,：.

（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=產(chǎn)―2/+4+2x2/+4=產(chǎn)+2f+8=（f+1）、+7,根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)，時(shí)，函數(shù)值隨，的增大而增大，...當(dāng)尸2時(shí)，（機(jī)+2）（〃+2）的值最小，此時(shí)

(〃Z+2)("+2)=(2+1)2+7=16,即最小值為16.故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.注意還需考慮有實(shí)數(shù)根時(shí)f的取值范圍，這是本題最易漏

掉的條件.解此類題目要把代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；最值問(wèn)題；二次函數(shù)的最值；根與系數(shù)的關(guān)系；綜合題.

3.(2017天津，第11題，3分)如圖，在aABC中，AB=AC,AD.CE是△ABC的兩條中線，P是上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是()

A

BDC

A.BCB.CEC.ADD.AC

【答案】B.

【分析】如圖連接PC,只要證明尸B=PC,即可推出P8+PE=PC+PE,由PE+PCNCE,推出尸、C、E共線

時(shí)，P8+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度.

【解析】如圖連接PC,'：AB=AC,BACD,.".ADA.BC,:.PB=PC,：.PB+PE=PC+PE,,:PE+PC)CE,

：.P.C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度，故選B.

A

BDC

點(diǎn)睛：本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；等腰三角形的性質(zhì)；最值問(wèn)題.

4.(2017臨沂，第14題，3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖象與邊長(zhǎng)是

x

6的正方形0ABe的兩邊AB,BC分別相交于M,N兩點(diǎn)，△OMN的面積為10.若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則

PM+PN的最小值是()

y

A.60B.10C.2726D.2V29

【答案】C.

【分析】由正方形OA8C的邊長(zhǎng)是6,得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6,求得M(6,-),N

66

6),根據(jù)三角形的面積列方程得到M(6,4),N(4,6),作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)例'，連接NM'交x

軸于P,則NM'的長(zhǎng)=PM+PN的最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】?.?正方形0A8C的邊長(zhǎng)是6,.?.點(diǎn)例的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6,.,.例(6,-),N6),

66

kk..?1k1k1Z、2

：.BN=6-8M=6--,；△AOWN的面積為10,.,.6X6--X6X------X6X------X(6一一)=10,

66262626

.?/=24,；.M(6,4),N(4,6),作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M',連接MW'交x軸于尸，則MM，的長(zhǎng)=PM+PN

的最小值，'：AM=AM'=4,:.BM'=10,BN=2,：.NM'=yjBN，2+BN2V102+22-2癡，故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，軸對(duì)稱-最小距離問(wèn)題，勾股定理，正方形的性質(zhì)，

正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)&的幾何意義；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；最值問(wèn)題；綜合題.學(xué)?網(wǎng)

2

5.(2017棗莊，第11題，3分)如圖，直線y=§x+4與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、。分別

為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+尸。值最小時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

,3、,5、

(-6,0)C.(--，0)D.(——,0)

22

【答案】C.

【分析】（方法一）由一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)4、8的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，由對(duì)

稱的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D'的坐標(biāo)求出直線C。'的解析式，令y=0即可求出x的值，從

而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（方法二）由一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，由對(duì)稱的性質(zhì)

找出點(diǎn)O'的坐標(biāo)，由三角形中位線定理即可得出點(diǎn)尸為線段C。'的中點(diǎn)，由此即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解析】（方法一）作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。，連接C。'交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+尸。值最小，如圖所

示.

2

令y=-x+4中x=0,則y=4,.,.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,4）；

3

22

令y=—x+4中尸0,則一x+4=0,解得：x=-6,...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,0）.

33

:點(diǎn)C、。分別為線段AB、08的中點(diǎn)，，點(diǎn)C（-3,2）,點(diǎn)。（0,2）.

?；點(diǎn)、D'和點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)O'的坐標(biāo)為（0,-2）.

2=-3k+b

設(shè)直線CO'的解析式為產(chǎn)fcr+6,,直線C。'過(guò)點(diǎn)C（-3,2）,D'（0,~2）,：,解得:

-2=b

k=—4

<3，，直線C。'的解析式為y=——x-2.

b=—23

443,3

令^=——％-2中y=0,則0=——x-2,解得：x=——，，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（——，0）.

3-322

故選C.

（方法二）連接C￡>,作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)￡>',連接C。'交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+P。值最小，如圖

所示.

2

令y=§x+4中x=0,則y=4,...點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,4）；

22

令y=1X+4中y=0,則1x+4=0,解得：x=-6,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-6,0）.

?.?點(diǎn)C、。分別為線段AB、。8的中點(diǎn)，，點(diǎn)C（-3,2）,點(diǎn)。（0,2）,C￡>〃x軸，,:戴。和點(diǎn)。關(guān)

于x軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（0,-2）,點(diǎn)。為線段。D'的中點(diǎn).

_3

又；OP〃CO,...點(diǎn)P為線段C。'的中點(diǎn)，二點(diǎn)。的坐標(biāo)為（—一，0）.

2

點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱中最短路徑問(wèn)題，

解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P的位置.

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

6.（2017山東省荷澤市，第7題，3分）如圖，矩形A8OC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,5）,。是。8的中點(diǎn),

E是OC上的一點(diǎn)，當(dāng)△AOE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

510

B.(0,-)C.(0,2)D.(0,)

3T

【答案】B.

【分析】作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'。交y軸于E,則此時(shí)，aAOE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)A的坐標(biāo)

為(-4,5),得到A'(4,5),B(-4,0),0(-2,0),求出直線DA,的解析式為y+即

63

可得到結(jié)論.

【解析】作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'。交y軸于E,則此時(shí)，△AOE的周長(zhǎng)最小，：?四邊形ABOC

是矩形，.,.AC〃OB,AC^OB,的坐標(biāo)為(-4,5),(4,5),8(-4,0),是OB的中點(diǎn)，

\5

fk=-

5=4攵+。a

：.D(-2,0),設(shè)直線D4'的解析式為產(chǎn)質(zhì)+〃，；/，.〃，二直線D4'的解析式為

Q=-2k+b5

ibK=—

y=-xH—,當(dāng)x=0時(shí)，v--,?,.￡(0>一),故選B.

-63-33

點(diǎn)睛：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；最值問(wèn)題.

7.(2017廣西貴港市，第12題，3分)如圖，在正方形4BCD中，O是對(duì)角線AC與的交點(diǎn)，M是BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與B,C重合)，CNLDM,CN與AB交于點(diǎn)、N,連接OM,ON,MN.下列五個(gè)結(jié)論：

①△CNB絲△QA/C；②ACON會(huì)ADOM；③△0MNS/\0AD；?AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,則SAOMN的

最小值是一，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

2

A.2B.3C.4D.5

【答案】D.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，依次判定△CN8WZXOMC,XOCM沿△0BN,ACONm&DOM,△OMNs

△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.

【解析】：正方形A8CO中，CD=BC,ZBCD=90°,:.NBCN+/DCN=90°,又*;CNLDM,：.ZCDM+

NDCN=90°,:.NBCN=NCDM,又,：NCBN=/DCM=9Q°,：.^CNB^^DMC(ASA),故①正確；

根據(jù)△CNBgZ\OMC,可得CM=8N,又,：NOCM=NOBN=45°,OOOB,：.^OCM^/\OBN(SAS),

OM=ON,NCOM=NBON,：.ZD0C+ZC0M=ZC0B+Z8PN,即NOOM=/CON,又,：DO=CO,.".△CON

學(xué)/XDOM(SAS),故②正確；

：N80N+NB0/NCOM+/80M=90°,；.NMON=90°,即△MON是等腰直角三角形，又「△AO。是

等腰直角三角形，.\AOMN^>AOAD,故③正確；

"：AB^BC,CM=BN,:.BM=AN,又?；RtZ\8MN中，：.AN2+CM2=MN2,故④正確：

?.?△。。加絲△。8%,，四邊形切〃川的面積=/\80(：的面積=1,即四邊形8MON的面積是定值1,...當(dāng)△

MNB的面積最大時(shí)，/XMNO的面積最小，設(shè)BN=x=CM,則8M=2-x,：.AMNB的面積=1》(2-%)=--x2+x,

22

...當(dāng)x=l時(shí)，AMNS的面積有最大值g,此時(shí)SA(WN的最小值是1-g=故⑤正確；

綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是5個(gè)，故選D.

點(diǎn)睛：本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意二次函數(shù)的最值的運(yùn)用.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題；

綜合題.

3

8.(2017新疆烏魯木齊市，第10題，4分)如圖，點(diǎn)A(a,3),B(h,1)都在雙曲線y=一上，點(diǎn)C,

X

D,分別是不軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形A8CD周長(zhǎng)的最小值為()

C.2M+2也D.8夜

【答案】B.

【分析】先把4點(diǎn)和8點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出。與6的值，確定出A與8坐標(biāo)，再作A

點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,8點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,3）,。點(diǎn)坐標(biāo)

為（3,-1）,P。分別交x軸、），軸于C點(diǎn)、/）點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得此時(shí)四邊形以8。的周長(zhǎng)最小，

然后利川兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.

3

【解析】分別把點(diǎn)4（小3）、B（b,1）代入雙曲線y=一得：a=l,b=3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（I,3）、B點(diǎn)、

x

坐標(biāo)為（3,1）,作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,8點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1,3）,。點(diǎn)

坐標(biāo)為（3,-1）,連結(jié)尸。分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、力點(diǎn)，此時(shí)四邊形48CO的周長(zhǎng)最小，四邊形A8C。

周^DA+DC+CB+AB-DP+DC+CQ^AB-PQ+AB-7（-1-3）2+（3+1）2+7（1-3）2+（3-1）2-472+272

-60,故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最

短解決有關(guān)幾何圖形周長(zhǎng)最短的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題：最值問(wèn)題；動(dòng)點(diǎn)型；綜合題.

9.（2017湖北省十堰市，第9題，3分）如圖，10個(gè)不同的正偶數(shù)按下圖排列，箭頭上方的每個(gè)數(shù)都等于

其下方兩數(shù)的和，如，表示4=%+%,則%的最小值為（）

a2

af

C.38D.40

【答案】D.

【分析】由。1=。7+33+。9）+。10知要使取得最小值，則“8+"9應(yīng)盡可能的小，取"8=2、的=4,根據(jù)。5=。8+。9=6,

則的、So中不能有6,據(jù)此對(duì)于.7、佻，分別取8、10、12檢驗(yàn)可得，從而得出答案.

【解析】???。1=42+。3=a4+a5+45+”6=。7+48+。8+的+。8+a9+49+勾0=47+3（禽+。9）+勾0，，要使取得最小值，則外+的

應(yīng)盡可能的小，取。8=2、49=4,,.?。5=48+。9=6,則“7、。10中不能有6,若“7=8、<1|0=10,則。4=10=。10，不符

合題意，舍去；

右。7=10、a10=8,則“4=12、“6=4+8=12,不符合題意，舍去；

若07=10、?0=12,則%=10+2=12、“6=4+12=16、a2=12+6=18.a3=6+16=22>a,=18+22=40,符合題意；

綜上，m的最小值為40,故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)字的變化類，根據(jù)題目要求得出?取得最小值的切入點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類；最值問(wèn)題.學(xué).網(wǎng)

10.（2017甘肅省蘭州市，第15題，4分）如圖1,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿A^fBC方向

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E做FE1AE,交CD于F點(diǎn)、,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x,FC=y,如

圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)、FC的最大長(zhǎng)度是|,則矩形4BCD

的面積是（）

54

【答案】B.

