新高考數(shù)學二輪復習鞏固練習11 導數(shù)解答題之極最值問題（解析版）

微專題11導數(shù)解答題之極最值問題【秒殺總結(jié)】1、利用導數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導函數(shù)進行二次討論，對導函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導數(shù)進行求值、證明等操作．【典型例題】例1．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為非零常數(shù)），記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(2)當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，證明：SKIPIF1<0且所有點SKIPIF1<0在一條定直線上；(3)若函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都存在極小值，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上運動；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均存在極小值，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0不存在極小值，舍去，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0存在極小值，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零點SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0存在極小值，當SKIPIF1<0時，考察SKIPIF1<0極值情形，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零點SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，符合條件，綜上：實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例2．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學校考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(3)設SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在極值點，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）若SKIPIF1<0,函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0則曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線的斜率為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0,則曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線的方程為SKIPIF1<0.（2）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時,由SKIPIF1<0,且此時SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,函數(shù)SKIPIF1<0為減函數(shù)，令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,所以當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0②當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調(diào)增區(qū)間，當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，無單調(diào)增區(qū)間，當SKIPIF1<0時,由SKIPIF1<0,所以函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0.即當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調(diào)增各區(qū)間，③當SKIPIF1<0時,此時SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,但SKIPIF1<0,所以當SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0為減函數(shù);令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,函數(shù)SKIPIF1<0為增函數(shù).所以函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0時，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調(diào)增各區(qū)間，SKIPIF1<0時，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0.（3）①當SKIPIF1<0時,由（2）問可知,函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù),所以不存在極值點;②當SKIPIF1<0時,由（2）可知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù),在SKIPIF1<0上為減函數(shù).若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在極值點,則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.綜上所述,當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在極值點.例3．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求證；函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸相切于原點；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各恰有一個極值點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）證明：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸相切于坐標原點.（2）先證明不等式SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，也是最小值，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為減函數(shù)，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0無極值點；當SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為減函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以必存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有一個極小值點SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以總存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0有一個極小值點SKIPIF1<0，所以若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各恰有一個極值點，綜上：實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，且不等式SKIPIF1<0恒成立，試求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又因為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有兩個不等正實數(shù)根SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，二次函數(shù)SKIPIF1<0圖象對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由不等式SKIPIF1<0恒成立,可得SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，例5．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．(1)當a≤e時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性：(2)若函數(shù)f（x）恰有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），SKIPIF1<0，當a≤0時，SKIPIF1<0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當0＜a≤e時，令SKIPIF1<0，則ex﹣ax＝0，設g（x）＝ex﹣ax，則SKIPIF1<0，易知，當0＜x＜lna時，SKIPIF1<0，g（x）單調(diào)遞減，當x＞lna時，SKIPIF1<0，g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（0，+∞）上單調(diào)遞增；綜上，當a≤e時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相除得，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則t＞1，x2＝tx1，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（1，+∞）單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則h（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即SKIPIF1<0的最大值為3．例6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導函數(shù)SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的零點個數(shù)；(2)當SKIPIF1<0時，記SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）因為函數(shù)SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增;所以SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0零點的個數(shù)為0個.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0零點的個數(shù)為1個當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0零點的個數(shù)為1個當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故SKIPIF1<0.所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由零點存在定理可得此時SKIPIF1<0零點的個數(shù)為2個（2）當SKIPIF1<0時,由(1)知SKIPIF1<0有唯一零點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞增.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞增;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減;所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0例7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域上單調(diào)遞增,求SKIPIF1<0的最大值;(2)若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域上有兩個極值點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）解:由題知SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0在定義域上單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,記SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞增,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0的最大值為2;（2）因為SKIPIF1<0在定義域上有兩個極值點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在定義域上有兩個不相等的實根SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0有兩個不相等的實根SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,移項可得:SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.例8．（2023秋·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0恒成立；(2)令SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的極值點個數(shù)．【解析】（1）證明：由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減,∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①當SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞減,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0有一個變號零點故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個極值點；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此時單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在這一區(qū)間內(nèi)無極值點；③當SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所從SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有1個變號零點，所以SKIPIF1<0有1個極值點；④當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0這一區(qū)間內(nèi)無極值點，結(jié)合③④可知SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的一個極值點，綜上SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3個極值點.【過關(guān)測試】1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中a為大于0的常數(shù)，若SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得極小值，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）SKIPIF1<0，求導SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；③當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；綜上，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當SKIPIF1<0時，不符合題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0求導SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，即最小值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點；(2)若SKIPIF1<0，證明函數(shù)SKIPIF1<0不存在極值．【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當x＞1時，SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號）．即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號）．所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，至多有一個零點．因為SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0唯一的零點．所以若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點只有1．（2）證明：因為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．當aSKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0．即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．所以SKIPIF1<0不存在極值．證法2：因為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同號．當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．可知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．由（1）知SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在定義域上單調(diào)遞增．所以SKIPIF1<0不存在極值．3．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)當SKIPIF1<0時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)若函數(shù)f（x）恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M、m，求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0恰有兩個極值點，所以方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實根，設為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，函數(shù)有最小值，即SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在定義域內(nèi)有兩個極值點.（1）求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）設函數(shù)SKIPIF1<0的兩個極值點分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的范圍.【解析】(1)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0在定義域內(nèi)有兩個極值點，則SKIPIF1<0有二不等的正實根SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0；(2)由(1)知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0.5．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)設函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的唯一極值點，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0遞減；在區(qū)間SKIPIF1<0遞增.所以SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，無極大值.（2）SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，不符合題意.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0遞減；在區(qū)間SKIPIF1<0遞增.所以SKIPIF1<0的極小值點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0有兩個零點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，對于函數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0遞減；在區(qū)間SKIPIF1<0遞增.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.則SKIPIF1<0，所以不妨設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.設函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0．①求m的取值范圍；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的增區(qū)間是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，減區(qū)間是SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的增區(qū)間是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，減區(qū)間是SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有兩個變號零點，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單增，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0即可，所以SKIPIF1<0；②由已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，又因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，由洛必達法則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0.7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF