八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（北師大版）第05講 易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解易錯(cuò)（解析版）

第05講易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解易錯(cuò)目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】 1【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 3【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 7【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】 10【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是__【答案】7或25【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進(jìn)行討論解答．【詳解】解：直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，分兩種情況：當(dāng)3、4都為直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方；當(dāng)3為直角邊，4為斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方．故答案為：7或25．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】10或【分析】分兩種情況：6和8分別為兩直角邊；8為斜邊，6為直角邊；分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)6和8分別為兩直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)；當(dāng)8為斜邊，6為直角邊時(shí)，則另一條直角邊長(zhǎng)；故答案為：10或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正確分類、熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．若，，則這個(gè)直角三角形的面積為_(kāi)_____．【答案】或【分析】此題有兩種情況：當(dāng)a，b為直角邊，此時(shí)用面積公式即可求解；當(dāng)a，c為直角邊，用勾股定理求出b，再用面積公式即可求解；【詳解】解：當(dāng)a，b為直角邊時(shí)，；當(dāng)a，c為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，，即，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正確分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為，，且滿足，則該直角三角形的第三條邊長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的長(zhǎng)，再分兩種情況根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，，，解得：，，當(dāng)為直角邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長(zhǎng)，當(dāng)為斜邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長(zhǎng)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”．已知點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類討論是解本題的關(guān)鍵.【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若在中，，，高，則的長(zhǎng)為_(kāi)____；【答案】或【分析】根據(jù)高的定義可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理分別求得，分類討論即可求解．【詳解】解：如圖，

為邊上的高，，在中，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高的定義，勾股定理，分類討論解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）的高長(zhǎng)為3，且，，則的周長(zhǎng)是___________．【答案】或【分析】分情況利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，繼而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1：

，，，所以三角形的周長(zhǎng)；如圖2：

，，，所以三角形的周長(zhǎng)；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論．2．（2022·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校?？计谥校┰谥?，是邊上的高，，，，則的面積為_(kāi)_____．【答案】30或18/18或30【分析】分兩種情況求解，首先利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：分兩種情況：（1）如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，（2）如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，故答案為：30或18．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及三角形的面積公式，注意分類討論求得的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線BC以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，為直角三角形時(shí)，則的值_______．【答案】或【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為直角時(shí)，②當(dāng)為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的值即可．【詳解】在中，由勾股定理得：，，由題意得：．，①當(dāng)為直角時(shí)，如圖①，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，；②當(dāng)為直角時(shí)，如圖②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解．【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：如圖是一個(gè)直角三角形紙片，，BC，AC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm.現(xiàn)要給它再拼接一個(gè)直角三角形紙片，兩紙片不重疊且無(wú)縫隙，使得拼成的圖形是等腰三角形，則拼接成的等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】18cm或16cm【分析】分BC為重合邊和AC為重合邊計(jì)算即可.【詳解】解：由勾股定理，得：（cm），當(dāng)BC為重合邊時(shí)，周長(zhǎng)為（cm）；當(dāng)AC為重合邊時(shí)，周長(zhǎng)為（cm）.故答案為18cm或16cm.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和圖形的剪拼，主要利用了等腰三角形的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓(xùn)練】1．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的取值為_(kāi)____．【答案】5或8或【解析】【分析】當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．【詳解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①當(dāng)AB＝BP時(shí)，如圖1，t＝5；②當(dāng)AB＝AP時(shí)，如圖2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，如圖3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝5或t＝8或t＝．故答案為：5或t＝8或t＝．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．2．已知：如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出結(jié)論；（2）由題意可得：，，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識(shí)即可解答；（3）當(dāng)為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)三線合一、勾股定理等知識(shí)即可解答．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，即；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴．∵，∴，解得：．綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；（3）解：當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∵，∴，即．當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：則，，在中，，即，解得：．綜上：當(dāng)為軸對(duì)稱圖形時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】例題：（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】解：把玻璃杯的側(cè)面展開(kāi)，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過(guò)點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開(kāi)，化曲為直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東威海·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長(zhǎng)為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上端距開(kāi)口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長(zhǎng)是______．【答案】15【分析】展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，求出、，根據(jù)勾股定理求出SF即可．【詳解】解：如圖展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，則（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中．2．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是、、，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)，它至少要爬行__________．【答案】【分析】將長(zhǎng)方形的盒子按不同方式展開(kāi)，得到不同的長(zhǎng)方形，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，最短者即為正確答案．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)沿長(zhǎng)方體的高展開(kāi)時(shí)，由勾股定理得，如圖2所示，當(dāng)沿長(zhǎng)方體的長(zhǎng)展開(kāi)時(shí)，由勾股定理得，∵，∴∴螞蟻爬行的最短路程是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開(kāi)—最短路徑問(wèn)題，解答時(shí)要進(jìn)行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是________米．【答案】【分析】可將教室的墻面與地面展開(kāi)，連接P、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個(gè)平面，過(guò)P作于G，連接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，．一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為_(kāi)_____（取3）．【答案】15【分析】要使滑行的距離最短，則沿著的線段滑行，先將半圓展開(kāi)為長(zhǎng)方形，展開(kāi)后，A、D、E三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，求出和的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：將半圓面展開(kāi)可得，如圖所示：∵滑行部分的斜面是半徑為3的半圓∴，∵，，∴，在中，．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和兩點(diǎn)之間線段最短，解題關(guān)鍵是把U型池的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，再利用勾股定理求解．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)米，寬米的長(zhǎng)方形草地上放著一根長(zhǎng)方形木塊，已知該木塊的較長(zhǎng)邊和草地寬平行，橫截面是邊長(zhǎng)為米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，爬過(guò)木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是多少米？【答案】最短路程是10米【分析】解答此題要將木塊展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：由題意可知，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于是個(gè)正方形的寬，∴長(zhǎng)為米；寬米．于是最短路徑為：米．答：最短路程是10米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理求最短路徑問(wèn)題，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）吳老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)．（1）如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿正方體表面爬到點(diǎn)C1處；（2）如圖2，長(zhǎng)方體底面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長(zhǎng)方體底面上的點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體表而爬到點(diǎn)C1處；（3）如圖3，是一個(gè)底面周長(zhǎng)為10cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻欲從圓柱體底面上的點(diǎn)A沿圓柱體側(cè)面爬到點(diǎn)C處．【答案】（1）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm；（2）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm；（3）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm．【分析】（1）根據(jù)正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求出AC1的長(zhǎng)即可得答案；（2）分橫向展開(kāi)和豎向展開(kāi)兩種情況，分別利用勾股定理求出AC1的長(zhǎng)，比較即可得答案；（3）畫出圓柱側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可得答