CFCE

【分析】易證可得——=——，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得E在8c中點(diǎn)時(shí)，C尸有最

BEAB

大值，列出方程式即可解題.

【解析】若點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖，VZEFC+ZAEB^O"，NFEC+NEFC=90°，:.NCFE=ZAEB,?在

△CFE和△BE4中，；NCFE=NAEB,NC=N8=90°,：.ACFE^ABEA,由二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得E

_5

2

在BC中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值，此時(shí)空=空，BE=CE=x--,即」^=—72,y=-（x--）,當(dāng)

BEAB25552

x——

22

2375

產(chǎn)一時(shí)，代入方程式解得：x=-（舍去），x=-,：.BE=CE=\,：.BC=2,AB=-,矩形A8CQ的面積為

■5[2222

AB

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)問(wèn)題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計(jì)算，本題中

由圖象得出E為5c中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；動(dòng)點(diǎn)型；最值問(wèn)題；綜合題.

2

11.（2016內(nèi)蒙古包頭市）如圖，直線y=§x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、。分別為線段

AB.08的中點(diǎn)，點(diǎn)P為。4上一動(dòng)點(diǎn)，PC+P。值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

22

【答案】C.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性

質(zhì)找出點(diǎn)O'的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D'的坐標(biāo)求出直線C。'的解析式，令），=0即可求出x的值，從而得出

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接交x軸丁點(diǎn)P,此時(shí)PC+尸。值最小，如圖所示.

2

令y=1X+4中尤=0,則y=4,.,.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,4）；

22

令y=—x+4中y=0,則-x+4=0,解得：x=-6,...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,0）.

-33

,:點(diǎn)C、。分別為線段A8、08的中點(diǎn)，...點(diǎn)C（-3,2）,點(diǎn)。（0,2）.

:點(diǎn)和點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-2）.

'2=-3k+b

設(shè)直線CO'的解析式為y=fcr+b,.直線C?過(guò)點(diǎn)C（-3,2）,D'（0,-2）,...有《，解

-2=b

.4

k——4

得：,3，；?直線C。'的解析式為y=—a％-2.

b=-23

443一3

令丁=—x-2中y=0,則x-2=0,解得：x=,...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）.

'3322

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱中最短路徑問(wèn)題，

解題的關(guān)鍵是求出直線CO'的解析式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利

用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；最值問(wèn)題.

12.（2016內(nèi)蒙古呼和浩特市）己知a22,nr-2am+2=0,n2-2an+2=0,則（m—1了+（〃—1了的

最小值是（）

A.6B.3C.-3D.0

【答案】A.

【分析】根據(jù)已知條件得到m,n是關(guān)于x的方程f-2ox+2=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到

m+n=2a,mn=2,于是得到4（a—一3,當(dāng)“=2時(shí)，（加—1了+（〃—有最小值，代入即可得到結(jié)論.

【解析】m2-2am+2=0,n2—2an+2=0..,.m,n是關(guān)于x的方程￡—2<zx+2=0的兩個(gè)根，

m+n=2a，mn=2,

/.(m—I)2H-(n-l)2—-2m+1+〃2-2/z+l-(m+n)2-2mn-2(m+n)+2—4a2-4—4tz+2一

4（a—」）2—3,...當(dāng)“=2時(shí)，（機(jī)—1）2+（〃—1）2有最小值，；.（加—1）2+5—1）2的最小值

1,1,

=4（“——）2—3=4（2——）2-3=6,故選A.

22

點(diǎn)睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題.

13.（2016天津市）已知二次函數(shù)y=（x—人）2+1（〃為常數(shù)），在自變量x的值滿足1WXW3的情況下，與

其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5,則〃的值為（）

A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3

【答案】B.

【分析】由解析式可知該函數(shù)在卡人時(shí)取得最小值1、時(shí)，y隨x的增大而增大、當(dāng)x</?時(shí)，y隨x的

增大而減小，根據(jù)1WXW3時(shí)，函數(shù)的最小值為5可分如下兩種情況：①若〃<1WXW3,尸1時(shí)，y取得最

小值5；②若1?<〃，當(dāng)尸3時(shí)，），取得最小值5,分別列出關(guān)于人的方程求解即可.

【解析】?..當(dāng)x>〃時(shí)，y隨X的增大而增大,當(dāng)x<〃時(shí)，j隨X的增大而減小，，①若YKW3,x=l

時(shí),y取得最小值5,可得：（17）2+1=5,解得：依-1或k3（舍為

②若1&W3c力，當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值5,可得：（3-/0、1=5,解得：有或后1（舍）.

綜上，力的值為-1或5,故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值；分類討論；最值問(wèn)題.

14.（2016安徽）如圖,RAABC中,AB，BC,AB=6,BC=4,尸是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足=NPBC,

則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

38V1312VT3

L-B.2C.-----D.------

21313

【答案】B.

【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的。O匕連接OC與OO交于點(diǎn)尸，此時(shí)PC最小，利用勾股定理

求出0C即可解決問(wèn)題.

【解析】,：.ZABP+^PBC=90°,'：ZPAB=ZPBC,：.ZBAP+^ABP=90°，，/A尸8=90°,

...點(diǎn)。在以A8為直徑的。。上，連接OC交。。丁點(diǎn)尸，此時(shí)PC最小，在R38CO中，?.?/OBC=90°,

BC=4,013=3,：.OC^^BCr+BC1-5,：.PC=OC=OP=5-3=2,；.PC最小值為2.故選B.

點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P位置，學(xué)會(huì)求圓

外一點(diǎn)到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型.

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；圓周角定理；最值問(wèn)題.

15.(2016四川省樂(lè)山市)若，為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程4x+t—2=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根為隊(duì)h,則代

數(shù)式(a2-l)02-l)的最小值是()

A.-15B.-16C.15D.16

【答案】A.

【分析】a,b是關(guān)于x的一元二次方程爐—4x+f—2=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)

(公―1)(從一1)即可求解.

【解析】b是關(guān)于x的一元二次方程一一4%+-2=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，.?.可得a+b=4,ab=t-2,

(o-"-V)[b~-1)=(ciby~—(iz+b)~+2ab+\-(t—2)2—16+2(7-2)+1-(t—1)--15,(r—1)~》0,；.代數(shù)

式(“2—1)(6—1)的最小值是-15,故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵要掌握X”處是方程，+pAq=0的

兩根時(shí)，Xi+x2--p,X\X^q.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；配方法；最值問(wèn)題.學(xué).網(wǎng)

16.(2016四川省雅安市)如圖，在矩形4BCD中，AD=6,AE1.BD,垂足為E,ED=3BE,息P、。分別

在即，A。上，則AP+PQ的最小值為()

A.2V2B.V2C.2s/3D.3A/3

【答案】D.

【分析】在町/XABE中，利用三角形相似可求得AE、OE的長(zhǎng)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)4',連接A'D,

可證明△AD4'為等邊三角形，當(dāng)PQ_LA。時(shí)，則PQ最小，所以當(dāng)A'QJ_4。時(shí)AP+P。最小，從而可求

得AP+PQ的最小值等于QE的長(zhǎng)，可得出答案..

【解析】

設(shè)BE=x,則DE=3x,'：四邊形ABCD為矩形，且AE1BD,：.^ABE^^DAE,：.AE'BEPE,即AE2=3x2,

：.AE^y/3x,在中，由勾股定理可得AD?=46+06,即6?=（、由了+（3%了，解得產(chǎn)石，

：.AE=3,DE=3s/3,如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)為A',連接A'D,PA',則A'A=2AE=6=A￡>,

AD=A'0=6,.?.△AA'D是等邊三角形，；出=以'，.?.當(dāng)A'、P、。三點(diǎn)在一條線上時(shí)，A'尸+P。最小,

又垂線段最短可知當(dāng)PQ_LAQ時(shí)，A'P+PQ最小，."P+P。=A'P+PQ=A'-3石，故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對(duì)稱點(diǎn)，從而確定出AP+PQ的最小

值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△?!'D4是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少?gòu)?fù)雜的計(jì)算.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；最值問(wèn)題.

17.（2016浙江省舟山市）二次函數(shù)y=—（x—I）?+5,當(dāng)，"WxW"且〃?”<0時(shí)，y的最小值為2成，最大

值為2n,則m+〃的值為（）

531

A.-B.2C.一D.-

222

【答案】D.

【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及增減性進(jìn)行解答即可.

【解析】二次函數(shù)y=—(x—If+5的大致圖象如下：

①當(dāng)，時(shí)，當(dāng)x=n?時(shí)y取最小值，即2m=—(，//—I)?+5,解得：〃尸-2.

當(dāng)產(chǎn)"時(shí)y取最大值，即2〃=—(〃—1)2+5,解得：〃=2或"=-2(均不合題意，舍去)；

②當(dāng)"iWOWxWlW"時(shí)，當(dāng)x=w時(shí)y取最小值，E[J2m=—(m—I)2+5.解得：〃？=-2.

當(dāng)尸1時(shí)y取最大值，即2〃=一(1—1>+5,解得：片;，所以,〃+〃=—2+；=；.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸解析式是解題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題.學(xué).網(wǎng)

18.(2016湖北省咸寧市)已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)4(5,0),0B=4由,

點(diǎn)尸是對(duì)角線08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D(0,1),當(dāng)CP+OP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

,63、10

A.(0,0)B.(1,C.(一,一)D.z(―

557

【答案】D.

【分析】如圖連接AC,AD,分別交。8于G、P,作8KL0A于K.首先說(shuō)明點(diǎn)?就是所求的點(diǎn)，再求出

點(diǎn)8坐標(biāo)，求出直線OB、DA,列方程組即可解決問(wèn)題.

【解析】如圖連接AC,AD,分別交OB于G、P,作BKLOA于K.

四邊形OABC是菱形，GC=AG,OG=BG=2>/5,4、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，，PC+PO=/?4+PD=D4,

,此時(shí)PC+PD最短，在KTZXAOG中，AG=[O#-OG?=《5?-(2亞丫=小,：.AC=245,

?：OA-BK=^-AC-OB,：.BK^4,AK/AB?=BK?=3,...點(diǎn)8坐標(biāo)(8,4),，直線OB解析式為y=gx,

f1110

y=-xx=一

二由.27

直線AD解析式為曠=-L+i,解得：＜9點(diǎn)p坐標(biāo)（—，1).故選D

51?577

y=——x+1

r5r?

點(diǎn)睛：本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P

位置，構(gòu)建一次函數(shù)，列出方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

19.（2016湖北省鄂州市）如圖，菱形ABC。的邊AB=8,ZB=60°,尸是AB上一點(diǎn)，BP=3,Q是CC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形AP。。沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'.當(dāng)C4'的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為（）

A.5B.7C.8D.—

2

【答案】B.

【分析】作CH1AB于H,如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷aABC為等邊三角形，則CH=—AB=4s/3,

2

AH=BH=4,再利用勾股定理計(jì)算出CP=7,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)A'在以P點(diǎn)為圓心，用為半徑的弧上,

利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)4'在尸C上時(shí)，CA'的值最小，然后證明CQ=CP即可.

【解析】作C”J_A8于”，如圖，?.,菱形A8CO的邊48=8,NB=60°,...△ABC為等邊三角形，

,AH=BH=4,*:PB=3,:.HP=l,在中，尸揚(yáng)?+/

:.CH:C=J(4=7,；梯形APQD

沿直線尸。折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',...點(diǎn)A'在以P點(diǎn)為圓心，相為半徑的弧匕.?.當(dāng)點(diǎn)A'在尸C上時(shí)，

CA'的值最小，AZAPQ=ZCPQ,而CD〃AB,AZ.APQ=ZCQP,；.NCQP=NCPQ,：.CQ=CP=7.故選

B.

點(diǎn)睛：本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角

線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是確定A'在尸C上

時(shí)C4'的長(zhǎng)度最小.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）：綜合題；最值問(wèn)題.

20.（2015南寧，第11題，3分）如圖，AB是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)M在。。上，ZMAB=2O°,N是弧

MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn).若MN=1,則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B.

【解析】

試題分析：作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN',NN',ON',ON.關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M,二

MN'與48的交點(diǎn)P'即為△PMN周長(zhǎng)的最小時(shí)的點(diǎn)，是弧的中點(diǎn)，；.NA=NNO8=/MON=20°,

：.NMON'=60",：./\MON'為等邊三角形，...MN'=OM=4,...△PMN周長(zhǎng)的最小值為4+1=5.故選B.

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題：圓周角定理；綜合題.

3

21.（2015樂(lè)山，第1（）題，3分）如圖，已知直線y=—》-3與x軸、），軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C

4

（0,1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)以、PB.則△以B面積的最大值是（）

22

【答案】C.

【解析】

試題分析：?.?直線y—3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，.?那點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,8點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,

4

-3）,3%-4）＞￡■0=,即。4=4,08=3,由勾股定理得：AB=5,...點(diǎn)C（0,1）到直線3x-4y-12=0

的距離是邑"4'—12|=3,...圓。上點(diǎn)到直線之尤一3的最大距離是1+3=幺，.?.△RtB面積的

5455

12121

最大值是一x5x—=一，故選C.

252

考點(diǎn)：圓的綜合題；最值問(wèn)題；動(dòng)點(diǎn)型.學(xué).網(wǎng)

22.（2015武漢，第10題，3分）如圖，△ABC,ZXE/G均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC、EF

的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段8M長(zhǎng)的最小值是（）

A.2-,^3B.+1C.D.yf3—1

【答案】D.

【解析】

試題分析：AC的中點(diǎn)。，連接A。、DG、BO、0M,如圖，?.?△A8C,△EPG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

點(diǎn)、D是邊BC、EF的中點(diǎn)，：.AD1BC,GD1.EF,DA=DG,DC=DF,：.ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,

■^-=—.：./\DAG^/\DCF,：.ZDAG=ZDCF,：.A,D、C、M四點(diǎn)共圓，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短

DCDF

可得：BO<BM+OM,即BM>BO-0M,當(dāng)M在線段B0與該圓的交點(diǎn)處時(shí)，線段BM最小，此時(shí)，

BO=y]BC2-OC2=V22-l2=V3,OM=^AC=\,則BM=BO-0M=y/3-l.故選D.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；最值問(wèn)題；綜合題；壓軸題.

二、填空題

23.（2017四川省內(nèi)江市，第25題，6分）如圖，已知直線/|〃，2，h、b之間的距離為8,點(diǎn)P到直線人

的距離為6,點(diǎn)。到直線A的距離為4,PQ=4y/30,在直線上有一動(dòng)點(diǎn)A,直線b上有一動(dòng)點(diǎn)3,滿足

ABll2,且B4+AB+BQ最小，此時(shí)B4+BQ=.

[分析】作PEJJi于E交I?于F,在PF上截取PC=8,連接QC交12于B,作84J_/|于A,此時(shí)PA+AB+BQ

最短.作于￡>.首先證明四邊形ABCP是平行四邊形，朋+BQ=CB+BQ=QC,利用勾股定理即可解

決問(wèn)題.

【解析】作ML】于E交A于尸，在府上截取PO8,連接。。交A于3,作出1八于/,此時(shí)PA+AB+BQ

最短.作QD1P尸于D.在RtAPOD中，：ND=90。,PQ=A亞,PD=18,:.DQ='PQ，-PD】,

,:AB=PC=8,ABIIPC,...四邊形43cp是平行四邊形，：.R4=BC,8=10,

R4+BQ=CB+BO=OC=^DQ1+CD1=7156+100=16